全國各地2008數(shù)學高考真題及答案-(北京.理)含詳解

1、絕密使用完畢前2022年普通高等學校校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學理工農醫(yī)類北京卷本試卷分第I卷選擇題和第n卷非選擇題兩局部，第I卷1至2頁，第n卷3至9頁，共150分。考試時間120分鐘。考試結束，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷選擇題共40分考前須知：1答第I卷前，考生務必將自己的、準考證號、考試科目涂寫在答題卡上。2每題選出答案后，用鋼筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦 干凈后，再選涂其他答案。不能答在試卷上。一、此題共8小題。每題5分，共40分。在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求的 一項。1全集 U = R,集合 A=|X|-2W XW 3|, B=|xX -1 或

2、x> 4|,那么集合 A & vB等 于(A)|x|-2Wx 4| B|x|x< 3 或?4|(C)|x|-2W x<-1(D)|x卜1W x< 3|2假設 a=2a,b=log,3, c=log,sin，那么5(Aa>b>c(B) b>a>c(C) c>a>b(D)b>c>a“函數(shù)f(x)(x R)存在反函數(shù)是“函數(shù) f(x)在R上為增函數(shù)的(A)充分而不必要條件B丨必要而不充分條件(C)充分必要條件D丨即不充分也不必要條件4假設點P到直線x= 1的距離比它到點2, 0的燭1,那么點P的軌跡為A丨圓5假設實數(shù)B橢

3、圓廠*+1 > 0, x,y 滿足 x+y> 0,Ix< 0,(A)0(B)1C雙曲線D拋物線那么z=3x+y的最小值是(C)3(D)9數(shù)列I an |對任意的p,q Nm滿足ap+q = ap+aq,且ap=-6,那么ap+q等于A-165(B)-33(C)-30(D) 217過直線y=x上的一點作圓x-52=2的兩條切線11, 12，當直線11, 12關于y=x對稱時,綜們之間的夾角為A 30°B45°(C)60 °(D)90 °(8)如圖，動點 P在正方體 ABCD-A1B1C1D1的對角線 BD1上。過點P作垂直平面 BB1D1

4、D的 直線，與正方體面相關于M、N,設BP=x,MN=y,那么函數(shù)y=f(x)的圖象大致是絕密使用完畢前2022年普通高等學校校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學理工農醫(yī)類北京卷第n卷選擇題 共40分題號-二二151617181920總分分數(shù)考前須知：1. 用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。2. 答卷前將密封線內的工程填寫清楚。得分評分人9(a-i)2=2i,其中1是虛數(shù)單位，那么實數(shù)a=10向量a與b的夾角為120°，且丨aI =|b|=4,那么 b 2a+b的值為11假設(x212)展開式的各項數(shù)之和為X32，那么 n=，其展開式中的常數(shù)項為。用數(shù)字作答.填空題：本大題共 6小題，每題5分，

5、共30分。把答案填在題中橫線上。12丨如圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段 ABC,其中A,B,C的坐標分別為0，4， 2，0， 6,4 =lim(I那么 f(f(0)=x) f(l)X用數(shù)字作答13函數(shù)f(x)=x2=cos X,對于上的任意2 2X1,X2,有如下條件： X1>x2；x21>x22; |X1|>x2.其中能使f(x1)> f(X2)恒成立的條件序是.(14)某校數(shù)學課外小組在坐標紙上，為學校的一塊空地設計植樹方案如下：第 點 P1(x1,y1)處，其中 X1=1,y1=1,當 k> 2 時，k棵樹種植在X1=xx-1+1-5 : T k1-T K2

6、55yk=yk+1+T-TT a表示非負實數(shù)a的整數(shù)局部，例如 T(2,6)=2,T(0,2)=0.按此方案，第6棵樹種植點的坐標應為 ;第2022棵樹種植點的坐標應為 _三、解答題：本大題共6小題，共80分。解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程。得分評分人15本小題共13分函數(shù)f(x)=si n2® x+ 3s in w xsin( co x+ )(0)的最小正周期為n2I求w的值；一 2n求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，上的取值范圍.3評分人16本小題共14分女口圖，在三棱錐 P-ABC 中，AC=BC=2，/ ACB=90 ° , AP=BP=AB, PC 丄 AC.I求證

