ch7-靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)-習(xí)題及答案

1、第7章靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)習(xí)題與答案1 .半徑分別為R和r的兩個導(dǎo)體球，相距甚遠。用細導(dǎo)線連接兩球并使它帶電，電荷面密度分別為1和2。忽略兩個導(dǎo)體球的靜電相互作用和細導(dǎo)線上電荷對導(dǎo)體球上電荷分布的影響。試證明：-。2R證明：因為兩球相距甚遠，半徑為R的導(dǎo)體球在半徑為r的導(dǎo)體球上產(chǎn)生的電勢忽略不計，半徑為r的導(dǎo)體球在半徑為R的導(dǎo)體球上產(chǎn)生的電勢忽略不計，所以半徑為R的導(dǎo)體球的電勢為Vii R24九0R半徑為r的導(dǎo)體球的電勢為2V22r4兀r用細導(dǎo)線連接兩球，有ViV2,所以2 .證明：對于兩個無限大的平行平面帶電導(dǎo)體板來說，(1)相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相反；(2)相背的兩

2、面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相同。證明：如圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體A、B的四個平面均勻帶電的電荷面密度依次為-2,(1)取與平面垂直且底面分別在A、B內(nèi)部的閉合圓柱面為高斯面，由高斯定理得SEC1cdSO一(23)S上式說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號相反。(2)在A內(nèi)部任取一點P,則其場強為零，并且它是由四個均勻帶電平面產(chǎn)生的場強疊加而成的，即123to22223 .半徑為R的金屬球離地面很遠，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距為d3R處有一點電荷+q,試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量。解：如圖所示，設(shè)金屬球表面感應(yīng)電荷為q,金屬球接地時電勢V0由電勢疊加原理，球心電勢為1qVodqq4u0

3、R4冗03Rq04u0R4冗03R故qq34.半彳全為Ri的導(dǎo)體球，帶有電量q,球外有內(nèi)外半徑分別為R2、R3的同心導(dǎo)體球殼，球殼帶有電量Qo(1)求導(dǎo)體球和球殼的電勢V1和V2;(2)如果將球殼接地，求V1和V2;(3)若導(dǎo)體球接地(設(shè)球殼離地面很遠)，求Vi和V?。解：(1)應(yīng)用均勻帶電球面產(chǎn)生的電勢公式和電勢疊加原理求解。半徑為R、帶電量為q的均勻帶電球面產(chǎn)生的電勢分布為q40Rq40r(r R)(r R)導(dǎo)體球外表面均勻帶電q;導(dǎo)體球殼內(nèi)表面均勻帶電q,外表面均勻帶電qQ,由電勢疊加原理知，空間任一點的電勢等于導(dǎo)體球外表面、導(dǎo)體球殼內(nèi)表面和外表面電荷在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。導(dǎo)體球是等

4、勢體，其上任一點電勢為V1,盧且心)4RR2R3球殼是等勢體，其上任一點電勢為V2qqqQqQ40r40r40R340R3(2)球殼接地V2qQ0,表明球殼外表面電荷qQ入地，球殼外表面不帶4/0R3電，導(dǎo)體球外表面、球殼內(nèi)表面電量不變，所以(3)導(dǎo)體球接地Vi0,設(shè)導(dǎo)體球表面的感應(yīng)電荷為q,則球殼內(nèi)表面均勻帶電外表面均勻帶電qQ,所以工(93U)040R1R2R3解得qR1R2QR2 R3R1 R3R1 R2V2(R2Ri)Q40R340(R2R3R1R3R1R2)5.兩個半徑分別為R1和R2(R1R2)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電+q,試求:(1)外球殼上的電荷分布與電勢大小;(2)先

5、把外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時外球殼的電荷分布與電勢;(3)再使內(nèi)球殼接地，此時內(nèi)球殼上的電量以與外球殼上的電勢。解：(1)內(nèi)球殼外表面帶電q ;外球殼內(nèi)表面帶電為q ,外表面帶電為分布，外球殼上電勢為V R2E drdr j-0r 4 冗 0R2(2)外球殼接地時，外表面電荷q入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為q。所以球殼電勢由內(nèi)球 q與外球殼內(nèi)表面q產(chǎn)生，其電勢為4冗0R24冗0R2(3)如圖所示，設(shè)此時內(nèi)球殼帶電量為q ;則外殼內(nèi)表面帶電量為外殼外表面帶電量為q q (電荷守恒)，此時內(nèi)球殼電勢為零，且4 冗 0R14 冗 0R24 冗 0R2q ，得 qR1qR2外球殼的電

6、勢為Vbq q q q4 u 0R24u 0R24 u 0R2RiR2 q4 / oR26.設(shè)一半徑為R的各向同性均勻電介質(zhì)球體均勻帶電，其自由電荷體密度為體內(nèi)的介電常數(shù)為1,球體外充滿介電常數(shù)為 2各各向同性均勻電介質(zhì)。求球內(nèi)外任一點的場強大小和電勢（設(shè)無窮遠處為電勢零點）。解：電場具有球?qū)ΨQ分布，以r為半徑作同心球面為高斯面。由介質(zhì)中的高斯定理得SDdS DqiR時,qir3,所以EiR時,qiR3,所以g3r2E2DR322r球內(nèi)（rR）電勢為V1ErdrRdr r 3 1R32rn(R2r2)r23 2球外（rR）電勢為V2 E drrR3 rdr r 3 2r2R33 2r7.如圖所

