高中的數(shù)學(xué)必修一函數(shù)解題方法

1、標(biāo)準(zhǔn)實用函數(shù)習(xí)題課(I)函數(shù)定義域和值域的求法一、求函數(shù)定義域的方法(一)直接法求定義域關(guān)注一些特殊函數(shù)的定義域或關(guān)注一些特殊的取值，從而使得函數(shù)有意義，直接限制自變 量的取值范圍。一般需要關(guān)注的解題要點：(1)分母不為零(2)偶次根式的被開方數(shù)非負(fù)。(3)對數(shù)中的真數(shù)部分大于 0。(4)指數(shù)、對數(shù)的底數(shù)大于 0,且不等于1 (5) y=tanx 中 xwkjt+兀/2; y=cotx 中 xwkjt 等等。(6 ) x0 中 x¥ 0求下列函數(shù)定義域1 f (x)=x -2 f(x) = x 1 2 - x f (x)=lg(3-x)(2x -3)0 f (x)=x2 - 3x -

2、4x + 1| -2 y = xx - 2| + 3 +13.3x 7(二)解題時要關(guān)注定義域函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應(yīng)關(guān)系。其中定義域是規(guī)定函數(shù)自變量取值范圍的關(guān)鍵，是題目限制條件的體現(xiàn)。由于常常被忽略，因此是命題人常將隱含條件設(shè)計于其中。若想正確地解決函數(shù)相關(guān)問題，必須在解題時關(guān)注定義域，把它明確地寫出來。例2已知函數(shù)f (x) = 2 + log3 x(1 Mx M9),求函數(shù)f(x)F + f (x2)的最大值。例3求函數(shù)f (x) =loga Vx2 _2x (a>0且a¥1)的單調(diào)增區(qū)間。(三)有關(guān)抽象函數(shù)的定義域問題抽象函數(shù)的自變量始終是x(或其他字母)，但

3、是由于對應(yīng)法則所作用的x形式不同(如x+2,x2等)，于是就有了有關(guān)抽象函數(shù)的定義域問題。解決抽象函數(shù)的定義域問題需要緊緊 抓住一點：括號里面的所有代數(shù)式的取值范圍是相同的。例4已知函數(shù)f(x)的定義域為0,2,求f(2x+1)的定義域。例5已知函數(shù)f (2x +1)的定義域為(-1,5，求f (x)的定義域。例6已知函數(shù)f(x+1)的定義域為0,2,求f (3x2 +x)的定義域。二、求函數(shù)值域的方法(一)層層分析法(直接法)這種方法適合 值域明顯的復(fù)合函數(shù)或多個值域明顯的函數(shù)相加減得到的函數(shù)求值域。在分析的題目中常常以分式為背景， 當(dāng)遇到分式上下都有自變量 x的時候，要注意分離常數(shù)法 的2

4、 -2x,例7求函數(shù)y =的值域。2x -18求函數(shù)2,2x -x 12x11 -(x A)的值域22-9求函數(shù)10求函數(shù)yx 4x 3 ,-的值域x x -622x 4x - 7 j+小-的值域x 2x3(二)換元法常用來處理含根式的函數(shù)求值域。分以下幾種情況:1 .出現(xiàn)單根式時用代數(shù)換元例11求函數(shù)y =三£工的值域 x 3例12求函數(shù)y=2x + g3x的值域2 .出現(xiàn)平方和為定值(常有雙根式)時用三角換元例13求函數(shù)y = <8-x + *3x+6的值域例14求函數(shù)y =x + 2 +，1 _(x +1)2的值域3 .出現(xiàn)指數(shù)或高次函數(shù)有時也用換元法另例 求函數(shù)y =9

5、x 3x +2 (xw 0,1)的值域(三)幾何意義法利用函數(shù)的幾何意義將函數(shù)轉(zhuǎn)化成距離的和或差從而利用數(shù)形結(jié)合的方法處理函數(shù)的值 域。常用來解決含絕對值函數(shù)，含根式的函數(shù)的值域問題。1 .出現(xiàn)絕對值時轉(zhuǎn)化成數(shù)軸上兩點的和與差例15求函數(shù)y = x -1 + x +4的值域2 .出現(xiàn)雙根式時考慮兩點間距離例16求函數(shù)y =Vx2 +4 + xx2 6x+10的值域例 17 求函數(shù) y =4x2 -6x+13 -Mx2+4x+ 5 的值域3 .出現(xiàn)絕對值時也可以考慮轉(zhuǎn)化為點到直線距離例18求函數(shù)y = 2x-24-(x-2)2 +7的值域4 .出現(xiàn)分式時可以考慮轉(zhuǎn)化為斜率3 - sin x例19

