力矩與力偶的一些練習題

1、2.1力對點的矩從實踐中知道，力對物體的作用效果除了能使物體移動外，還能使物體轉動，力矩就 是度量力使物體轉動效果的物理量。力使物體產生轉動效應與哪些因素有關呢？現以扳手擰螺帽為例，如圖 2.1所示。手加在扳手上的力F，使扳手帶動螺帽繞中心 0轉動。力F 越大，轉動越快；力的作用線離轉動中心越遠，轉動也 越快；如果力的作用線與力的作用點到轉動中心0點的連線不垂直，那么轉動的效果就差；當力的作用線通過轉 動中心0時，無論力F多大也不能扳動螺帽， 只有當力 的作用線垂直于轉動中心與力的作用點的連線時，轉動 效果最好。另外，當力的大小和作用線不變而指向相反 時，將使物體向相反的方向轉動。在建筑工地上

2、使用撬 杠抬起重物，使用滑輪組起吊重物等等也是實際的例子。 通過大量的實踐總結出以下的規(guī)律：力使物體繞某點轉 動的效果，與力的大小成正比，與轉動中心到力的作用 線的垂直距離 d也成正比。這個垂直距離稱為力臂，轉動中心稱為力矩中心(簡稱矩心)。力的大小與力臂的乘積稱為力F對點0之矩(簡稱力矩)，記作m(F)。計算公式可寫為m(F)F d(2.1)式中的正負號表示力矩的轉向。在平面內規(guī)定：力使物體繞矩心作逆時針方向轉動時，力矩為正；力使物體作順時針方向轉動時，力矩為負。因此，力矩是個代數量。力矩的單位是N m或kN m。由力矩的定義可以得到如下力矩的性質：(1) 力F對點0的矩，不僅決定于力的大小

3、，同時與矩心的位置有關。矩心的位置不 同，力矩隨之不同；(2) 當力的大小為零或力臂為零時，那么力矩為零；(3) 力沿其作用線移動時，因為力的大小、方向和力臂均沒有改變，所以，力矩不變。(4) 相互平衡的兩個力對同一點的矩的代數和等于零。例2.1分別計算圖2.2中F1、F2對0點的力矩。解 從圖2 - 2中可知力F1和F2對0點的力臂是h和12。故 mo(F)= Fi l1 = F il1 sin30=49 XX,pIN、 /J=1Ln圖22合力矩定理mo(F)= F212 = F212 X 42.2必須注意：一般情況下力臂并不等于矩心與 力的作用點的距離，女口Fi的力臂是h，不是li 。在計

4、算力對點的力矩時，有些問題往往力臂不易求出，因而直接按定義求力矩難以計 算。此時，通常采用的方法是將這個力分解為兩個或兩個以上便于求出力臂的分力，在由 多個分力力矩的代數和求出合力的力矩。這一有效方法的理論根據是合力矩定理，即：如果有n個平面匯交力作用于A點，那么平面匯交力系的合力對平面內任一點之矩，等于力系中各分力對同一點力矩的代數和：即m(FR)=m o(Fi)+ mo(F2)+ + mo(Fn)=刀 mo(F)(2.2)稱為合力矩定理。合力矩定理一方面常?？梢杂脕泶_定物體的重心位置；另一方面也可以用來簡化力矩的計算。這樣就使力矩的計算有兩種方法：在力臂或方便求解時，按力矩定義進行計算;在

5、計算力對某點之矩，力臂不易求出時，按合力矩定理求解，可以將此力分解為相互垂直 的分力，如兩分力對該點的力臂，即可方便地求出兩分力對該點的力矩的代數和，從 而求出力對該點矩。例2.2計算圖2.3中F對O點之矩。解 F對O點取矩時力臂不易找出。將F分解 成互相垂直的兩個分力 Fx、Fy ,它們對O點的矩分 別為m(Fx)=Fxb=Fbs in m(FY)= FYa=Facos 由合力矩定理mo(F)= mo(Fx)+ mo(FY)= Fbs in + Facos例2.3槽形桿用螺釘固定于點 O，如圖2.4 (a)所示。在桿端點 A作用一力F，其 大小為400N，試求力F對點O的矩。臂d，如圖2.4

6、 (b)所示。由圖2.4 (b)中的ABO可得tan型60.3331218.43AOBO412.65cm sin0.3162而在 ACO中，d60 18.4341.57，所以AOs in12.65si n 41.57 8.39cm于是力F對點0的矩為解方法1(按力矩定義計算)：此題中力F的大小和方向均,要計算力F對點O的矩，關鍵是找出力臂的長度。為此，自矩心O作力F作用線的垂線OC，線段0C就是力mo(F)=Fd= 400 x 83.9=33560Nmm號表示力F將使槽形桿繞點0有順時針方向轉動的趨勢。Fy ,如圖2.4 (c)所示。方法2(按合力矩定理計算)：將力F分解為水平力Fx和鉛直力