7、示，一平行板電容器極板面積為S,兩極板相距為d,其中放有一層厚度為t的介質(zhì)，相對介電常數(shù)為，介質(zhì)兩邊都是空氣。設(shè)極板上面電荷密度分別為+和,求：（1）極板間各處的電位移和電場強度大小;（2）兩極板間的電勢差U;（3）電容C。解：（1）取閉合圓柱面（圓柱面與極板垂直，兩底面圓與極板平行，左底面圓在極板導(dǎo)體中，右底面圓在兩極板之間）為高斯面，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理，得(2) Ut)SDdS D S（空氣中）（介質(zhì)內(nèi)）bEdlt0 rrd0 rS(r 1)t8.如圖所示,在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對介電常數(shù)為的電介質(zhì)，設(shè)極板面積為S,兩極板上分別帶電荷為Q和Q,略去邊緣效應(yīng)。試求:（1）在有電介

8、質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度的比值;（2）兩極板間的電勢差U;（3）電容C。解：（1）充滿電介質(zhì)部分場強為E2,真空部分場強為E1,有電介質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度分別為2和1。取閉合圓柱面（圓柱面與極板垂直，兩底面圓與極板平行，上底面圓在極板導(dǎo)體中,下底面圓在兩極板之間）為高斯面，由DDdSq0得DiE DE1 0E2D2由、解得R3 時，E2Q4冗 r2所以,在R1rR2區(qū)域W1R2 1R1 20(20r22)4 drR2 Q2drR 8九 r2Q28九0(R1力S一(2)由電荷守恒定律知，(12)SQ2由、解得U2Qd(r1)0S(3)CQ(D0SU2d9.半徑

9、為R的導(dǎo)體球，外套有一同心的導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)、外半徑分別為R2和R3,當(dāng)內(nèi)球帶電荷Q時，求：(1)整個電場儲存的能量；(2)將導(dǎo)體殼接地時整個電場儲存的能量；(3)此電容器的電容值。解：如圖所示，內(nèi)球表面均勻帶電Q,外球殼內(nèi)表面均勻帶電Q,外表面均勻帶電(1)由高斯定理得當(dāng)r旦和2rR3時，E0當(dāng)R1rR2時，E1Q24冗。廣R3區(qū)域1r3 24 冗 or2)24 2drQ2 18冗o R總能量為W W1 W2Q287；R2R3(2)導(dǎo)體殼接地時，只有R1rR2 時 EQ4冗 r2，其它區(qū)域E 0 ,所以W20W W1Q28兀。(R1R2(3)電容器電容為2WC 314 冗 0 /( R11R

10、2)10. 一個圓柱形電容器，內(nèi)圓柱面半徑為Ri,外圓柱面半徑為R2 ,長為L(LR2R1),兩圓筒間充有兩層相對介電常量分別為r1和r2的各向同性均勻電介質(zhì),其分界面半徑為R,如圖所示。設(shè)內(nèi)、外圓柱面單位長度上帶電荷(即電荷線密度)分別為和 ，求：(1)電容器的電容；(2)電容器儲存的能量。解：(1)電場分布具有軸對稱性，取同軸閉合圓柱面為高斯面,圓柱面高為l ,底面圓半徑為r。由介質(zhì)中的高斯定理得D dS D 2 甫qi當(dāng) RrR2 時， q兩圓筒間場強大小為riR2兩圓筒間的電勢差為R2U E drR120 r1r0 r2r(Ri(RR drR12 / 0.Jr R)rR2)R2drR

11、2 冗 0 r2rNlnR220r1R120r2R電容器的電容為20r1r2Lr2lnR/R1r1lnR2/R(2)電容器儲存的能量2L r2lnRiri lnR24冗0r1r211 .如圖所示，一充電量為Q的平行板空氣電容器，極板面積為S,間距為d,在保持極板上電量Q不變的條件下，平行地插入一厚度為d/2,面積S,相對電容率為的電介質(zhì)平板，在插入電介質(zhì)平板的過程中，外力需作多少功?解：插入電介質(zhì)平板之前，Co/，電容器儲存的能量為Wo1 Q2Q2d2 Co2 oS插入電介質(zhì)平板之后，由本章習(xí)題7的解法可得到C 2 o rS(r 1)d電容器儲存的能量為d/2dQw1Q2Q2(r1)dw2C4orS由能量守恒定律知，在插入電介質(zhì)平板的過程中，外力作的功為AWW02Q2d(1r)40rS12 .一球形電容器，內(nèi)球殼半徑為Ri,外球殼半徑為R2,兩球殼間充有兩層各向同性均勻電介質(zhì)，其界面半徑為R,相對介電常數(shù)分別為r1和:2,如圖所示。設(shè)在兩球殼間加上電勢差U12,求:(1)電容器的電容；(2)電容器儲存的能量。解：(1)設(shè)球內(nèi)球殼和外球殼分別帶電Q、Q,電場具有球?qū)ΨQ分布，以r為半徑作同心球面為高斯面。由介質(zhì)中的高斯定理得SDdSD4r2qiQ當(dāng)R1rR2時，q1Q,D2i471r內(nèi)球殼和外球殼之間場強大小為DE0rQ40r1rQ4