考研數(shù)一真題和答案

1、2018 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一考研真題與全面解析、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題生. .指定位置上.1.下列函數(shù)中在x = 0處不可導(dǎo)的是()(A) f(x)=|xsinx (B) f (x) =|x sinj|x|(O f(x)=cosx (D) f(x) =cos|x|222.過點(diǎn)(1,0,0), (0,1,0),且與曲面z = x+y相切的平面為()(A) z=0Vx + y-z = 1 (B) z = 0與2x+2y - z= 2(Q x=yVx + y-z = 1 (D) x = y

2、與2x +2y - z = 23(-1)nn =02n 3(2n 1)!() 二(1 x)2M x4.設(shè) M = f%-dx , N = f%dx ,2x工 1 xeTK = J27T(1 + Jcosx)dx ,則()"2(A) M > N > K(B) M > K > N(C) KaMaN(D) K > N > M1105 .下列矩陣中陣，與矩陣111相似的是()_00111-110-1(A)、11(B)卜11_001_00111-110-1(C) 1010(D) |。10_001_0016 .設(shè)A,B是n階矩陣，記r(X)為矩陣X的秩，(X,

3、Y)表示分塊矩陣，則()(A) r(A,AB) = r(A) (B) r(A,BA) = r(A)(C) r(A,B) = maxr(A),r(B) (D) r(A,B) = r(AT,BT)7.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f (x)滿足f (1 - x) = f (1 + x),且10 f (x)dx = 0.6貝U P X :二 0=()(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.58.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(匕。2),X1,X2,|,Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本,據(jù)此樣本檢測，假設(shè)H0: N = N0,H1:N手N0,則()(A)如果在檢驗(yàn)水平a =0.05下拒絕H0,那么在

4、檢驗(yàn)水平u 0 0.01下必拒絕Ho；(B)如果在檢驗(yàn)水平口 =0.05下拒絕H0,那么在檢驗(yàn)水平口 = 0.01下必接受H0；(C)如果在檢驗(yàn)水平口 =0.05下接受H0,那么在檢驗(yàn)水平口 = 0.01下必拒絕H。；(D)如果在檢驗(yàn)水平« =0.05下接受H0,那么在檢驗(yàn)水平a 0 0.01下必接受H0。.二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙 指定位置上.9.若 lim1 - tan x sinkxxT <1 + tan x )10.設(shè)函數(shù)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，若曲線y= f (x)過點(diǎn)(0,0),且與y=2x在點(diǎn)(1,2)處相切，求 10x

5、f ”(x)dx=11、設(shè)函數(shù) F (x, y, z) = xy i - yz j + zxk ,則 rotF (1,1,0)=。12 .設(shè)L是曲面x2 + y2 + z2 = 1與平面x + y + z = 0的交線，則H xyds =“一|_L .13 .設(shè)二階矩陣A有兩個(gè)不同的特征值，口 1產(chǎn)2是A的線性無關(guān)的特征向量，且滿足 A2Y1 + "2) = "1 +。2, 則IA=。114 .設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，A與C相互獨(dú)立，BC=6 ,P(A)= P(B) = ,21P(AC| AB IJC) = 7則 P(C) =。三、解答題：1523小題，共94分.請將解答

6、寫在答加真 指定位置上.解答應(yīng)寫出文字 說明、證明過程或演算步驟.15 .(本題滿分10分)求不定積分e2x arctan Jex-1dx.16 .(本題滿分10分)將長為2m的鐵絲分成三段，依次圍成圓、正方形與正三角形，三個(gè)圖形的面積之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。17 .(本題滿分10分)設(shè)工 是曲面x = Ji - 3y2 - 3z2的前側(cè),計(jì)算曲面積分33I = xdydz (y 2)dzdx z dxdy. Z18 .(本題滿分10分)已知微分方程y，+ y=f(x),其中f (x)是R上的連續(xù)函數(shù)。(I)若f(x) = x,求方程的通解；(II)若f (x)是周期為T的函數(shù)

7、，證明：方程存在唯一的以T為周期的解。19 .(本題滿分 10 分)設(shè)數(shù)列4滿足 x1>0,xnexn* = exn-1(n = 1,2,3, III)。證明收斂，并求lim xn。n20 .(本題滿分11分)設(shè)二次型f (x1,x2,x3) = (x1 - x2 + x3)2 + (x2 + x3)2 + (x1 + ax3)2,其中 a是參數(shù)。(I)求 f (x，4,%) =0的解；(II)求 f (x1,x2,x3)的規(guī)范型。ri 2 a ”21 .(本題滿分11分)設(shè)a是常數(shù)，且矩陣A = |l 3 0可經(jīng)過初等列變換化為矩陣 12 7 -a>1 a 2、B = 0 1 1

