知識(shí)講解_導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用題(提高)(文)

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決曲線的切線的問題.2 .會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性等有關(guān)問題.3 .會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值等有關(guān)問題.4 .能通過運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具解決生活中的一些優(yōu)化問題：例如利潤最大、用料最省、效率最高等問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：有關(guān)切線問題直線與曲線相切，我們要抓住三點(diǎn)：切點(diǎn)在切線上；切點(diǎn)在曲線上；切線斜率等于曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值.要點(diǎn)詮釋：通過以上三點(diǎn)可以看出，抓住切點(diǎn)是解決此類題的關(guān)鍵，有切點(diǎn)直接求，無切點(diǎn)則設(shè)切點(diǎn)，布列方程組.要點(diǎn)二：有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的問題設(shè)函數(shù)y = f (x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，(1)如果恒有f'(x)&

2、gt;0,則函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)為增函數(shù)；(2)如果恒有f'(x)<0,則函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)為減函數(shù)；(3)如果恒有f'(x)=0,則函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)為常數(shù)函數(shù).要點(diǎn)詮釋：(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)單調(diào)遞增，則 f'(x) >0,若函數(shù)f (x)在(a, b)內(nèi)單調(diào)遞減,則 f'(x) <0.(2) f '(x)之0或f '(x) E0恒成立，求參數(shù)值的范圍的方法： 分離參數(shù)法：m之g(x)或m M g( x). 若不能隔離參數(shù)，就是求含參函數(shù)f(x,m)的最小值f(x,m)min 使

3、f(x, m)min > 0.(或是求含參函數(shù)f(x,m)的最大值f(x,m)max使f (x, m)max W0 )要點(diǎn)三：函數(shù)極值、最值的問題函數(shù)極值的問題(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)(x);(3)求方程f'(x)=0的根；(4)檢查f'(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，則 f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則f(x)在這個(gè)根處取得極小值.(最好通過列表法)要點(diǎn)詮釋：先求出定義域一般都要列表：然后看在每個(gè)根附近導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化：若由正變負(fù)，則該點(diǎn)為極大值點(diǎn)；若由負(fù)變正，則該點(diǎn)為極小值點(diǎn).注意：無定義的點(diǎn)不用在表中列出根據(jù)表格給出結(jié)論：注意一定

4、指出在哪取得極值函數(shù)最值的問題若函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間a,b有定義，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則求函數(shù)y= f(x)在a,b上的最大值和最小值的步驟如下：(1)求函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；(2)求方程f'(x)=0在(a,b)內(nèi)的根；(3)求在(a,b)內(nèi)所有使f (x) =0的的點(diǎn)的函數(shù)值和 f (x)在閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a) , f (b);(4)比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)y= f(x)在閉區(qū)間a,b上的最大值，最小者為函數(shù)y = f(x)在閉區(qū)間a,b上的最小值.要點(diǎn)詮釋：求函數(shù)的最值時(shí)，不需要對(duì)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)討論其是極大還是極小值，只需

5、將導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可.若f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極大(小)值，則這一極大(小)值即為最大(小)值要點(diǎn)四：優(yōu)化問題在實(shí)際生活中用料最省、利潤最大、效率最高等問題，常?？梢詺w結(jié)為函數(shù)的最大值問題，從而可 用導(dǎo)數(shù)來解決.我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大(小)值的有力工具，導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決 有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題 .利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值的一般步驟：(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，找出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式 y = f (x);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f '(x),解方程f '(x) =0

6、;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)的函數(shù)值大小，最大 (小)者為最大(小)值.要點(diǎn)詮釋：解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系.再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個(gè)過程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：優(yōu)化問題 建立數(shù)學(xué)模型.用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題解決數(shù)學(xué)模型, . 作答優(yōu)化問題的答案 4E用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題得出變量之間的關(guān)系 y = f(x)后，必須由實(shí)際意義確定自變量x的取值范圍；在實(shí)際問題中，有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)

