量子力學(xué)復(fù)習(xí)提綱

1、(5)#(5)量子力學(xué)復(fù)習(xí)提綱第一章緒論1. 德布羅意關(guān)系，E = h = :r：- h -p n 二 k2. 微觀粒子的波粒二象性.3. 電子被V伏電壓加速，則電子的德布羅意波長為12.25#(5)#(5)第二章 波函數(shù)和薛定諤方程1. 波函數(shù)的統(tǒng)計解釋波函數(shù)在空間某一點的強度- 2宙（r ,t）和在該處找到粒子的幾率成正比，描寫粒子的波是幾率波.x2其中w小亞=宙 代表幾率密度.2. 態(tài)疊加原理：如果i和2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加c? 1 cf 2 ,也是體系的一個可能狀態(tài).3. 薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程.甲（r,t）?薛定諤方程 I - = H r，t定態(tài)薛定諤方程F?r

2、= E" r其中A2-F?2 U r2卩為哈密頓算符，又稱為能量算符，4. 波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：有限性，連續(xù)性（包括及其一階導(dǎo) 數(shù)）和單值性.5.波函數(shù)的歸一化，(9)I 甲 9 d = 1Q06.求解一維薛定諤方程的幾個例子.一維無限深勢阱及其變種，一維線性諧振子；勢壘貫穿.第三章 量子力學(xué)中的力學(xué)量1.坐標(biāo)算符，動量算符及角動量算符；構(gòu)成量子力學(xué)力學(xué)量的法則；2.本征值方程，本征值，本征函數(shù)的概念（10）3(12)(13)c 二x x dx(14)3.厄密算符的定義，性質(zhì)及與力學(xué)量的關(guān)系F? dx 二 F dx)實數(shù)性：厄密算符的本征值是實數(shù).正交性：厄密算符的屬于不同本征值的兩個

3、本征函數(shù) 相互正交.完全性：厄密算符F?的本征函數(shù)n X和' .X組成完全系,即任一函數(shù)'X可以按n X和 . X展開為級數(shù)x 八 cn n x c x dn展開系數(shù)：cn 二n x x dx4#2Cn是在V（X）態(tài)中測量力學(xué)量F得到的幾率，25 d丸是在即（X）態(tài)中測量力學(xué)量 F ,得到測量結(jié)果在 九到范圍內(nèi)的幾率.4. L2和LZ算符的本征值方程，本征值和本征函數(shù)ill 2L?z#本征函數(shù)YmC）#5. 氫原子的哈密頓算符及其本征值，本征函數(shù)nlm的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，w nlm(r,°)=Rn|(r)Y|m(° "(15)主量子數(shù)n,角量子數(shù)I和磁量子

4、數(shù)m的取值范圍，簡并態(tài)的概 念.6. 氫原子的能級公式和能級的簡并度.卜e4(16)En 二 2， n = 1,2,3,不考慮電子的自旋是 n2度簡并的； 考慮電子的自旋是 2n2度簡并的.7. 給定電子波函數(shù)的表達式，根據(jù)電子在rF / 點周圍的體積元內(nèi)的幾率(17)(18)即 nim( r* /)r2sin drd日 d*計算電子幾率的徑向分布和角分布 .計算在半徑r到r dr的球殼內(nèi)找到電子的幾率.8. 給定態(tài)函數(shù)，計算力學(xué)量平均值，平均值的計算公式廠 x F x dx注意(11)式對波函數(shù)所在的空間作積分.9. 算符的對易關(guān)系及測不準(zhǔn)關(guān)系.(1) 如果一組算符相互對易，則這些算符所表示

5、的力學(xué)量同時具有確定值(即對應(yīng)的本征值),這些算符有組成完全系的共 同的本征函數(shù).例如：氫原子的哈密頓算符H?，角動量平方算符L2和角動量算符LZ相互對易，則屮(i)它們有共同的本征函數(shù)nlm ,(ii)在態(tài)nlm中,它們同時具有確定值2 2i(i + 1泌，m.7#(2) 測不準(zhǔn)關(guān)系：如果算符F和G不對易,則一般來說它們 不能同時有確定值.設(shè)F G- G F= ik則算符F?和G的均方偏差滿足：k2(19)二 F2- F22 . 2 2 2其中 F 二 F - F 二 F2- 2FF F22 22 2 222F)二 F2- F2,( 9)- G2- G2(a)利用測不準(zhǔn)關(guān)系估計氫原子的基態(tài)能

6、量，線性諧振子的零點能等.(b)給定態(tài)函數(shù)J ,計算兩個力學(xué)量F?和G的均方偏差的乘積F?2 G 2 -第四章態(tài)和力學(xué)量的表象(20)1. 對表象的理解(1) 狀態(tài)宇：態(tài)矢量(2) Q表象:力學(xué)量Q的本征函數(shù)u1 x ,u2 x ,.un x ,構(gòu)成無限維希耳伯特空間(坐標(biāo)系)的基矢量(4)將態(tài)矢量按照上述基矢量展開? x,t 二' an t un xnai t ,a2 t ,.an t，是態(tài)矢量宇在Q表象中沿各 基矢量的分量.(5) an(tf是在甲(x,t)所描寫的態(tài)中,測量力學(xué)量Q得 到結(jié)果為Qn的幾率.2. 算符在Q表象中的表示(i) 算符F?在Q表象中是一個矩陣，F(xiàn)nm稱為矩

