初三二次函數(shù)最后一題答案

1、二次函數(shù)綜合題型精講精練題型一：二次函數(shù)中的最值問(wèn)題例1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A2，4，O0，0，B2，0三點(diǎn)1求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；2假設(shè)點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值解析：1把A2，4，O0，0，B2，0三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c中，得解這個(gè)方程組，得a=，b=1，c=0所以解析式為y=x2+x2由y=x2+x=x12+，可得拋物線的對(duì)稱軸為x=1，并且對(duì)稱軸垂直平分線段OBOM=BMOM+AM=BM+AM連接AB交直線x=1于M點(diǎn)，那么此時(shí)OM+AM最小過(guò)點(diǎn)A作ANx軸于點(diǎn)N，在RtABN中，AB=4，因此O

2、M+AM最小值為方法提煉：一條直線上一動(dòng)點(diǎn)M和直線同側(cè)兩個(gè)固定點(diǎn)A、B，求AM+BM最小值的問(wèn)題，我們只需做出點(diǎn)A關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)A，將點(diǎn)B與A連接起來(lái)交直線與點(diǎn)M，那么AB就是AM+BM的最小值。同理，我們也可以做出點(diǎn)B關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)B，將點(diǎn)A與B連接起來(lái)交直線與點(diǎn)M，那么AB就是AM+BM的最小值。應(yīng)用的定理是：兩點(diǎn)之間線段最短。 A A B B M或者 M A B例2：如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1，0、B3，0、C0，3三點(diǎn)1求拋物線的解析式2點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)不與B，C重合，過(guò)M作MNy軸交拋物線于N，假設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng)3在2的條件下，連接NB、NC

3、，是否存在m，使BNC的面積最大？假設(shè)存在，求m的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由解析：1設(shè)拋物線的解析式為：y=ax+1x3，那么：a0+103=3，a=1；拋物線的解析式：y=x+1x3=x2+2x+32設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，那么有：，解得；故直線BC的解析式：y=x+3點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，那么Mm，m+3、Nm，m2+2m+3；故MN=m2+2m+3m+3=m2+3m0m33如圖；SBNC=SMNC+SMNB=MNOD+DB=MN×OB，SBNC=m2+3m×3=m2+0m3；當(dāng)m=時(shí)，BNC的面積最大，最大值為方法提煉：因?yàn)锽NC的面積不好直接求，將BNC的面積

4、分解為MNC和MNB的面積和。然后將BNC的面積表示出來(lái)，得到一個(gè)關(guān)于m的二次函數(shù)。此題利用的就是二次函數(shù)求最值的思想，當(dāng)二次函數(shù)的開(kāi)口向下時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最大值；當(dāng)二次函數(shù)的開(kāi)口向上時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最小值。題型二：二次函數(shù)與三角形的綜合問(wèn)題例3：如圖，：直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C1，0三點(diǎn).1求拋物線的解析式;2假設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為-1，0，在直線上有一點(diǎn)P,使ABO與ADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；3在2的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使ADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：1：由題意

5、得，A3，0，B0，3拋物線經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，把A3，0，B0，3，C1，0三點(diǎn)分別代入得方程組 解得：拋物線的解析式為 2由題意可得：ABO為等腰三角形,如下圖，假設(shè)ABOAP1D，那么DP1=AD=4 , P1假設(shè)ABOADP2 ，過(guò)點(diǎn)P2作P2 Mx軸于M，AD=4, ABO為等腰三角形, ADP2是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2= P2M，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合 P21，23如圖設(shè)點(diǎn)E ，那么 當(dāng)P1(-1,4)時(shí)，S四邊形AP1CE=SACP1+SACE = 點(diǎn)E在x軸下方 代入得： ,即 =(-4)2-4×7=-12<0 此方程無(wú)解當(dāng)P21，2時(shí)，S四邊形A

