教學(xué)課件常微分考試大難

1、常微分方程A 卷期末一計(jì)算題（每小題 10 分，本題共 50 分）參考及評分標(biāo)準(zhǔn)dy = y - x21、（10 分）求方程的解.dx2xydy = y1-，1、解：原方程為（2 分）dx2x2 y令 z = y2 ，代入上式得dz= z - 1（1）（4 分）dxx z 11=-，x上式兩邊同乘，并整理得x x zx= C - ln | x |,兩邊得- x ln | x |,這樣，得到線性方程（1）的通解為z（9 分）y2x - x ln | x | .代回原變量，得原方程通解此外， y 出現(xiàn)在分母位置，不可取 0.（10 分）2、（10 分）求解微分方程(x2ex - y)dx + xd

2、y = 0 .2解：因子為1 ( x2ex - y) x1m=x2（4 分）取 x0 = 1, y0 = 0 ，則原方程的通為xxyy(e -)dx +dy = C（6 分）1x210即方程通解為+ y = C,C = e + Ce x（10 分）1x3、（10 分） y(x - ln y) = 13解：令 y = p ，則原方程的參數(shù)形式為1x =+ ln p1p（3 分） y = pdy由基本關(guān)系式= y ，有dxdy = ydx = p (-+ 1 )dp = (1- 1 )dp1（6 分）p2ppy = p - ln p + C得（8 分）得原方程參數(shù)形式通解為x =+ ln p1p（

3、10 分） y = p - ln p + C4、（10 分）求解微分方程 yy + y2 +1 = 04解：原方程可化為 ( yy + x) = 0（2 分）于是得y dy + x = C（5 分）1dx分離變量得ydy = (C1 - x)dx（7 分）得通為1 y2 = - 1 (x - C )2 + C（10 分）1222- x5、(10 分). 設(shè) f (x) 有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并滿足方程 f (x) = 0f (t -1)dt +1,求函數(shù)f (x) 的一般表達(dá)式.5解：原方程兩邊對 x 求導(dǎo)并化簡得 f (x) = - f (-x -1) ，再由已知條件，上述方x+1程可化為 f (

4、x) = -f (t -1)dt -1，（2 分）0x令 u = t -1，則上述方程變?yōu)?f (x) = -f (u)du -1-1兩邊再對 x 求導(dǎo)并化簡得 f (x) + f (x) = 0 ，（5 分）齊次方程的特征方程為l 2 + 1 = 0 ，特征根為 l= i ，1,22y = C1 cos x + C2 sin x因此，方程的通解為（7 分）= -sin1-1 .又因?yàn)?f (0) = 1, f (-1) = -1，所以C = 1 ，C12cos1故函數(shù) f (x) 的一般表達(dá)式為 f= cos x - sin1+1sin x .（10 分）cos1二計(jì)算題（每小題 15 分，

5、本題共 30 分）pp1、設(shè) y = y(x) 是區(qū)間（- 5，5）內(nèi)過（-，-）的光滑曲線，當(dāng)-5 x 0 時，曲22線 上 任 一 點(diǎn) 處 的 法 線 都 過 原 點(diǎn) ， 當(dāng) 0 x 5 時 ， 函 數(shù) y(x) 滿足 y + 4 y - x sin 2x = 0 。求 y(x) 的表達(dá)式.1.解：由題意，當(dāng)-5 x 0 時， y =- x ，即 ydy = -xdx ，得 y2 = -x2 + c ，y pp又 y(-) = -代入 y2 = -x2 + c 得c = p 2 ，從而有 x2 + y2 = p 2（5 分）22當(dāng) 0 x 5時 ， y + 4 y - x sin 2x =

6、 0得y + 4 y = 0的 通 解 為y* = C cos 2x + C sin 2x12由于2i 是一重特征根，故已知方程有形如y = ( Ax2 + Bx) cos 2x + (Cx2 + Dx)sin 2x11116的特解。將上式代入已知方程，得A = - , B = 0, C = 0, D =8因此， y + 4 y - x sin 2x = 0 的通解為1y = C1 cos 2x + C sin 2+ xsin 2x 。16（10 分）8由于 y = y(x) 是(-5, 5) 內(nèi)的光滑曲線，故 y 在 x = 0 處連續(xù)pp于是由 y(0-) = p , y(0+) = c