7、只有一個(gè)點(diǎn)使f '(x) =0的情形，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道這就是最大(小)值.在求實(shí)際問題的最大(小)值時(shí)，一定要注意考慮實(shí)際問題的意義，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去.【典型例題】類型一：利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)切線問題例1.若直線y=kx與曲線y =x3 3x2+2x相切，試求k的值.【思路點(diǎn)撥】當(dāng)切點(diǎn)未知時(shí)，應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn).【解析】設(shè)y = kx與y =x3 -3x2 +2x相切于P(%, y0)則y0 =kx032 cy x0 -3x0*2x0 ,2 2又 y =3x 6x+2 . . k = y'|x=x)= 3x0 6xo +2 ,由得：(

8、3x02 6x0 +2 ) x0 =x03 3x02 +2x0,一2即(2x0 -3)x2 =03 1 x0 = 0或x0 = , 卜=2或卜=.24【總結(jié)升華】當(dāng)切點(diǎn)未知時(shí)，要先設(shè)切點(diǎn)，然后根據(jù)直線與曲線相切的三個(gè)關(guān)系列方程組，從而求得參數(shù)值.舉一反三：【變式】 已知曲線f (x) = x3+x2 +x+3在x =-1處的切線恰好與拋物線y2 = 2px (p a 0)相切，求拋物線方程和拋物線上的切點(diǎn)坐標(biāo).【答案】丫 f(1) =2 ,，曲線y = f(x)上的切點(diǎn)為A( 1,2).; f (x)=3x2 +2x+1,. .(1) =2 ,，切線方程為 y 2 =2(x+1),即 y =2

9、x+4.設(shè)拋物線上的切點(diǎn)為 B(x0 , y0)顯然拋物線上的切點(diǎn)在拋物線的上半支,拋物線上半支的方程為 y =、2px,2p 口=2 ,得 p = 8x0x X02 x0又.點(diǎn)B在切線上，,2px0 -2x0 4(1)(2)由(1)(2)求得 p = 16, x0 = 2 , . . y0 = 8 .故拋物線方程為y2 =32x,切點(diǎn)為(2,8).類型二：利用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)函數(shù)單調(diào)性、極值最值的問題例2.已知定義在 R上的函數(shù) f (x) =1x3+1(a 4)x2+2(2 a)x + a , a w1,1,問：是否存在這樣 32的區(qū)間，對(duì)任意的a的可能取值，函數(shù)f(x)在該區(qū)間上都是單調(diào)遞增

10、的？若存在，求出這樣的區(qū)間；若不存在，請(qǐng)說明理由.【思路點(diǎn)撥】求出 (x)后，要根據(jù)題意把它視為關(guān)于 a的函數(shù).【解析】令g(a) =(x _2)a +x2 _4x + 4 ,則g(a)為a的一次(型)函數(shù)，1. f (x) >0對(duì)任意a w1,1恒成立u不等式g(a) >0對(duì)任意aw1,1恒成立，fg(1)>0 口 nfx23x+2>0 "口 6即，解得x<1或x>3(-1) >0x2 5x +6 >0.當(dāng) xw(-0o,1)或 xw(3,y)時(shí) f'(x)>0 對(duì)任意 aw1,1恒成立，對(duì)任意a_1,1, f(x)在(

11、g,1)或(3,y)上都是單調(diào)遞增的.存在區(qū)間(,1)和(3,也)，對(duì)任意的ae_1,1,函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)均是單調(diào)遞增函數(shù) .【總結(jié)升華】函數(shù)單調(diào)的等價(jià)含義即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒正(或恒負(fù)) ；一次函數(shù)的圖象多為線段，所以其恒正問題，即線段的兩端點(diǎn)值均正舉一反三：【變式1】 若f(x)=ax3 +x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定 a的取值范圍，并求出這三個(gè)單調(diào)區(qū)間.【答案】f (x) =3ax2 1(1)當(dāng)a>0時(shí)，則f'(x)至1 A 0 (x w R),此時(shí)f(x)只有一個(gè)增區(qū)間(3,kc),與題設(shè)矛盾;(2)當(dāng)a=0時(shí)，則f'(x)=1>0,此時(shí)f(x)只有一個(gè)增區(qū)間

12、 Sf,與題設(shè)矛盾；2111(3)當(dāng) a <0 時(shí)，貝U f (x) =3a(x +) =3a(x + )(x - )3a3a- 3a11由 f (*)<0倚*< - 或 x > ,. - 3a . - 3a.-11由 f (x) >0 ,得-= <x <號(hào)= -3a-3a綜上可知，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間:減區(qū)間(-二-1111，不”首義間(后,宿)【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用綜合370878 例題1】x【變式2】函數(shù)f (x) = 2sin x的圖象大致是()2ABCD【答案】C首先易判斷函數(shù)為奇函數(shù)，排除 A,求導(dǎo)后解導(dǎo)數(shù)大于零可得周