6、求函數(shù)y 二的值域2 -cosx函數(shù)習(xí)題課(II)函數(shù)解析式的求法，分段函數(shù)一、函數(shù)解析式的求法(一)待定系數(shù)法若題目中已經(jīng)明確給出了函數(shù)的形式 (如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等 )可以利用待 定系數(shù)法現(xiàn)將函數(shù)解析式設(shè)出， 再利用題目已經(jīng)給出的關(guān)系進(jìn)行帶入化簡，通過對比系數(shù)進(jìn)行對于函數(shù)解析式的確定。例1已知一次函數(shù)f(x),且f f (x) = 4x + 3,求f(x)解析式(二)拼湊換元法已知復(fù)合函數(shù)fg(x)的解析式時，通過在已知的解析式中拼湊出g(x)或通過換元法對解析式進(jìn)行處理后得到解析式。重要的是不能忽略拼湊或換元前后定義域的變化。1 x9例2已知f(一)=，求f(cos2x的解析

7、式x 1 - x101例3已知f (x + ) = x (x A 0 ),求f (x)的解析式 x x(三)方程組法求解析式1同時出現(xiàn)x, ,-x等有關(guān)的函數(shù)解析式時，常用列方程組的方法來求解析式。 x1例4設(shè)f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且f(x)+g(x) = ，試求f(x), g(x)的解 x1析式(四)抽象函數(shù)求解析式解決抽象函數(shù)問題的一種最常用的方法就是賦值法。當(dāng)抽象函數(shù)相關(guān)的題目中先給出了 某一函數(shù)值，后續(xù)的解題過程中必然會用到賦值法，從而簡便運算。例5已知f (0) =1,對于任意實數(shù)x,y,等式f (x y) = f (x) y(2x y+1)恒成立，求f(x)例6設(shè)f(

8、x)是定義在 N上的函數(shù)，且滿足 f(1)=1。對任意自然數(shù) a,b都有等式f(a) + f (b) = f (a+b) ab成立，求 f (x)二、分段函數(shù)問題在給出了分段函數(shù)解析式的問題中，主要有三類問題：一是求函數(shù)值，特別是求復(fù)合函數(shù)的值，其方法是當(dāng)自變量在不同的區(qū)間段上時，帶入不同的解析式； 二是研究這個分段函數(shù)的單調(diào)性，方法是根據(jù)函數(shù)在各個區(qū)間段上的單調(diào)性，整合為整個定義域上的單調(diào)性；三是求最值，其方法是求出函數(shù)在各個區(qū)間段上的最值，這些最值中最大的是分段函數(shù)的最大值，最小的是分段函數(shù)的最小值。 分段函數(shù)的易錯點在于各定義域分界點處函數(shù)值的大小。此外,分段函數(shù)常用數(shù)形結(jié)合法分析。一

9、一，一,，-x2+4x+3xW0例7已知函數(shù)f(x)=)， ，求方程f(x)+1 = 0的實根個數(shù)、3 - x, x A 0例8已知函數(shù)f (x)=j(2)，x-4，求 f(2十 10g23)的值f (x 1),x ：4例9設(shè)函數(shù)f (x) = .x2 +bx +c,x W0 4 ,一 ,，、,若 f(4)= f(0), f(2) = 2 ,則關(guān)于 x 的方程 2,x>0f (x) =x的解的個數(shù)為,1x+ ,x-2,-1), xj 一一，1例 10 已知函數(shù) f (x)=<2,xW1,),211x，xE,2.x2 求f(x)的值域(2)設(shè)函數(shù) g(x) =ax2,xw2,2,若對

10、于任意 x1 w 2,2,總存在 x0 = -2,2,使得g(x0) = f (x1)成立，求實數(shù)a的取值范圍文案大全函數(shù)習(xí)題課(III)函數(shù)的單調(diào)性和最值一、函數(shù)的單調(diào)性(一)證明函數(shù)的單調(diào)性必修一當(dāng)中對于函數(shù)單調(diào)性的證明僅限于用定義證明，因此難度不是太大， 經(jīng)常在單調(diào)性的證明過程中考察指對數(shù)運算， 新定義的學(xué)習(xí)能力等。 破解方法即熟練掌握證明方法， 并仔 細(xì)審題，通過題目給出的條件進(jìn)行運算，拼湊定義。常用的幾種處理方法：因式分解，通分，分子有理化，配方，構(gòu)造(抽象函數(shù))例1證明函數(shù)f (x) =x2 2x在區(qū)間(1,+°0)上單調(diào)遞增x一例2求函數(shù)f (x)= 在區(qū)間(3,1)上

11、的單調(diào)性x -1例3求函數(shù)f (x) =/x在區(qū)間(0,十安)上的單調(diào)性例4證明函數(shù)f(x)=x3+x在R上為增函數(shù)例 5 對任意 a,bw R,函數(shù) f(x)都有 f(a+b) = f (a) + f(b)1，且當(dāng) x>0 時，f(x) >1求證：f (x)在R上為增函數(shù)(二)利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題1 .利用函數(shù)的單調(diào)性識圖在選擇題中常出現(xiàn)一些需要選擇函數(shù)圖像的題目，這時利用單調(diào)性進(jìn)行排除就是一種很好的方法。此類識圖題目有幾個關(guān)注點：定義域，端點值，特殊值，單調(diào)性。12 .利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小在選擇題中也常出現(xiàn)一些比較函數(shù)值大小的題目，這類題常利用函數(shù)在一些區(qū)間上的單調(diào)性來

