正弦函數(shù)的性質(zhì)

1、5.2正弦函數(shù)的性質(zhì)學習目標：1.理解、掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)(重點)2.會求簡單函數(shù)的定義域、值域(重點)3.能利用單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小(難點)自 主 預 習·探 新 知正弦函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)定義域R值域1,1最大值與最小值當x2k(kZ)時，ymax1；當x2k(kZ)時，ymin1周期性周期函數(shù)，T2單調(diào)性在(kZ)上是增加的；在(kZ)上是減少的奇偶性奇函數(shù)對稱性圖像關(guān)于原點對稱，對稱中心(k，0)，kZ；對稱軸xk，kZ思考：正弦函數(shù)的周期為2，在研究正弦函數(shù)性質(zhì)時，選取哪個區(qū)間研究，既好學，又有效？提示：選取上的圖像來研究，即可掌握整個定義域上的性質(zhì)基礎(chǔ)自測1判斷(正確的打

2、“”，錯誤的打“×”)(1)正弦函數(shù)ysin x的定義域為R.()(2)正弦函數(shù)ysin x是單調(diào)增函數(shù)()(3)正弦函數(shù)ysin x是周期函數(shù)()(4)正弦函數(shù)ysin x的最大值為1，最小值為1.()答案(1)(2)×(3)(4)2下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是()Ay|sin x|Bysin (|x|)Cysin |x| Dyxsin |x|D利用定義，顯然yxsin |x|是奇函數(shù)3若函數(shù)f(x)sin 2xa1是奇函數(shù)，則a_.解析由奇函數(shù)的定義f(x)f(x)得a1.答案14函數(shù)y|sin x|的值域是_解析由函數(shù)y|sin x|的圖像(圖略)可知為0,1答案0,1合

3、作 探 究·攻 重 難正弦函數(shù)的周期性與奇偶性求下列函數(shù)的周期：(1)ysin x；(2)y|sin x|. 【導學號：64012033】解(1)sinsinsin x，sin x的周期是4.(2)作出y|sin x|的圖像，如圖故周期為.規(guī)律方法1求正弦函數(shù)的周期時要注意結(jié)合圖像判斷，不要盲目套用結(jié)論2函數(shù)ysin x為奇函數(shù)時其定義域必須關(guān)于原點對稱，否則不具有奇偶性如ysin x，x0,2是非奇非偶函數(shù)跟蹤訓練1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)xsin x；(2)f(x)|sin x|1.解(1)xR，且關(guān)于原點對稱，又f(x)xsin(x)xsin xf(x)，f(x)為

4、偶函數(shù)(2)xR，且關(guān)于原點對稱，又f(x)|sin(x)|1f(x)，f(x)為偶函數(shù)正弦函數(shù)的單調(diào)性及應用比較下列各組三角函數(shù)值的大小(1)sin 與sin；(2)sin 1，sin 2，sin 3，sin 4(由大到小排列)思路探究將所給角通過誘導公式化到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用ysin x的單調(diào)性比較大小解(1)sinsin，sinsin，sin>sin，所以sin<sin.(2)因為sin 2sin(2)，sin 3sin(3)，且0<3<2<.函數(shù)ysin x在上是增加的，且sin 4<0，所以sin(2)>sin 1>sin(3)&

5、gt;0，即sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.規(guī)律方法1比較sin 與sin 的大小時，可利用誘導公式，把sin 與sin 轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的正弦值，再借助于正弦函數(shù)的單調(diào)性來進行比較2比較sin 與cos 的大小，常把cos 轉(zhuǎn)化為sin后，再依據(jù)單調(diào)性進行比較3當不能將兩角轉(zhuǎn)到同一單調(diào)區(qū)間上時，還可以借助于圖像或值的符號比較跟蹤訓練2比較sin與sin的大小解sinsinsin，sinsinsin.0<<<.又ysin x在上單調(diào)遞增，sin<sin，即sin<sin.與正弦函數(shù)有關(guān)的值域問題探究問題1對于形如yfg(x)的

6、函數(shù)，如何求其值域？提示：先求內(nèi)函數(shù)ug(x)的值域，再求外函數(shù)yf(u)的值域2對于yAsin2xBsin xC型的函數(shù)，怎樣求值域？提示：利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值求下列函數(shù)的值域(1)y32sin x；(2)ysin2xsin x. 【導學號：64012034】思路探究(1)利用|sin x|1即可求解(2)配方求解，要注意|sin x|1這一情況解(1)1sin x1，1sin x1，132sin x5，函數(shù)y32sin x的值域為1,5(2)令tsin x，則1t1，yt2t22，當t時，ymax2.此時sin x，即x2k或x2k，kZ.當t1時，ymin.此時sin x1，即

7、x2k，kZ.函數(shù)ysin2xsin x的值域為.母題探究1(變條件)將例3(1)的條件變?yōu)椤昂瘮?shù)y12sin x，x”求函數(shù)的最值解x，sin x.012sin x2.即y12sin x，x的最大值為2，最小值為0.2(變條件)將例3(1)中的函數(shù)變?yōu)椤皔3asin x(a0)”試求函數(shù)的值域解1sin x1.(1)當a>0時，aasin xa，3a3asin x3a.(2)當a<0時，aasin xa，3a3asin x3a.綜上，當a>0時函數(shù)的值域為3a,3a；當a<0時，函數(shù)的值域為3a,3a規(guī)律方法求正弦函數(shù)的值域一般有以下兩種方法：(1)將所給三角函數(shù)轉(zhuǎn)化

8、為二次函數(shù)，通過配方法求值域，例如轉(zhuǎn)化為ya(sin xb)2c型的值域問題.(2)利用sin x的有界性求值域，如yasin xb，|a|by|a|b.當 堂 達 標·固 雙 基1正弦函數(shù)ysin x，xR的圖像上的一條對稱軸是()Ay軸Bx軸C直線x D直線xC結(jié)合函數(shù)ysin x，xR的圖像可知直線x是函數(shù)的一條對稱軸2函數(shù)f(x)3sin x的最小正周期是()A BC D2D由3sin(2x)3sin x知f(x)的最小正周期為2.3f(x)2sin x在上的最大值為_解析f(x)2sin x在上是減少的，所以f(x)max2sin.答案4函數(shù)f(x)sin2x1的奇偶性是_解析f(x)sin(x)21sin2x1f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)答案偶函數(shù)5比較下列各組數(shù)的大小(1)sin 2 016°和cos 160°；(2)sin和cos. 【導學號：64012035】解(1)sin 2 016°sin(360°×5216°)sin 216°sin(180°36°)sin 36°，cos 160°cos(180°20°)cos 20°sin 70°.sin 36°&l