8、。(I)求a ; (II )求滿足AP = B的可逆矩陣P ?111，22 .(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，X的概率分布為1 pX =1= pX =-1 = -, 2Y服從參數(shù)為九的泊松分布。令Z = XY, （I）求Cov（X,Z）； （II）求Z的概率 分布。1 _x23.（本題滿分11分）設(shè)總體X的概率密度為f （x產(chǎn)）= e a , -°° < x < +30 ,2 -其中仃W（0,+g）為未知參數(shù)，X1,X2,|,Xn為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，記仃 AAAA的最大似然估計(jì)量為仃。（I）求。；（II）求E（。）和D（。）。答案解析1 .【

9、答案】（D）【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,A. limx_0f(x)-f(0)=limx 0x sin x=limx 0=0,可導(dǎo);B.limlfUmx 0 xx0狗Mx=lim膽問二。,可導(dǎo); x x J0 xC. limx )0f(x)-f(0)cos x -1-limx )0x=limx 01x2=0,可導(dǎo);D)2 .【答案】（B）【解析一】設(shè)平面與曲面的切點(diǎn)為（x0, y0,z0）,則曲面在該點(diǎn)的法向量為n = （2x0,2 y0, -1）,切平面方程為切平面過點(diǎn)（1,0,0） , （0,1,0）,故有2%(1-5) + 2丫0(0-丫。)-(0-4) = 0, (1)2%(0-乂0)+2丫0

10、(170)-(0-4) = 0, (2)又(為，丫0,4)是曲面上的點(diǎn)，故z0 = x2 + y； , (3)解方程（1） （2） （3）,可得切點(diǎn)坐標(biāo)（0,0,0）或（1,1,2）。因此，切平面有兩個(gè)2 = 0與2* + 2丫-7=2,故選（B）.【解析二】由于x= y不經(jīng)過點(diǎn)（1,0,0）和（0,1,0）,所以排除（C） （D） 0對于選項(xiàng)（A）,平面x + y - z = 1的法向量為（1,1-1）,曲面x2+ y2 - z = 0的法1 1 1.一向量為（2x,2y,-1）,如果所給平面是切平面，則切點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)為（一，一,一），而曲面2 2 21在該點(diǎn)處的切平面為x+y - z =,所以

11、排除(A).所以唯一正確的選項(xiàng)是(B) 23 .【答案】(B )【解析】 因?yàn)?sinx = "( 1)x2n1,cosx = " ( 1) x2n,口 (2n 1)!n =0 (2n)!而：(.1)n=：(-1)n、：(.1)nn£(2n 1)! n£(2n 1)! n(2n 1)!n n=£ - +2Z - = cos1+2sin1 ,故選(B)。 nm(2n)! ，(2n 1)!4 .【答案】（C ）【解析】積分區(qū)間是對稱區(qū)間，先利用對稱性化簡，能求出積分最好，不能求出積分 則最簡化積分。萬;3dx .2 x工1 x,2 一1 x 2x1

12、 x2dx =-2x7)dx 二二1 x231 31K =n(1 十 Jcosx)dx > j2n1Ldx=n ,22JI TETE令 f (x) = ex -1 一 x, xW(,),則 f '(x) = ex -1,當(dāng) x ( ,0)時(shí),2 22f'(x)<0,3131 31當(dāng) xW (0,一)時(shí)，f x)>0,故對卡*三(-一,一)，有 f (x)之 f (0) = 0,因而22 2-1 xN = E dx < 12T1dx = n ,故 K > M A N。應(yīng)選(C ) 22. e-21 1【解析】記矩陣H = 0 10 05 .【答案】(

13、A)01 ，則秩r(H) = 3,跡tr(H) = 3,特征值九=11(三重)。觀察A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)，它們與矩陣H的秩相等、跡相等、行列式相等, 特征值也相等，進(jìn)一步分析可得：r(KE-H) = 2,r(九E - A) = 2, r( E - B) = 1r(九E - C) =1,r(£E - D) =1。如果矩陣A與矩陣X相似，則必有kE- A與kE-X相似(k為任意常數(shù))，從而r(kE - A) = r(kE - X ),故選(A),6 .【答案】(A)【解析】把矩陣A,AB按列分塊,記A=('產(chǎn)2,|hn),AB= (P1,P2,|Pn),則 向量組P1, P 2