13、期性區(qū)間，從而排除B、D,故選C.3例 3.已知 aC R,函數(shù) f(x)=4x 2ax+a,(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間，證明：當(dāng) owxwi 時(shí)，f(x)+ |2-a|>0.【思路點(diǎn)撥】(1)求導(dǎo)后對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào)求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)首先要考慮去掉絕對(duì)值，顯然要分類討論，其次是要證明高次函數(shù)在所給區(qū)間恒大于零，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的知識(shí)解決.【解析】(1)由題意得f'(x) =12x2-2a ,當(dāng)a E0時(shí)，f '(x) >0恒成立，此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 一尸卜當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)=12(xJa)(x +Ja),

14、此時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為._.一_，、. 一 ，3 一 一 .，3.一(2)由于 0 Wx 蕓1 ,當(dāng) a W2時(shí)，f (x) + a 2 =4x 2ax + 2 >4x 4x + 2 .當(dāng) a >2 時(shí)，f(x) +a2 =4x3 +2a(1 x) 2 24x3 +4(1 x) 2 = 4x34x+2.設(shè) g(x) =2x3 -2x +1,0 W x W1 ,則 g ,x) = 6x2 -2 = 6(x -)(x).33則有x03 0,一I 3 J3I3 )1g'(x)-0+g(x)1減極小值增1所以 g(X)min =g(¥)=1 4 :3 0.當(dāng) 0

15、MxM1 時(shí)，2x32x+1>0.故 f (x) +|a-2|>4x3 -4x + 2>0.【總結(jié)升華】導(dǎo)數(shù)式含參數(shù)時(shí)，如何討論參數(shù)范圍而確定到數(shù)值的正負(fù)是解決這類題的難點(diǎn)舉一反三：【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用綜合370878 例題4】【變式】 已知函數(shù)f(x)=ax 3+x2+1 , xC (0 , 1(1)若f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；(2)求f(x)在(0,1)上的最大值.【答案】(1) f' (x)=3ax 2+2x, f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，1 x (0, 1)時(shí)，f' (x)=3ax2+2x>0 恒成立，rr2即a

16、一對(duì)xC (0, 1)恒成立，3x 2 ， 在(0, 1)上單倜增，3x x=1時(shí)，-2取最大值-2, 3x3222 一a > - (a = -一時(shí)也符合題目)，則a2即為所求.333(2)2 .當(dāng)a A 時(shí)，f(x)在(0 ,1)上單調(diào)增二 f(x)max = f(1) = a + 2. 3 222當(dāng)a 2 時(shí)，令 f'(x)=3ax2 +2x = 0，由x = 0 ,得x =上.3 3a一2 一、一 2一當(dāng)0 <x < -時(shí)，f '(x) >0；當(dāng)<x <1 時(shí)，f '(x) <0 , 3a3a24 x = 一一日t, f

17、(x)取得極大值 2+13a27a24又f (1) =a 21.27a24 f(x)在(0,1)上的最大值為 一2"+1.27a例 4.設(shè)函數(shù) f (x) = x(x a)2 (xw R),其中 a R R .(i)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y = f(x)在點(diǎn)(2, f (2)處的切線方程；(n)當(dāng)a00時(shí)，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值.【解析】(I)當(dāng) a =1 時(shí)，f (x) = -x(x -1)2 = -x3 +2x2 -x ,得 f (2) = -2 ,且 一 .2f (x) = -3x +4x -1 , f (2) = 5 .所以，曲線y = x(x1)2在點(diǎn)(2,2)處的切線

18、方程是 y+2 = 5(x 2),整理得 5x + y - 8 = 0 .(n ) f(x) - -x(x -a)2 - -x3 2ax2 -a2x 2.2f (x) =-3x +4ax-a = -(3x -a)(x -a).令f (x) =0 ,解得x =亙或x = a .3由于a#0,以下分兩種情況討論.(1)若a>0,當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)的正負(fù)如下表：xf-oo ,aiI 3j 3Fa1a 13)a(a,4)f (x)0+0因此，函數(shù)f (x)在x = a處取得極小值f a- j,且f f-K-a3； 33327函數(shù)f (x)在x= a處取得極大值f(a),且f(a)=0