6、P2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE = 點(diǎn)E在x軸下方 代入得：即 ，=(-4)2-4×5=-4<0 此方程無(wú)解綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E。方法提煉：求一點(diǎn)使兩個(gè)三角形相似的問(wèn)題，我們可以先找出可能相似的三角形，一般是有幾種情況，需要分類討論，然后根據(jù)兩個(gè)三角形相似的邊長(zhǎng)相似比來(lái)求點(diǎn)的坐標(biāo)。要求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)使兩個(gè)圖形面積相等，我們一般是設(shè)出這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩個(gè)圖形面積相等來(lái)求這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。如果圖形面積直接求不好求的時(shí)候，我們要考慮將圖形面積分割成幾個(gè)容易求解的圖形。例4：如圖，點(diǎn)A在x軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°

7、至OB的位置1求點(diǎn)B的坐標(biāo)；2求經(jīng)過(guò)點(diǎn)AO、B的拋物線的解析式；3在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由解析：1如圖，過(guò)B點(diǎn)作BCx軸，垂足為C，那么BCO=90°，AOB=120°， BOC=60°，又OA=OB=4，OC=OB=×4=2，BC=OBsin60°=4×=2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為2，2；2拋物線過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)AB，可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將A4，0，B22代入，得， 解得，此拋物線的解析式為y=x2+x3存在，如圖，拋物線的對(duì)稱軸

8、是x=2，直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，y，假設(shè)OB=OP，那么22+|y|2=42，解得y=±2，當(dāng)y=2時(shí)，在RtPOD中，PDO=90°，sinPOD=，POD=60°，POB=POD+AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上，y=2不符合題意，舍去，點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，2假設(shè)OB=PB，那么42+|y+2|2=42，解得y=2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，2，假設(shè)OP=BP，那么22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，2，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè)，其坐標(biāo)為2，2，方法

9、提煉：求一動(dòng)點(diǎn)使三角形成為等腰三角形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想。因?yàn)橐挂粋€(gè)三角形成為等腰三角形，只要三角形的任意兩個(gè)邊相等就可以，所以應(yīng)該分三種情況來(lái)討論。題型三：二次函數(shù)與四邊形的綜合問(wèn)題例5：綜合與實(shí)踐：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于AB兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)1求直線AC的解析式及B，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；2點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作直線lAC交拋物線于點(diǎn)Q，試探究：隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)AP、Q、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由3請(qǐng)?jiān)谥本€AC上找

10、一點(diǎn)M，使BDM的周長(zhǎng)最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)解析：1當(dāng)y=0時(shí)，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，AB的坐標(biāo)分別為1，0，3，0當(dāng)x=0時(shí)，y=3C點(diǎn)的坐標(biāo)為0，3設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1k10，那么， 解得，直線AC的解析式為y=3x+3y=x2+2x+3=x12+4，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為1，4 2拋物線上有三個(gè)這樣的點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)Q在Q1位置時(shí)，Q1的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)Q1的坐標(biāo)為2，3；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)Q2位置時(shí)，點(diǎn)Q2的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線可得點(diǎn)Q2坐標(biāo)為1+，3；當(dāng)點(diǎn)Q在Q3位置時(shí)，點(diǎn)Q3的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線解析式可得，點(diǎn)Q3的坐標(biāo)為1，3；綜上可

11、得滿足題意的點(diǎn)Q有三個(gè)，分別為：Q12，3，Q21+，3，Q31，3 （3） 點(diǎn)B作BBAC于點(diǎn)F，使BF=BF，那么B為點(diǎn)B關(guān)于直線AC 的對(duì)稱點(diǎn)連接BD交直線AC與點(diǎn)M，那么點(diǎn)M為所求，過(guò)點(diǎn)B作BEx軸于點(diǎn)E1和2都是3的余角，1=2 RtAOCRtAFB， ，由A1，0，B3，0，C0，3得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線BD的解析式為y=k2x+b2k20， 解得，直線B'D的解析式為：y=x+，聯(lián)立B'D與AC的直線解析式可得：， 解得，