14、Mlen可以由向量組1al產(chǎn)2,|二n線性表出，從而1al產(chǎn)2111a n與 、產(chǎn)2,111%，p1,p2,IHpn，等價(jià)，于是 r(A,AB) = r(A),故選(A)。7 .【答案】(A)【解析】由f(1-x) = f(1+x)可知概率密度函數(shù)f(x)關(guān)于x=1對稱，二2結(jié)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)J f (x)dx=1及已知條件f (x)dx= 0.6,容易得出 一，00112PX < 0 = 1 f (x)dx = -i f (x)dx f f (x)dx = 0.2 ,故選(A)。208.【答案】(D )【解析】正確解答該題，應(yīng)深刻理解“檢驗(yàn)水平”的含義X -統(tǒng)計(jì)量 一1 N（0,1

15、），在檢驗(yàn)水平u = 0.05下接受域?yàn)?n0.025，（J 解得接受域的區(qū)間為（X - U0.025 一，X , U0.025CT在檢驗(yàn)水平口 =0.01下接受域的區(qū)間為（X-U0.005 二,X + U0,005 -y=) o由于 U0.025 < u0.005 ,【解析】e=lim1 . 1 -tanx1 . . -2tanxH - tanv sinkxlimh limln.1+I tai x ,_ 4sinkx 十a(chǎn)nxJ _ 0sinkx 1 1 七anx JeexT0ii + tanxj口 =0.01下接受域的區(qū)間包含了 a =0.05下接受域的區(qū)間，故310.【答案】2(l

16、n2 -1)【解析】由已知條件可得：f (0) = 0, f (1) = 2, f(1) = 2ln 2,故。才（x）dx= 0xdf(x) = xf (x)|010 f (x)dx11.【答案】（1,0,T）【解析】rotF(x, y,z)T T T=y i - z j - xkxy-yzzx故 rotF (1,1,0) = (1,0,-1)。12 .【答案】x, y,z滿足x2 y2 z2 . 1【解析】先求交線l：，,由于曲面方程與平面方程中的x y z = 0輪換對稱性，因此在曲線L上x,y, z具有輪換對稱性。又知。一，一，.，i 1 111r-i_ n由輪換對稱性可行：x xyds

17、= ( (xy+yz+zRds= J ds=- 2 =3，6 匚L6313 .【答案】-1【解析】設(shè)口1嚴(yán)2對應(yīng)的特征值分別是 乙，九2,則A2（a1 +。2）= A" + A%2 =兒 1%1 +點(diǎn)2 =。1 + 口2， 二（九12 -1尸1 +（九;一1/2 = 0，由于a1a2線性無關(guān),故= 1,九;=1 , 從而A的兩個(gè)不同的特征值為-1,1,于是|A|= -1>1= -1。114 .【答案】一4【解析】P(ACABUC) =PAC(ABU C)p(abUc)P(ABCU AC)P(AB) P(C) - P(ABC)1 八2P(C)11rT P(C)=7,P(C) 44

18、2 215.【解析】e2xarctan/ex - 1dx = ： J arctan Jex - 1de2x16.【答案】面積之和存在最小值，Smin1-4 33【解析】設(shè)圓的半徑為x,正方形的邊長為y,三角形的邊長為z,則 2n x + 4y + 3z = 2 ,三個(gè)圖形的面積之和為S（x, y,z）=兀x2 + y2 +，3z2,4則問題轉(zhuǎn)化為“在條件2n x + 4y + 3z=2, x > 0, y a 0,z> 0下，求三元函數(shù)S(x, y,z)=兀 x2 + y2 + z2 的最小值”。42 3 2y z (2二 x 4y 3z - 2) 4Lx、Ly解方程組Lz=2y

19、4)； = 0<3=z 3=02L二2二 x 4y 3z - 2 = 01 x 二-4 3.3-2得到唯一駐點(diǎn)y =一二 4 3<32x3z -4 33由實(shí)際問題可知，最小值一定存在，且在該駐點(diǎn)處取得最小值。最小面積和為Smin7114 3/3 .17 .【解析】將空間曲面化成標(biāo)準(zhǔn)形以便確定積分曲面的形狀。1. 曲面刖側(cè)是一個(gè)半橢球面，補(bǔ)平面Z :x = 0, y +z < ,取后側(cè)，則13x xdydz+ (y3 + 2)dzdx+ z3dxd - H xdydz+ (y3 + 2)dzdx+ z3dxdy 由局Z 篤 1Z1 斯公式可得 其中夏=(x,y,z)|0，xw