7、陣元_ ” ( h & Fnm 三 JUn(X)F x, |Um(x)dX< i cx)算符在自身表象中是一個對角矩陣，其對角矩陣元為9(21)該算符對應(yīng)的本征值.3. 量子力學(xué)公式的矩陣表述(1)平均值公式：(2) 本征值方程 久期方程F1112.F1nF21F22.F2nFn1Fn2 .Fnn1 F11 F12 .F1m .!mt)'i 1p(t)、1 1F FF廠21廠22 廠2m 1 1a2(t)=z,at)11! Fm Fn2 .Fnm . |:am(t):1am(t)10(21)#(21)(3) 薛定諤方程的矩陣形式pl(22)i _ 汀-H?dt4. 么正變

8、換的概念(1) 么正變換是兩個表象基矢量之間的變換矩陣(2) 么正變換的矩陣元由兩個表象的基矢量共同確定Snp = j響：(x 嚴(yán) r(x )dx,Sjm X : x dx.#(3) 態(tài)矢量由A表象變換到B表象的公式b= S_1a(23)(4) 力學(xué)量F由A表象變換到B表象的公式：F = S1FS(24)5. 么正變換的性質(zhì)(i) 么正變換不改變算符的本征值；(ii) 么正變換不改變矩陣 F的跡；(iii) 么正變換不改變力學(xué)量的平均值第五章微擾理論(I)求解非簡并定態(tài)微擾問題(1)確定微擾的哈密頓算符 H . H?二H?0 ，及與H? °對應(yīng)的零級近似能量En°和零級近似

9、波函數(shù).°n ；(2)計算能量的一級修正：En°d計算波函數(shù)的一級修正n1八mH mn 出(° ) E ° _ E ° m nm(25)(26)11#(4)計算能量的二級修正：12(27),2H；i|巴2巳0-巳0(II)求解非簡并定態(tài)微擾問題(只要求能量的一級修正) 求解步驟(1) 確定微擾的哈密頓算符H?.(2) 確定微擾算符的矩陣元：(28)用廠i H? id求解久期方程得到能量的一級修正H；i-E°) H H 匚 n 12.H 1 kH2iH - E 22匚 n.H 2kHkiH；2.H kkn(29)(31)13(27)(3

10、1)#(27)(III) 變分法不作要求(IV) 含時微擾論(1)基本步驟設(shè)H?0的本征函數(shù)為n為已知：H?o(30)(31)#(27)(31)#(27)將按照H?o的定態(tài)波函數(shù)nnJ展開:展開系數(shù)的表達式(31)14(32)am t 1 0 Hmke "dtj舟 0其中HmnmH nd(33)是微擾矩陣元，15(32)#(32)1=(Z - Z(34)mnm n能級躍遷到；m能級的玻爾頻率.在t時刻發(fā)現(xiàn)體系處于 m態(tài)的幾率是am(t),體系在微#(32)#(32)擾的作用下，由初態(tài)k躍遷到終態(tài)m的幾率為#(32)#(32)W-mam t(35)用于周期微擾t = f?e"

11、t得到am t =FmkFkt' e 1I o + «- mkei，m't -1co - omk(36)#(32)#(32)由(36)式，討論并理解發(fā)生躍遷的條件是(37)« = ± CO百Ezmk時，體系才能從 卉©.mk ；mk 或 m(i) 表明只有外界的微擾含有頻率躍遷到“ m態(tài)，這時體系吸收和發(fā)射的能量是(ii) 躍遷是一個共振現(xiàn)象.能量時間的測不準(zhǔn)關(guān)系的含義16(44)(39)(40)0丿'Sri-i0丿'2<0(41)E t(38)了解原子的躍遷幾率和三個愛因斯坦系數(shù)：Amk , Bmk和Bkm及相互關(guān)

12、系(5) 了解用含時微擾理論計算愛因斯坦發(fā)射和吸收系數(shù)(6) 記住對角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則丨-丨1,m = m - m = 0, -1.第六章散射只要求理解微分散射截面的概論，不作計算要求.第七章自旋與全同粒子1. 電子的自旋角動量S,它在空間任何方向的投影只能取Sz自旋算符的矩陣形式#(44)#(44)2. 泡利矩陣0丿':?=y?z10(42)#(44)#(44)(1)求力學(xué)量在某個自旋態(tài)的平均值和均方偏差(43)G11 G12? 1Il I(21 G22 八2 丿（2）求解自旋角動量算符的本征值方程，本征值和本征函數(shù)3. 自旋與軌道角動量的耦合及產(chǎn)生光譜的精細結(jié)構(gòu)的原因4. 全同性原理的表述5. 描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱或反對稱的 它們的對稱性不隨時間改變