12、M點(diǎn)的坐標(biāo)為，方法提煉：求一動(dòng)點(diǎn)使四邊形成為平行四邊形成立的條件，這種題型要用分類討論的思想，一般需要分三種情況來(lái)討論。題型四：二次函數(shù)與圓的綜合問(wèn)題例6：如圖，半徑為2的C與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為1，0假設(shè)拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn)1求拋物線的解析式；2在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PBO=POB？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在說(shuō)明理由；3假設(shè)點(diǎn)M是拋物線在第一象限內(nèi)的局部上一點(diǎn)，MAB的面積為S，求S的最大小值解析：1如答圖1，連接OBBC=2，OC=1OB=B0，將A3，0，B0，代入二次函數(shù)的表達(dá)式得 ，解得： ，2存在如答圖2，作線段OB的垂直平分線l

13、，與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn)PB0，O0，0，直線l的表達(dá)式為代入拋物線的表達(dá)式，得；解得，P3如答圖3，作MHx軸于點(diǎn)H設(shè)M ，那么SMAB=S梯形MBOH+SMHASOAB=MH+OBOH+HAMHOAOB= ， = 當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為題型五：二次函數(shù)中的證明問(wèn)題例8：如圖11，二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)A(-4，3，B(4，4). 1求二次函數(shù)的解析式： 2求證：ACB是直角三角形； 3假設(shè)點(diǎn)P在第二象限，且是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PH垂直x軸于點(diǎn)H，是否存在以P、H、D、為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：1將A(-4，3，B(4，4)代人中

14、，整理得： 解得 二次函數(shù)的解析式為： ， 整理得： 2由 整理 C -2，0 D 從而有：AC2=4+9 BC2=36+16 AC2+ BC2=13+52=65 AB2=64+1=65 AC2+ BC2=AB2 故ACB是直角三角形 3設(shè) X<0 PH= HD= AC= BC= 當(dāng)PHDACB時(shí)有： 即： 整理 舍去此時(shí)， 當(dāng)DHPACB時(shí)有： 即： 整理 舍去此時(shí)， 綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)即 題型六：自變量取值范圍問(wèn)題例10：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是菱形，頂點(diǎn)ACD均在坐標(biāo)軸上，且AB=5，sinB=1求過(guò)ACD三點(diǎn)的拋物線的解析式；2記直線AB的解析式

15、為y1=mx+n，1中拋物線的解析式為y2=ax2+bx+c，求當(dāng)y1y2時(shí)，自變量x的取值范圍；3設(shè)直線AB與1中拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，P點(diǎn)為拋物線上AE兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，PAE的面積最大？并求出面積的最大值解析：1四邊形ABCD是菱形，AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=；RtOCD中，OC=CDsinD=4，OD=3；OA=ADOD=2，即：A2，0、B5，4、C0，4、D3，0；設(shè)拋物線的解析式為：y=ax+2x3，得：2×3a=4，a=；拋物線：y=x2+x+42由A2，0、B5，4得直線AB：y1=x；由1得：y2=x2+x+4，那么：，解

16、得：，；由圖可知：當(dāng)y1y2時(shí)，2x53SAPE=AEh，當(dāng)P到直線AB的距離最遠(yuǎn)時(shí)，SABC最大；假設(shè)設(shè)直線LAB，那么直線L與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)為點(diǎn)P；設(shè)直線L：y=x+b，當(dāng)直線L與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x+b=x2+x+4，且=0；求得：b=，即直線L：y=x+；可得點(diǎn)P，由2得：E5，那么直線PE：y=x+9；那么點(diǎn)F，0，AF=OA+OF=；PAE的最大值：SPAE=SPAF+SAEF=××+=綜上所述，當(dāng)P，時(shí)，PAE的面積最大，為題型七：二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例11：某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子廠品，每件制造本錢(qián)為18元，試銷過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y萬(wàn)件與銷售單價(jià)x元之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y=2x+100利潤(rùn)=售價(jià)制造本錢(qián)1寫(xiě)出每月的利潤(rùn)z萬(wàn)元與銷售單價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式；2當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能獲得3502萬(wàn)元的利潤(rùn)？當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月能獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？3根據(jù)相關(guān)部門(mén)規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷售單價(jià)不能高于32元，如果廠商要獲得每月不低于350萬(wàn)元的利潤(rùn)，那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造本錢(qián)需要多少萬(wàn)元？解析：1z=x18y=x182x+100=2x2+136x1800，z與x之間的函數(shù)解析式為z=2x2+136x1800；2由z=350，得350=2x2+136x1800