20、J1-3y2-3z",由“先二后一”法可得一3-314而 H xdydz+(y + 2)dzdx+z dxdy = 0。故 I =.45.一 118 .【解析(I)若f(x)=x，則y' + y = x,由一階線性微分方程通解公式-dxdx得丫二, (fxeL dx + C)=Ce +x-1。(II)由一階線性微分方程通解公式可得y = e"x(f f (x)exdx + C),x 一x X _ t 一由于y(x + T)在f (x)e dx中無法表達(dá)出來，取y(x) = e (10 f (t)e dt + C),一 xT)xT. t-于是 y(xT)=e"

21、;xT)(° f(t)etdtC)若方程存在唯一的以T為周期的解，則必有y(x + T) = y(x),即T t, 0e f(t)dteT -10 etf (t)dtetf (t)dt由于 為一常數(shù)，可知當(dāng)且僅當(dāng) C =時(shí)，y(x)以T為周期,e -1e -1故微分方程存在唯一的以T為周期的解。ex1 -119 .【證明一】因?yàn)閤1A 0,所以ex2 =。x1ex1 - 1yc根據(jù)拉格朗日中值定理，存在 巴w (0,x1),使得=e-,即e 2 = e，因此x10 < x2 < x1。完全類似，假設(shè)0 < xn出< xn,則exn* -1“e'n 聿=

22、e (0 < ” < xn書)，即 0 < xn+2 < xny,xn1故數(shù)列xn單調(diào)減少且有下界，從而數(shù)列收斂。設(shè)lim xn = A,在等式xnexn* = e* -1兩邊取極限，得AeA = eA -1 ,解方程得nn唯一解 A = 0 ,故 lim xn = 0。 n-T【證明二】首先證明數(shù)列%有下界，即證明xn > 0:, 一一、ex1 -1. x1 ,當(dāng)n = 1時(shí)，x1 >00根據(jù)題設(shè)x2 = ln,由e1 - 1 A x1可知x1x2 A ln1 = 0 ；假設(shè)當(dāng)n = k時(shí)，xk >0；xk則當(dāng)n = k+1時(shí)，xk書=in-l ,其

23、中exk-1根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任意的xknw N *, xn >0o> xk ,可知 xk書 A ln1= 0。再證明數(shù)列4的單調(diào)性:exn -1xn 1 一 xn = Inxnexn -1- xn = In inxnexn -1in-,_ x nxnen(離散函數(shù)連續(xù)化)設(shè)f (x)=ex 1 xex(x a 0),則當(dāng) x > 0時(shí),f '(x) = -xex < 0,f (x)單調(diào)遞減，f (x) < f (0) = 0,即 ex -1 < xex, exn 一 1, ,_從而*exn = in < In1 = 0,故xn書< xn

24、,即數(shù)列J 4的單調(diào)遞減。xnen綜上，數(shù)列xn的單調(diào)遞減且有下界。由單調(diào)有界收斂原理可知4收斂。設(shè)iim xn = a,在等式xnexn+=exn -1兩邊同時(shí)令n-笛，得aea = ea - 1 , nn解方程得唯一解a = 0 ,故iim xn = 0。n二20 .【解析】(I)由f (x1,x2,x3) = 0可得對上述齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換得當(dāng) a #2 時(shí)，f (x1,x2,x3) = 0只有零解：x= (0,0,0) T。10 2、當(dāng) a=2 時(shí)，At 0 1 1 ,工0 0 0,f (X，X2，x3) =0有非零解：x = k(-2,-1,1)T , k 為任意常

25、數(shù)。(II)當(dāng)a#2時(shí)，若x,x2,x3不全為0,則二次型f (X1,X2，X3)恒大于0,即二次型f(%42*)為正定二次型，其規(guī)范型為f (%,丫2,丫3) = y； + y2 + y；。當(dāng)a = 2時(shí)，2二次型對應(yīng)的實(shí)對稱矩陣 B = ；-130 ,其特征方程為6解得特征值1=5. 7, 2 = 5- . 7,=0,可知二次型的規(guī)范型為f(4,Z2,Z3) = z2 + z2。21.【解析】(I)由于矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，故r(A) = r(B)。對矩陣A,B作初等行變換，得11-a-a-3a0<010-10I02、13>0<0212 一力顯然r(A) = 2,要使r(B) =2,必有 2 - a = 0n(II)將矩陣B按列分塊:二(4尸23)，求解矩陣方程AP=Bq化為解三個(gè)同系數(shù)的非齊次線性方程組:= 1,2,3對下列矩陣施以初等行變換得(A,B)二 10 ：0-1_2 7 -2 -1_0 0易知，齊次線性方程組Ax =0的基礎(chǔ)解系為：%(-6,2,1)T,三個(gè)非齊次線性方程組的特解分別為：1=(3,T,0)T, 2=(4, T,0)T, 3 =