7、由合力矩定理知，力 F對點O的矩就等于分力 Fx、Fy對同一點O的矩的代數和，即mo(F)= m o(Fx)+ mo(FY) = Fx x 120+FyX 40=400sin60x 120+400cos60x 40=41560+8000= 33560Nmm可見兩種方法結果完全一樣。但在方法1中，求力FP對點O的矩需要通過幾何關系才能找出力臂，計算比擬麻煩；而方法2用合力矩定理計算那么比擬簡便。在實際計算中，常用合力矩定理來求力矩或合力作用線的位置。2.42.3力偶及其根本性質力偶和力偶矩在生產實踐和日常生活中，為了使物體發(fā)生轉動，常常在物體上施加兩個大小相等、方向相反、不共線的平行力。例如鉗工

8、用絲錐攻絲時兩手加力在絲杠上圖2.5所示。當大小相等、方向相反、不共線的兩個平行力F和F/作用在同一物體時，它們的合力Fr 0,即F和F，沒有合力。但因二力不共線，所以也不能平衡。它們的作用效果是 使物體發(fā)生轉動。力學上把這樣大小相等、方向相反、不共線的兩個平行力叫力偶。用符 號F ,F/表示。兩個相反力之間垂直距離 d叫力偶臂如圖2.6所示，兩個力的作用線所 在的平面稱為力偶作用面。力偶不能再簡化成比力更簡單的形式，所以力偶與力一樣被看 成是組成力系的根本元素。如何度量力偶對物體的作用效果呢？由實踐可知，組成力偶的力越大，或力偶臂越大，那么力偶使物體轉動的效應越強；反之，就越弱。這說明力偶的

9、轉動效應不僅與兩個力的大 小有關，而且還與力偶臂的大小有關。與力矩類似，用力偶中一個力大小和力偶臂的乘積 并冠以適當正負號以示轉向來度量力偶對物體的轉動效應，稱為力偶矩，用m表示。即m Fd2.3使物體逆時針方向轉動時，力偶矩為正；反之為負。如圖2.6所示。所以力偶矩是代數量。力偶矩的單位與力矩的單位相同，常用牛頓米N m。通過大量實踐證明，度量力偶對物體轉動效應的三要素是：力偶矩的大小、力偶的轉向、力偶的作用面。不同的力偶只要它們的三要素相同，對物體的轉動效應就是一樣的。力偶的根本性質性質1力偶沒有合力，所以力偶不能用一個力來代替，也不能與一個力來平衡。從力偶的定義和力的合力投影定理可知，力

10、偶中的二力在其作用面內的任意坐標軸上 的投影的代數和恒為零，所以力偶沒有合力，力偶對物體只能有轉動效應，而一個力在一般情況下對物體有移動和轉動兩種效應。因此，力偶與力對物體的作用效應不同，所以其 不能與一個力等效，也不能用一個力代替，也就是說力偶不能和一個力平衡，力偶只能和 轉向相反的力偶平衡。性質2力偶對其作用面內任一點之矩恒等于力偶矩，且與矩心位置無關。圖2.7所示力偶(F , F，)，其力偶臂為d，逆時針轉向，其力偶矩為 m Fd，在其所 在的平面內任選一點 O為矩心，與離F，的垂直距離 為x，那么它到F的垂直距離為x d。顯然，力偶對O 點的力矩是力F與F分別對O點的力矩的代數和。其值

11、為：mO(F, F ) F(d x) Fx Fd m 由于O點是任意選取的，所以性質 2已得證。性質3在同一平面內的兩個力偶，如果它們的 力偶矩大小相等，轉向相同，那么這兩個力偶等效。稱為力偶的等效條件。從以上性質可以得到兩個推論。推論1力偶可在其作用面內任意轉移，而不改變它對物體的轉動效應，即力偶對物 體的轉動效應與它在作用面內的位置無關。例如圖2.8(a)作用在方向盤上的兩上力偶(F,，F )與(F2，F )只要它們的力偶矩大小相等，轉向相同，作用位置雖不同，轉動效應是相同的。推論2 在力偶矩大小不變的條件下，可以改變力偶中的力的大小和力偶臂的長短;)而不改變它對物體的轉動效應。例如圖2.