19、.(2)若a <0,當(dāng)x變化時(shí)，f '(x)的正負(fù)如下表：x(-°°, a)aa a) a, 一13/a3a, +0° I13)f (x)0+0因此，函數(shù)f(x)在x= a處取得極小值f(a),且f(a)=0；函數(shù)f (x)在x = a處取得極大值f fa i,且f但l=_4a3.33327般采用【總結(jié)升華】1.導(dǎo)數(shù)式含參數(shù)時(shí)，如何討論參數(shù)范圍而確定到數(shù)值的正負(fù)是解決這類題的難點(diǎn), 求根法和圖象法.2 .列表能比較清楚的看清極值點(diǎn).3 .寫結(jié)論時(shí)極值點(diǎn)和極大(小)值都要交代清楚舉一反三：【高清課堂：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用綜合370878 例題2】1-【變式 1】

20、設(shè)函數(shù) f (x) = §xln x(x >0),則 y = f (x)()1A.在區(qū)間(一,1),(1,e)內(nèi)均有零點(diǎn).e1B.在區(qū)間(一,1),(1,e)內(nèi)均無手點(diǎn).e1C.在區(qū)間(一,1)內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間 (1,e)內(nèi)無零點(diǎn). e'1D.在區(qū)間(一,1)內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間 (1,e)內(nèi)有零點(diǎn).e'【答案】D,1由題得f'(x) = 31x3 x 3x令 f'(x) A0得 x a3;令 f'(x) <0得0< x<3;f'(x) =0得 x = 3,故知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3)上為減函數(shù)，在區(qū)間(3,十出

21、)為增函數(shù)，在點(diǎn)x = 3處有極小值1 ln3父0 ;1 e11又 f (1)=二，f (e)=11 <0, f( 一) = 7+1 >0,故選擇 D.3 3e3e【變式2】求函數(shù)y=2aJx 1在xW(0, 1上的最大值(其中aR) x【答案】令t = Jx,則求f(t)=2at 在(0,11上的最大值當(dāng)a之0時(shí)，顯然f (t)在(0, 1上為增函數(shù)，所以fmax(t) = f (1) = 2a 11二 一 , 3a2 一當(dāng) a <0時(shí)，令 f'(t) =2a + =0 得：t = t3易知tw0,白島，f'(t) >0, f (t)為增函數(shù)1t ,

22、+8時(shí)，f'(t) <0, f (t)為減函數(shù).-Ya/是若1 E a < 0 (此時(shí)>1),則f (t)在(0, 1上為增函數(shù)，此時(shí)fmax(t) = f(1) =2a-1.1、八若a<1 (此時(shí)h<1),則 f(t)在 0,Va1-A 上為增函數(shù)，在i-A , 11上為減函數(shù).一 Va 一所以 fmax(t) = f-)=-33T當(dāng) a<1 時(shí)，fmax(t) = -3va2.3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3Waw的由以上討論知當(dāng) a 21 時(shí)，fma(t) = f (1)=2a 1；類型三：利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題例5.某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)

23、品，每件產(chǎn)品的成本為管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(9WxW11時(shí)，一年的銷售量為(12x)2萬件.(1)求分公司一年的利潤 L (萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)x (元)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q (a).【解析】(1)分公司一年的利潤 L (萬元)與售價(jià)x (元)的函數(shù)關(guān)系式為：L=(x -3-a)(12 -x)2, xC9, 11.(2) L，=(12 -x)2-2(x-3-0)(12 x)=(12 x) (18+2a 3x).,22令L，=0得x =6+-a或x=12 (不合題息，舍去).3一 一 2283< aq5，8 <6 + a W- . 33,_ 2 在x=6+ a兩側(cè)L，的值由正變負(fù). 3一 29，當(dāng) 8 <6 +-a <9,即 3 Wa一時(shí)，32Lmax=(9 -3- 0)(12 9)2=9(6 a).一2289當(dāng) 9£6+22£28,即 9MaM5 時(shí)，3322:2 2 、|11Lmax=6 a-