2020年高中數(shù)學(xué)初高中銜接讀本專題4.2一元二次不等式的解法精講深剖學(xué)案

1、第2講一元二次不等式的解法本專題在初中學(xué)習(xí)方程、不等和函數(shù)的基礎(chǔ)上，根據(jù)高中學(xué)習(xí)的需要，共同學(xué)習(xí)簡單的二次方程組及一元二次不等式的解法。問題1：二次函數(shù)y=x2x6的對應(yīng)值表與圖象如下：當(dāng)x=2,或x=3時(shí)，y=0,即x2x=6=0;當(dāng)xv2,或x>3時(shí)，y>0,即x2-x-6>0;當(dāng)2vxv3時(shí),y<0,即x2-x-6<0.思考：這就是說，如果拋物線y=x2x6與x軸的交點(diǎn)是(2,0)與(3,0),那么一元二次方程x2x6=0的解就是xi=2,x2=3;同樣，結(jié)合拋物線與x軸的相關(guān)位置，可以得到一元二次不等式x2x6>0的解是xv2,或x>3;元二次

2、不等式x2-x-6v0的解是一2vxv3.上例表明：由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對應(yīng)的一元二次方程的解和對應(yīng)的一元二次不等式的解集.問題2：對于一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0(aw0)怎樣解呢？【歸納總結(jié)】元二次不等式的解:函數(shù)、方程與不等式A>0A=0A<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象*yJo匹匹Xf二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根后兩相異實(shí)根xi,x2(xi<x2)有兩相等實(shí)根xi=x2=b2a無實(shí)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集x<xi或x>x2bx*2a一切實(shí)數(shù)ax2+bx+c<

3、0(a>0)的解集xi<x<x2無解無解今后，我們在解一元二次不等式時(shí)，如果二次項(xiàng)系數(shù)大于零，可以利用上面的結(jié)論直接求解；如果二次項(xiàng)系數(shù)小于零，則可以先在不等式兩邊同乘以-1,將不等式變成二次項(xiàng)系數(shù)大于零的形式，再利用上面的結(jié)論去解不等式.【典例解析】解下列一元二次不等式：(1) x2+2x3W0；(2) xX2+6V0;(3) 4x2+4x+1>0;(4) x26x+9W0；，、2一(5) 4+x-x<0.【解析】(1)VA>0,方程W+2x3=0的解是力=-3,，不等式的解為-3比1.(2)整理，得方程爐一的眸為xi2,*2=3.所以，原不等式的解為內(nèi)-

4、3或x<3.(3)整理,得(2x+l)，0.由于上式對任意實(shí)數(shù)，都成立，.原不等式的解為一切實(shí)數(shù).(4)整理，得(x3)2W0.由于當(dāng)x=3時(shí)，(x3)2=0成立；而對任意的實(shí)數(shù)x,(x3)2<0都不成立,，原不等式的解為 x= 3.（5）整理，得x2-x+4>0. AV0,所以，原不等式的解為一切實(shí)數(shù).【解題反思】注意一元二次不等式的解題步驟為一看（二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)）；二判（A的情況）；三算（有根求根）；四寫出解集?！咀兪接?xùn)練】1.解下列不等式:(1)-x2+2x+2<0；【解析】（1）原不等式可化為 x2 -2x -2 >0 ,1 =12 >0 ,方程

5、x2 2x 2 =0 的兩根是% =1-6, x2 =1 + 6,原不等式的解集為（2）原不等式等價(jià)于x -1(x -1)(x 3) <0W0u «；x 3-0原不等式的解集為-3<x<1.2.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（aw0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1,-3.2）及部分圖象（如圖所示），其中圖象與橫軸的正半軸交點(diǎn)為（2,0）,由圖象可知:時(shí)，函數(shù)值隨著x的增大而減小;當(dāng)【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向以及對稱軸得出答案即可;利用關(guān)于x的一元二次不等式 ax2+bx+c>0的解，即為:y>時(shí)，求出x的取值范圍求出即可.【解析】,二次函數(shù) y=ax2+bx+c

6、 （aw。）的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1, -3.2）,圖象與橫軸的正半軸交點(diǎn)為（2，0),(4, 0);圖象的對稱軸為：x=-1,圖象與橫軸的負(fù)半軸交點(diǎn)為:故答案為：-1;x>2或xv-4.圖象開口向上，a>0,二圖象的對稱軸為：x=-1,當(dāng)xv-1時(shí)，函數(shù)值隨著x的增大而減小；4.關(guān)于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解即為：y>時(shí)，求出x的取值范圍：x>2或xv-【點(diǎn)評】主要考查了利用函數(shù)圖象求自變量的取值范圍以及二次函數(shù)的增減性等知識(shí)，根據(jù)圖象得出是解題關(guān)鍵3.已知不等式ax2+bx+c<0（a手0）的解是x<2,或x>3求不等式bx2+ax+

7、c>0的解.【解析】由不等式a，+ix+c<0（口=0）的解為x<Z或n>3,可知。<0>且方程一+反+c=0的兩根分別為2和3,即一=5,=6.aak由于a<0p所以不等式fee2+皿+匕>0可變?yōu)橐唬?x+<0,aa即一5j?+x+6<。，整理j得5/“一6>0,所以,不等式取+收一匕>0的解是x<1或.【點(diǎn)評】本例利用了方程與不等式之間的相互關(guān)系來解決問題.4.關(guān)于x的一元二次不等式2kx2+kx-0的解集為R,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.k<0）【分析】（1）由題意得，,3、，、，由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.=

8、/-4><2kx（4）【解析】由題意得：%<0（1）'=k2-4X2kxU）<0L不等式（2）化彳k2+3k<0,解得：-3Vk<0.則實(shí)數(shù)k的取值范圍是-3<k<0.【點(diǎn)評】已知不等式解集的情況，求參數(shù)?？赏ㄟ^根的判別式來建立不等式求參數(shù)值。25.斛關(guān)于x的一兀一次不等式x+ax+1>0（a為實(shí)數(shù)）.【分析】對于一元二次不等式，按其一般解題步驟，首先應(yīng)該將二次項(xiàng)系數(shù)變成正數(shù)，本題已滿足這一要求，欲求一元二次不等式的解，要討論根的判別式的符號(hào)，而這里的是關(guān)于未知系數(shù)的代數(shù)式，的符號(hào)取決于未知系數(shù)的取值范圍，因此，再根據(jù)解題的需要，對的符號(hào)進(jìn)行分類討論.【解析】由=a2-4,當(dāng)A>0,即a<-2或a>2時(shí)，方程x2+ax+1=0的解為；a-a2-4-aa2-4xi=？2二.22一a-''a