7、:n求二面角 B-AP-C的大小;川求點C到平面APB的距離.得分評分人17本小題共13分甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到A，B，C，D四個不同的歲位效勞，每上崗位至少有一名志愿者.I求甲、乙兩人同時參加 A崗位效勞的概率；n求甲、乙兩人不在同一個崗位效勞的概率；川設隨機變量E為這五名志愿者中參加A崗位效勞的人數(shù)，求E的分布列 .得分評分人18本小題共13分2x b函數(shù)f(x)=2，求導函數(shù)f1 (x),并確定f(x)的單調區(qū)間(X 1)得分評分人19本小題共14分菱形ABCD的頂點A, C在橢圓x2+3y2=4上，對角線BD所在直線的斜率為I. I當直線BD過點0，1丨時，求直線 AC的方

8、程；當/ ABC=60 °，求菱形 ABCD面積的最大值.得分評分人20本小題共13分對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列A:a1,a2,an,定義變換，T1將數(shù)列 A變換成數(shù)列 A：n,a1-1,a2-1,an-1.對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列B : b1,b2,bm,定義變換T2, T2將數(shù)列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列T2 B：又定義S B=2 b1+2b2+ +mbm+b21+b22+ +b2m.設Ao是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令Ak+1=T2(T1(Ak)(k=0,1,2，)I如果數(shù)列 A0為5, 3, 2,寫出數(shù)列 A2,A2；對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A，證

9、明ST1A=SA；川證明：對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列Ao,存在正整數(shù) K,當k> K時,S(Ak+1)=S(Ak).2022年高考北京理科數(shù)學詳解一、本大題共8小題，每題5分，共40分在每題列出的四個選項中，選出符合題目要求 的一項.1 .全集 U R，集合 A x| 2 < x < 3 ， B x|x 1或x 4，那么集合C. x| 2 < x 1【標準答案】：D【試題分析】：CU b=-1,4 , A門£ B【高考考點】：集合【易錯提醒】：補集求錯【備考提示】：高考根本得分點2.假設 a 20.5, b log n3, c log2sin，那么

10、5A. abcb . bacC. cab【標準答案】：A【試題分析】：利用估值法知a大于1, b在0與1之間，c小于0.【高考考點】：函數(shù)的映射關系，函數(shù)的圖像?！疽族e提醒】：估值出現(xiàn)錯誤?！緜淇继崾尽浚捍笮”葦M也是高考較常見的題型，希望引起注意。3“函數(shù)f(x)(x R)存在反函數(shù)是“函數(shù) f(x)在R上為增函數(shù)的 A 充分而不必要條件B 必要而不充分條件C.充分必要條件D 既不充分也不必要條件【標準答案】：B【試題分析】：函數(shù)f (x)(x R)存在反函數(shù)，至少還有可能函數(shù)f (x)在R上為減函數(shù),充分條件不成立；而必有條件顯然成立?！靖呖伎键c】：充要條件，反函數(shù)，映射關系，函數(shù)單調性?！?/p>

11、易錯提醒】：單調性與一一對應之間的關系不清楚【備考提示】：平時注意數(shù)形結合訓練。4假設點P到直線x 1的距離比它到點(2,0)的距離小1,那么點P的軌跡為 A 圓B 橢圓C.雙曲線D 拋物線【標準答案】：D【試題分析】：把P到直線x1向左平移一個單位，兩個距離就相等了，它就是拋物線的定義?！靖呖伎键c】：二次函數(shù)的定義?！疽族e提醒】：沒有轉化的意識【備考提示】：根本概念、根本技巧、根本運算的訓練是根底。x y 1 > 0,5假設實數(shù)x, y滿足x y> 0, 那么z 3x 2y的最小值是x < 0,A . 0B . 1C.3 D . 9【標準答案】：B【試題分析】：解出可行域的

12、頂點，帶入驗證。【高考考點線性規(guī)劃【易錯提醒頂點解錯【備考提示高考根本得分點。6.數(shù)列 an對任意的p, qN*滿足ap qapaq，且 a26 ,那么ai0等于A.165B.33C.30D.2i【標準答案C【試題分析由= a? + a?=-i2, a =a4 + a4 = 24,ai0 = a$ + a： = -30【高考考點數(shù)列【易錯提醒特殊性的運用【備考提示加強從一般性中發(fā)現(xiàn)特殊性的訓練。7 .過直線yx上的一點作圓(X5)2 (y i)22的兩條切線li, l2，當直線li, l2關于y x對稱時，它們之間的夾角為A. 30B. 45C.60D.90'【標準答案C【試題分析一:

13、過圓心M作直線l : y=x的垂線交與N點，過N點作圓的切線能夠滿足條件，不難求出夾角為60°?！驹囶}分析二 【高考考點】【易錯提醒】 【備考提示】:明白N點后，用圖象法解之也很方便:直線與圓的位置關系。:N點找不到。8.如圖，動點P在正方體ABCDA(B1C1D1的對角線 BD1上.過點P作垂直于平面BBDiD的直線，與正方體外表相交于M , N 設 BPx , MN y ,那么函數(shù)y f (x)的:數(shù)形結合這個解題方法在高考中應用的非常普遍，希望加強訓練。圖象大致是DiCiAiBiCPMAB【標準答案:B:顯然，x與y的關系應該是線性的，淘汰選項 截面，線與面的位置關系。找不到特

14、殊點O,或者發(fā)現(xiàn)不了 O【試題分析P點移動時,【咼考考點【易錯提醒【備考提示 二、填空題:只有當P移動到中心O時,MN有唯一的最大值,的特殊性。淘汰選項 A、C;加強空間想象力的訓練，加強觀察能力的訓練。本大題共 6小題，每題5分，共30分把答案填在題中橫線上.9.(a2i) 2i，其中i是虛數(shù)單位，那么實數(shù)a【標準答案】：-1【試題分析】：a2 2ai 1 = a2 1 2ai = 2i, a= 1【高考考點】：復數(shù)的運算【易錯提醒】：增根a=1沒有舍去?！緜淇继崾尽浚焊呖几镜梅贮c。10.向量a與b的夾角為120，且a b 4，那么b(2a b)的值為【標準答案】 【試題分析】 【高考考點

15、】 【易錯提醒】【備考提示】0利用數(shù)形結合知，向量 a與2a+b垂直。向量運算的幾何意義如果使用直接法，易出現(xiàn)計算錯誤。向量的共線、平行、垂直、構成特殊三角形、特殊四邊形等希望引起考生注211假設xn1 展開式的各項系數(shù)之和為32，那么nx項為用數(shù)字作答【標準答案】:510意?！驹囶}分析】：顯然展開式的各項系數(shù)之和就是二項式系數(shù)之和,，其展開式中的常數(shù)也即n=5 ;將5拆分成“前23后2恰好出現(xiàn)常數(shù)項，C5 = 10.【高考考點】：二項式【易錯提醒】：課本中的典型題目，套用公式解題時，易出現(xiàn)計算錯誤 【備考提示】：二項式的考題難度相對較小，注意三基訓練。12如圖，函數(shù)f(X)的圖象是折線段AB

16、C ,其中A, B, C的坐標分別為(0,4), (2 0) (6 4),那么 f(f(0)；lim 一X)f(1).用數(shù)字作答x 0x【標準答案】：2-2【試題分析】：f(0)=4 , f(4)=2 ;由導數(shù)的幾何意義知【高考考點】：函數(shù)的圖像，導數(shù)的幾何意義?！疽族e提醒】：概念“導數(shù)的幾何意義不清?！緜淇继崾尽浚涸诤瘮?shù)、三角函數(shù)、平面向量、復數(shù)、解析幾何、導數(shù)范圍，數(shù)形結合是最常用的手段之一，希望引起足夠重視。13.函數(shù)f(x)2x cosx,對于n n一，一上的任意X1, X2，有如下條件2 2 x!x2 ;x2X；x1x2.其中能使f(xjf (X2)恒成立的條件序- 號是【標準答案】

17、：【試題分析】：函數(shù)f(x) x2 COSX顯然是偶函數(shù)，其導數(shù) y '2x+sinx在0<x< 時，顯 2然也大于0，是增函數(shù)，想象其圖像，不難發(fā)現(xiàn)，x的取值離對稱軸越遠，函數(shù)值就越大，滿足這一點。當x1 = ,x 2 =- 時，均不成立。2 2【高考考點】：導數(shù)，函數(shù)的圖像，奇偶性?！疽族e提醒】：無視了函數(shù)是偶函數(shù)。【備考提示】：加強導數(shù)綜合應用的訓練。14. 某校數(shù)學課外小組在坐標紙上，為學校的一塊空地設計植樹方案如下：第k棵樹種植在點 R(Xk, yQ處，其中 1, yi 1，當 k > 2 時,XkXk 1ykyk 12 , T(0.2)0 .;第2022棵

