ch7-靜電場中的導體和電介質(zhì)-習題及答案

1、第7章靜電場中的導體和電介質(zhì)習題與答案1 .半徑分別為R和r的兩個導體球，相距甚遠。用細導線連接兩球并使它帶電，電荷面密度分別為1和2。忽略兩個導體球的靜電相互作用和細導線上電荷對導體球上電荷分布的影響。試證明：-。2R證明：因為兩球相距甚遠，半徑為R的導體球在半徑為r的導體球上產(chǎn)生的電勢忽略不計，半徑為r的導體球在半徑為R的導體球上產(chǎn)生的電勢忽略不計，所以半徑為R的導體球的電勢為Vii R24九0R半徑為r的導體球的電勢為2V22r4兀r用細導線連接兩球，有ViV2,所以2 .證明：對于兩個無限大的平行平面帶電導體板來說，(1)相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相反；(2)相背的兩

2、面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相同。證明：如圖所示，設兩導體A、B的四個平面均勻帶電的電荷面密度依次為-2,(1)取與平面垂直且底面分別在A、B內(nèi)部的閉合圓柱面為高斯面，由高斯定理得SEC1cdSO一(23)S上式說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號相反。(2)在A內(nèi)部任取一點P,則其場強為零，并且它是由四個均勻帶電平面產(chǎn)生的場強疊加而成的，即123to22223 .半徑為R的金屬球離地面很遠，并用導線與地相聯(lián)，在與球心相距為d3R處有一點電荷+q,試求：金屬球上的感應電荷的電量。解：如圖所示，設金屬球表面感應電荷為q,金屬球接地時電勢V0由電勢疊加原理，球心電勢為1qVodqq4u0

3、R4冗03Rq04u0R4冗03R故qq34.半彳全為Ri的導體球，帶有電量q,球外有內(nèi)外半徑分別為R2、R3的同心導體球殼，球殼帶有電量Qo(1)求導體球和球殼的電勢V1和V2;(2)如果將球殼接地，求V1和V2;(3)若導體球接地(設球殼離地面很遠)，求Vi和V?。解：(1)應用均勻帶電球面產(chǎn)生的電勢公式和電勢疊加原理求解。半徑為R、帶電量為q的均勻帶電球面產(chǎn)生的電勢分布為q40Rq40r(r R)(r R)導體球外表面均勻帶電q;導體球殼內(nèi)表面均勻帶電q,外表面均勻帶電qQ,由電勢疊加原理知，空間任一點的電勢等于導體球外表面、導體球殼內(nèi)表面和外表面電荷在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。導體球是等

4、勢體，其上任一點電勢為V1,盧且心)4RR2R3球殼是等勢體，其上任一點電勢為V2qqqQqQ40r40r40R340R3(2)球殼接地V2qQ0,表明球殼外表面電荷qQ入地，球殼外表面不帶4/0R3電，導體球外表面、球殼內(nèi)表面電量不變，所以(3)導體球接地Vi0,設導體球表面的感應電荷為q,則球殼內(nèi)表面均勻帶電外表面均勻帶電qQ,所以工(93U)040R1R2R3解得qR1R2QR2 R3R1 R3R1 R2V2(R2Ri)Q40R340(R2R3R1R3R1R2)5.兩個半徑分別為R1和R2(R1R2)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電+q,試求:(1)外球殼上的電荷分布與電勢大小;(2)先

5、把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時外球殼的電荷分布與電勢;(3)再使內(nèi)球殼接地，此時內(nèi)球殼上的電量以與外球殼上的電勢。解：(1)內(nèi)球殼外表面帶電q ;外球殼內(nèi)表面帶電為q ,外表面帶電為分布，外球殼上電勢為V R2E drdr j-0r 4 冗 0R2(2)外球殼接地時，外表面電荷q入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為q。所以球殼電勢由內(nèi)球 q與外球殼內(nèi)表面q產(chǎn)生，其電勢為4冗0R24冗0R2(3)如圖所示，設此時內(nèi)球殼帶電量為q ;則外殼內(nèi)表面帶電量為外殼外表面帶電量為q q (電荷守恒)，此時內(nèi)球殼電勢為零，且4 冗 0R14 冗 0R24 冗 0R2q ，得 qR1qR2外球殼的電

6、勢為Vbq q q q4 u 0R24u 0R24 u 0R2RiR2 q4 / oR26.設一半徑為R的各向同性均勻電介質(zhì)球體均勻帶電，其自由電荷體密度為體內(nèi)的介電常數(shù)為1,球體外充滿介電常數(shù)為 2各各向同性均勻電介質(zhì)。求球內(nèi)外任一點的場強大小和電勢（設無窮遠處為電勢零點）。解：電場具有球?qū)ΨQ分布，以r為半徑作同心球面為高斯面。由介質(zhì)中的高斯定理得SDdS DqiR時,qir3,所以EiR時,qiR3,所以g3r2E2DR322r球內(nèi)（rR）電勢為V1ErdrRdr r 3 1R32rn(R2r2)r23 2球外（rR）電勢為V2 E drrR3 rdr r 3 2r2R33 2r7.如圖所