12、8(b)所示，工人在利用絲錐攻螺紋 時，作用在螺紋杠上的(F,，F )或(F2，F 雖然d!和d2不相等，但只要調整力的大小，使 力偶矩FdiF2d2，那么兩力偶的作用效果是相同的。從上面兩個推論可知，在研究與力偶有關的問題時，不必考慮力偶在平面內的作用位 置，也不必考慮力偶中力的大小和力偶臂的長短，只需考慮力偶的大小和轉向。所以常用 帶箭頭的弧線表示力偶，箭頭方向表示力偶的轉向，弧線旁的字母 m或者數值表示力偶矩的大小，如圖2.9所示。2.5平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成作用在物體上的一群力偶或一組力偶，稱為力偶系。作用面均在同一平面內的力偶系 稱為平面力偶系。因為力偶對物體的作用效

13、果是轉動，所以同一平面上的多個力偶對物體的作用效果也 是轉動，作用在同一物體上的多個力偶的合成的結果必然也應該是一個力偶，并且這個力 偶的力偶矩等于各個分力偶的力偶矩之和。即作用在同一平面上的假設干力偶，可以合成為 一個合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代數和：即Mm(m, mnm(2.4)圖 2. 0例2.4如圖2.10所示，在物體的某平面內受到三個力偶的作用，設R 200N，F2600N， m 300N m，求它們的合力偶矩。解各力偶矩分別為葉 Fd 200 1200N m0.25m2 F2d600300 N msin 30m m 300N m由(2 4)式可得合力矩為M m mi m,

14、m3200 300 300200N m即合力偶矩的大小為 200N m，順時針轉向，作用在原力偶系的平面內。平面力偶系的平衡條件平面力偶系可以合成為一個合力偶，當合力偶矩等于零時， 物體處于平衡狀態(tài)； 反之,力偶矩不為零，那么物體必產生轉動效應而不平衡。這樣可得到平面力偶系平衡的必要和充 分條件是：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代數和等于零。即：(2.5)上式稱為平面力偶系的平衡方程。應用式(2.5)解決平面力偶系的平衡問題，只能求出一個未知量。例2.5梁AB上作用有一力偶，其轉向如圖2.11(a)，力偶矩 m 15kN m。梁長 l 3m，梁的自重不計，求 A、B處支座反力。ib)Rl 2.

15、11解梁的B端是可動鉸支座，其支座反力Fb的方向是沿垂直方向的；梁的 A端是固定鉸支座，其反力的 方向本來是未定的，但因梁上只受一個力偶的作用，根 據力偶只能與力偶平衡的性質，Fa必須與Fb組成一個力偶。這樣Fa的方向也只能是沿垂直方向的，假設Ra與Fb的指向如圖2.11(b)所示，由平面力偶系的平衡條 件得m 0， m RAl 0Far r 璋 5KN()Fbr 5KN ( J )本章小結1. 力矩是力使物體繞某一點轉動效應的度量。力矩的大小等于力與矩心到力的作用線的垂直距離的乘積，力矩的轉向用正、負號來表示；因而在平面問題中，力矩可看成是代 數量。2. 力偶是由大小相等、方向相反、作用線平

16、行但不重合的兩個力所組成的一個特殊力 系。力和力偶是力學中兩個最根本的機械作用量。力對剛體作用一般都有移動和轉動兩種 效應；而力偶對剛體卻只有轉動效應，沒有移動效應。力偶既不能用一個力代替，也不能 與一個力平衡，力偶只能用力偶來平衡。力偶使剛體轉動的效應用力偶矩來度量。力偶矩的大小等于力偶中任一力的大小與兩 力之間的垂直距離的乘積，力偶矩的轉向用正、負號來表示，因而在平面問題中，力偶矩 可看成是代數量。力矩是力使物體繞某點轉動效應的度量，而力偶是最根本的機械作用量，力矩與力偶 是兩種不同的概念，不能混淆。3. 力偶在任一軸上的投影恒等于零；力偶對其作用面內任一點的矩恒等于力偶矩，而與矩心的位置

17、無關；力偶可以在其剛體的作用面內任意移動，也可以在力偶矩保持不變的條件下同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變它對剛體的效應。但必須注意,所謂任意移動是指在所作用的剛體內移動，而不能將它移動到另外的剛體上。掌握力偶的 這些性質，無論對于力系簡化的理論或解決有關力偶作用下物體的平衡問題，都是非常重 要的。4. 平面力偶系合成的結果是一個合力偶；合力偶的力偶矩等于力偶系中各分力偶的力偶矩的代數和。平面力偶系平衡的必要和充分條件是合力偶矩等于零，即力偶系中各力偶 的力偶矩的代數和等于零。思考試2.1什么是力矩？什么是力偶？有何異同？舉例說明。22力偶有哪幾條性質？2.3力偶的三要素是什么？2.4怎樣的力偶才是等效力偶？習題2.1計算以下各圖中F力對O點之矩。A