18、樹種植點的坐標應T(a)表示非負實數(shù)a的整數(shù)局部，例如 T(2.6)按此方案，第 6棵樹種植點的坐標應為 為【標準答案】：(1,2) (3, 402)k 1k 21,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1【試題分析】：T t T組成的數(shù)列為55(k=1,2,3,4 )。帶入計算得：數(shù)列xn 為 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5數(shù)列 yn 為 1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4.因此，第 6 棵樹種在(1,2),第2022棵樹種在(3, 402)。【高考考點】：數(shù)列的通項【易錯提醒】：前幾項的規(guī)律找錯【

19、備考提示】：創(chuàng)新題大家都沒有遇到過，仔細認真地從前幾項特殊處、簡單處體會題意，從而找到解題方法。三、解答題：本大題共6小題，共80分解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程.15. 本小題共13分函數(shù)f (x) sin2 x . 3sin xsin x n 0丨的最小正周期為 n.2I求 的值；2 nn求函數(shù)f (x)在區(qū)間0,，丄上的取值范圍.【標準答案】見后【高考考點】：三角函數(shù)式恒等變形，三角函數(shù)的值域?！疽族e提醒】：公式的記憶，范圍確實定，符號確實定?！緜淇继崾尽浚壕C合性大題的高考根本得分點，復習時，應該到達熟練掌握的程度。16. 本小題共14分如圖，在三棱錐P ABC中，ACBC 2

20、, ACB 90 , AP BP AB , PCAC .I求證：PC AB ；n求二面角 B AP C的大小;見后直線與直線的垂直，二面角，點面距離 二面角的平面角找不到，求點面距離的方法單川求點C到平面APB的距離.【標準答案】【高考考點】【易錯提醒】【備考提示】：找二面角的方法大致有十種左右，常見的也有五六種，希望能夠全面掌握。17. 本小題共13分甲、乙等五名奧運志愿者被隨機地分到A, B, C, D四個不同的崗位效勞，每個崗位至少有一名志愿者.I求甲、乙兩人同時參加A崗位效勞的概率;n求甲、乙兩人不在同一個崗位效勞的概率；川設隨機變量為這五名志愿者中參加 A崗位效勞的人數(shù)，求的分布列.

21、【標準答案】：【高考考點】：概率，隨機變量的分布列【易錯提醒】：總的可能性是典型的“捆綁排列，易把C5混淆為A 2【備考提示】：近幾年新增的內容，整體難度不大，可以作為高考根本得分點。2x b18.本小題共13分函數(shù)f(x)2，求導函數(shù)f (x)，并確定f(x)的單調區(qū)(x 1)2間.【標準答案】：【高考考點】：導數(shù)，導數(shù)的應用【易錯提醒】：公式記憶出錯，分類討論出錯【備考提示】：大學下放內容，涉及面相對較小，題型種類也較少，易于掌握。19.本小題共14分菱形ABCD的頂點A C在橢圓x2 3y2 4上，對角線BD所在直線的斜率為1.I當直線BD過點(0,)時，求直線 AC的方程;n當 ABC

22、 60時，求菱形 ABCD面積的最大值.【標準答案】：【高考考點】：直線方程，最值【易錯提醒】：不會使用判別式和韋達定理【備考提示】：解析幾何的綜合題在高考中的“綜合程度往往比擬高，注意復習時與之匹配。20.本小題共13分對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列A： ai, a?,-，an,定義變換T1,將數(shù)列A變換成數(shù)列Ti(A): n, ai 1, a? 1,a. 1 .對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列B： bi,鳥,，bm，定義變換T?，T2將數(shù)列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列T2(B)；又定義 S(B) 2(b 2b2 mbm)b2 b2 bm.設Ao是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令Aki

23、 T2(Ti(Ak)(k0,1,2,).I如果數(shù)列 A為5，3，2,寫出數(shù)列 A，A ；n對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A，證明SfT/A) S(A)；川證明：對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A ,存在正整數(shù)K ,當k > K時,S(Aki) S(Ak).【標準答案】：【高考考點】：數(shù)列【易錯提醒】：入口出錯【備考提示】：由一個數(shù)列為根底，按著某種規(guī)律新生岀另一個數(shù)列的題目新數(shù)列的前幾項一定不難 岀錯，它岀錯，那么整體岀錯。2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學理工農醫(yī)類北京卷參考答案一、選擇題本大題共8小題,每題5分,共40分1. D2. A3.B4.D5. B6. C7. C