7、，又過點(diǎn)（-，-），故c = -p 時，y = y(x) 在1122x = 0 處連續(xù)，又當(dāng) -5 x 0 時，有2x + 2 y y = 0 ，得 y (0) = - x = 0 ，-y當(dāng)0 x 5 有3x211xy =x + 2c2 cos x - 4 x cos 2x +sin 2x + 16 sin 2x + 8 cos 2x ，4得 y+ (0) = 2c2 ， 由 y- (0) = y+ (0) 得2c2 = 0 ，即c2 = 0 .pp2c = -p, y = y(x)的又 過 點(diǎn) （-，-2） ， 所以表達(dá) 式 為1-p 2 - x2- 5 x 0+16,y = -p cos

8、2。（15 分） 58x = y - z12求方程組 y = x + y 滿足初值條件 的解j (t) .j(0) = h = 0z = x + z0l-1l -1 0102.解： det(l E - A) = -1= (l -1)(l 2 - l) = 0 ，-1l -1系數(shù)矩陣 A 的特征值為l1 = 0 ， l2 = 1 （二重） a （3 分）b由(l E - A)v = 0 ，得v = -a .= .由(l E - A)gv = 0 ，得v2（7 分）111222 -a g - b 1 a b -a +g 0 0 -a g - b a = 1 1 0 解得b = 0 ,v = -1,

9、v = 1 ,（11 分） 12 g = 1 -1 1 由此得到方程組滿足初值條件j(0) =h 的解為 0 1 = 1 et + -1 。f(t) = e Ev + etE + t( A - E)v0（15 分） 12 1 -1 三證明題（每小題 10 分，本題共 20 分）1、在二階線性微分方程 y + p(x) y + q(x) y = 0 中，已知 p(x) ， q(x) 在(-, + )4上連續(xù)求證：該方程的任一非零解在整個平面上都不能與 x 軸相切1、證明：由已知條件可知，該方程滿足高階線性微分方程解的存在唯一性定理的條件，且任一解的存在區(qū)間都是(-, + ) （2 分）顯然，該方

10、程有零解 y(x) 0 （5 分）反證法。假設(shè)該方程的任一非零解 y1 (x) 在 x 軸上某點(diǎn) x0 處與 x 軸相切，即有y1 (x0 ) = y1(x0 ) = 0 ，那么由解的唯一性及該方程有零解 y(x) 0 可知 y1(x) 0, x (-, + ) ，這是因?yàn)榱憬庖矟M足初值條件y1 (x0 ) = y1(x0 ) = 0，于是由解的唯一性，有 y1(x) y(x) 0, x (-, +) 這與 y1 (x) 是非零解矛盾（10 分）2、設(shè) f (x, y) 在整個平面上連續(xù)且有界,對 y 有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，證明方程dy =dxf (x, y) 的任一解 y = j(x) 在區(qū)間(-

11、,+) 上有定義.f y (x, y) 連續(xù)，因此方程在全2、證明：因?yàn)檎麄€平面上 f (x, y) 連續(xù)且有界，且平面上滿足解的存在唯一性定理以及解的延拓定理的條件，從而它的任一解都可延展到平面的無窮遠(yuǎn)處設(shè) y = j(x) 是方程過平面上任一點(diǎn)(x0 , y0 ) 的解，它滿足方程x（3 分）j(x) = y +f (z ,j(z )dz .（5 分）0x0下面證明右存在區(qū)間必為x0 ,+).用反證法。若解的右存在區(qū)間不是x0 ,+) ，則存在有限數(shù) b x0 , +) ，使得j(x) 只能在x0 , b )上存在，于是由f (x, y) K 知xxj(x) y +z ,j(z ) dx y +Kdx y0 + K (b - x0 ) =