7、示，一平行板電容器極板面積為S,兩極板相距為d,其中放有一層厚度為t的介質(zhì)，相對介電常數(shù)為，介質(zhì)兩邊都是空氣。設極板上面電荷密度分別為+和,求：（1）極板間各處的電位移和電場強度大小;（2）兩極板間的電勢差U;（3）電容C。解：（1）取閉合圓柱面（圓柱面與極板垂直，兩底面圓與極板平行，左底面圓在極板導體中，右底面圓在兩極板之間）為高斯面，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理，得(2) Ut)SDdS D S（空氣中）（介質(zhì)內(nèi)）bEdlt0 rrd0 rS(r 1)t8.如圖所示,在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對介電常數(shù)為的電介質(zhì)，設極板面積為S,兩極板上分別帶電荷為Q和Q,略去邊緣效應。試求:（1）在有電介

8、質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度的比值;（2）兩極板間的電勢差U;（3）電容C。解：（1）充滿電介質(zhì)部分場強為E2,真空部分場強為E1,有電介質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度分別為2和1。取閉合圓柱面（圓柱面與極板垂直，兩底面圓與極板平行，上底面圓在極板導體中,下底面圓在兩極板之間）為高斯面，由DDdSq0得DiE DE1 0E2D2由、解得R3 時，E2Q4冗 r2所以,在R1rR2區(qū)域W1R2 1R1 20(20r22)4 drR2 Q2drR 8九 r2Q28九0(R1力S一(2)由電荷守恒定律知，(12)SQ2由、解得U2Qd(r1)0S(3)CQ(D0SU2d9.半徑

9、為R的導體球，外套有一同心的導體球殼，殼的內(nèi)、外半徑分別為R2和R3,當內(nèi)球帶電荷Q時，求：(1)整個電場儲存的能量；(2)將導體殼接地時整個電場儲存的能量；(3)此電容器的電容值。解：如圖所示，內(nèi)球表面均勻帶電Q,外球殼內(nèi)表面均勻帶電Q,外表面均勻帶電(1)由高斯定理得當r旦和2rR3時，E0當R1rR2時，E1Q24冗。廣R3區(qū)域1r3 24 冗 or2)24 2drQ2 18冗o R總能量為W W1 W2Q287；R2R3(2)導體殼接地時，只有R1rR2 時 EQ4冗 r2，其它區(qū)域E 0 ,所以W20W W1Q28兀。(R1R2(3)電容器電容為2WC 314 冗 0 /( R11R

10、2)10. 一個圓柱形電容器，內(nèi)圓柱面半徑為Ri,外圓柱面半徑為R2 ,長為L(LR2R1),兩圓筒間充有兩層相對介電常量分別為r1和r2的各向同性均勻電介質(zhì),其分界面半徑為R,如圖所示。設內(nèi)、外圓柱面單位長度上帶電荷(即電荷線密度)分別為和 ，求：(1)電容器的電容；(2)電容器儲存的能量。解：(1)電場分布具有軸對稱性，取同軸閉合圓柱面為高斯面,圓柱面高為l ,底面圓半徑為r。由介質(zhì)中的高斯定理得D dS D 2 甫qi當 RrR2 時， q兩圓筒間場強大小為riR2兩圓筒間的電勢差為R2U E drR120 r1r0 r2r(Ri(RR drR12 / 0.Jr R)rR2)R2drR

11、2 冗 0 r2rNlnR220r1R120r2R電容器的電容為20r1r2Lr2lnR/R1r1lnR2/R(2)電容器儲存的能量2L r2lnRiri lnR24冗0r1r211 .如圖所示，一充電量為Q的平行板空氣電容器，極板面積為S,間距為d,在保持極板上電量Q不變的條件下，平行地插入一厚度為d/2,面積S,相對電容率為的電介質(zhì)平板，在插入電介質(zhì)平板的過程中，外力需作多少功?解：插入電介質(zhì)平板之前，Co/，電容器儲存的能量為Wo1 Q2Q2d2 Co2 oS插入電介質(zhì)平板之后，由本章習題7的解法可得到C 2 o rS(r 1)d電容器儲存的能量為d/2dQw1Q2Q2(r1)dw2C4orS由能量守恒定律知，在插入電介質(zhì)平板的過程中，外力作的功為AWW02Q2d(1r)40rS12 .一球形電容器，內(nèi)球殼半徑為Ri,外球殼半徑為R2,兩球殼間充有兩層各向同性均勻電介質(zhì)，其界面半徑為R,相對介電常數(shù)分別為r1和:2,如圖所示。設在兩球殼間加上電勢差U12,求:(1)電容器的電容；(2)電容器儲存的能量。解：(1)設球內(nèi)球殼和外球殼分別帶電Q、Q,電場具有球?qū)ΨQ分布，以r為半徑作同心球面為高斯面。由介質(zhì)中的高斯定理得SDdSD4r2qiQ當R1rR2時，q1Q,D2i471r內(nèi)球殼和外球殼之間場強大小為DE0rQ40r1rQ4