24、8. B二、填空題本大題共6小題,每題5分,共30分9.110. 011.51012. 2 21314. (1,)(3,402)三、解答題本大題共 6小題，共80分1sin 2 x - cos2 x2 215. 共 13 分解：If(x) 1 cos2 x _sin2 x2 2sin 2 x因為函數(shù)f(x)的最小正周期為 n且 0,2 n所以 n,解得 1.2冗1n由I得 f (x) sin 2x - 6 2因為0 <x2 n3，所以冗2x7 n666，所以1sin2xn < 126n因此 0 < sin 2x 61 33丄3，即f (x)的取值范圍為0,三2 2216. 共

25、 14 分解法一：I取AB中點D，連結PD, CD .丁 APBP ,PDABACBCCDABTPDflCDD ,AB平面PCD . PC平面PCD ,PCABn AC BC , AP BP , APC BPC .又 PC AC ,B又 ACB 90，即 ACBC，且 AC 門 PC C ,BC 平面PAC .取AP中點E 連結BE, CE .AB BP , BE AP .EC是BE在平面PAC內的射影,CE AP .BEC是二面角B AP C的平面角.PC BC .3在厶 BCE 中， BCE 90 , BC 2, BE - AB . 6 ,2sin BEC 匹丄BE 3面角B AP C的大

26、小為arcsin弓知 AB 平面PCD , 平面PCD .PD，垂足為平面APB|平面PCDCH 平面APB .CH的長即為點C到平面川由I平面APB 過C作CHH .PD ,APB的距離.由IPCCDPC知 PC AB, 平面ABC . 平面ABC , CD .又PC AC，且AB門AC在 Rt PCD 中，CD1 3-AB 2 , PD PB2 2.6PC . PD2 CD2CHPCCD 2 3PD 3B點C到平面APB的距離為差3IACBC , APCBPC又PCACPCBCt ACn bcC,PC平面ABC .AB平面ABC ,PCAB解法二:AP BP ,n如圖，以 C為原點建立空間

27、直角坐標系 C xyz .那么 C(0,0,0), A(0,2,0), B(2,0,0).設 P(0,0, t).t PB AB 2罷,t 2 , P(0,0,2).取AP中點E，連結BE, CE / AC PC , | AB |Bp ,CE AP BE APBEC是二面角B AP C的平面角.TE(0,) , EC (0, 1, 1), EB (2 , 1 , 1),cos BEC二面角B川ACEC*EBeceb|AP C的大小為arccos=33BC PCC在平面APB內的射影為正 APB的中心H ,且CH的長為點C到平面APB的距離. 如n建立空間直角坐標系 C xyz .TBH 2HE

28、 ,一 2 2 2點H的坐標為3 3 3CH邁.32厲點C到平面APB的距離為317. 共 13 分解：I記甲、乙兩人同時參加A崗位效勞為事件EA，那么P(Ea)A 丄C|a440,1即甲、乙兩人同時參加 A崗位效勞的概率是 .40n記甲、乙兩人同時參加同一崗位效勞為事件E，那么P(E)110,9 所以，甲、乙兩人不在同一崗位效勞的概率是P(E) 1 P(E).10川隨機變量 可能取的值為1, 2事件“2 是指有兩人同時參加 A崗位效勞,那么P(CfA；12) 話話 -.C5 A44所以P(1) 1 P(2)34，的分布列是1331P4418.共13分2解: f (x)2(x 1)(2xb)2

29、(x41)(X 1)42x 2b 2(x 1)32x (b 1)(x 1)3'令 f (x)0 ,得 x b 1.當b 11，即b2時，f (x)的變化情況如下表：x(，b 1) b 1(b 1,1)(1,)f (x)0當b 11，即b2時，f (x)的變化情況如下表:x(，)(1, b 1)b 1 (b1,)f (x)0所以，當b 2時，函數(shù)f(x)在(，b 1)上單調遞減，在(b1,1)上單調遞增,在(1,)上單調遞減.當b 2時，函數(shù)f(x)在(，,)上單調遞減，在(1, b 1)上單調遞增，在(b 1, 單調遞減.2當b 1 1，即b 2時，f(x) ，所以函數(shù)f (x)在(,)上單調遞減，在x 1上單調遞減.19.共 14 分解：I由題意得直線 BD的方程為y x 1.因為四邊形ABCD為菱形，所以AC BD .于是可設直線AC的方程為y因為A,所以設A,那么x1所以3y24得 4x2 6