12、解決。但題目往往不會僅用函數(shù)的單調(diào)性便可以解決，常常需要結(jié)合函數(shù)的其他性質(zhì)(如奇偶性，周期性等)將自變量轉(zhuǎn)換到同一個單調(diào)區(qū)間中后，再進(jìn)行比較。例7定義在R上的偶函數(shù)f (x)滿足：對任意的x1,x2 w (-QO,0,(x1 x2),有(x -x2)If(x1)-f(x2)>0,則當(dāng) nW N* 時，求 f(-n), f (n+1), f(n-1)的大小關(guān)系例8已知函數(shù)f (x) = lOga x在(0,會讓單調(diào)遞增，試比較f (-2), f(1), f的大小關(guān)系例9定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x-4) = -f (x),且在區(qū)間b,2】上是增函數(shù)，試比較f (-25), f (

13、11), f(80)的大小關(guān)系3 .利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)不等式此類題目涉及的函數(shù)一般在題目中都會通過一些條件加以限制，從而使它在需要進(jìn)行求解 的范圍內(nèi)是單調(diào)的。因此解決此類題目只需要將單調(diào)性正確解出，再比較需要比較的兩個自變量的大小關(guān)系即可。例10若偶函數(shù)f(x)在(-8,0】上單調(diào)遞減，求不等式f(1) < f (lgx)的解集.1、，例11解不等式lOga(1 -) >1 x二、函數(shù)的最值函數(shù)的最值作為函數(shù)在特定區(qū)間上的一個基本特征，在理解上沒有難點，因此在命題上也很少單獨考察，一般題目常以求最值為最終命題要求，實際考察函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性和周期性等性質(zhì)?！痉椒记伞壳蠛瘮?shù)最

14、值的方法：(1)利用已知函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值：如二次函數(shù)；(2)利用圖象數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，這種情況下的函數(shù)一般為連續(xù)函數(shù)，且求最值時給出的單調(diào)區(qū)間常為閉區(qū)間(暗示端點值可能為最值)例12已知函數(shù)y = J1-x + v'x+3的最大值為 M最小值為m,求m的值x例13求函數(shù)y =的最大值 x 11例14如果函數(shù)f (x)對任意的實數(shù)x,都有f (1+x) = f (x),且當(dāng)x至?xí)r， 2f(x) = log(3x -1),那么求函數(shù)f (x)在L2,0】上的最大值與最小值之和。 Tip：由于奇函數(shù)具有關(guān)于原點對稱的性質(zhì)，因此常常有最值的奇函數(shù)，

15、會出 現(xiàn)在求最大值和最小值之和的題目中，此時最大值和最小值之和為0.因此題目問最大值和最小值之和時，要注意函數(shù)的奇偶性，也許可以使運算更加簡便。函數(shù)習(xí)題課(IV)函數(shù)的奇偶性，周期性這一部分應(yīng)該是函數(shù)題目中的重頭戲。涉及到函數(shù)題目中的創(chuàng)新性題目，由于奇偶性和周期性可以利用抽象函數(shù)表示，且表示的形式非常多樣，奇偶性和周期性特別受到命題人的青睞。破解奇偶性和周期性相關(guān)題目的方法只有一個：熟練掌握相關(guān)的抽象性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合法畫出函數(shù)圖像解題。一、函數(shù)的奇偶性【知識儲備】1.偶函數(shù)在定義域上必有f(-x) = f(x),奇函數(shù)在定義域上必有f (x) = _f (x)。2 .上面兩式還有等價形式：偶

16、函數(shù)f(x) f(x)=0,奇函數(shù)f(x)+f(x)=0(2)偶函數(shù) 上士 =1 ,奇函數(shù)-fx) = -1 ,前兩式均有f (x) / 0 f(x)f(x)3 .判斷函數(shù)奇偶性的步驟：(1)判斷定義域，具有奇偶性的函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱。若某函數(shù)的定義域就不關(guān)于原點對稱，那么此函數(shù)一定不具備奇偶性。(2)根據(jù)定義式判斷函數(shù)的特征，注意一定要兩個式子都進(jìn)行驗證， 因為存在既奇又偶函數(shù)， 也存在非奇非偶函 數(shù)。4 .函數(shù)奇偶性的相關(guān)結(jié)論：(1)偶函數(shù)的和，差，商，積仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的和，差仍為 奇函數(shù)，但商，積為偶函數(shù)。奇函數(shù)和偶函數(shù)的商，積為奇函數(shù)。1(2)函數(shù)f(x)與kf(x),(

17、k#0),具有相同的奇偶性f(x)(3)*復(fù)合函數(shù)的奇偶性判斷：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外。題型示例：1.判斷函數(shù)的奇偶性這類題目一般使用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，但是需要特別注意既奇又偶函數(shù)。2 二 x例 1 te 乂兩種運算：a 出 b = "a2 b2 , a®b = n(a b)2 ,判斷函數(shù) f(x) =2-(x 二 2)的奇偶性一 、一 ，,一 一 一一1,x三 Qex -1例2設(shè)Q為有理數(shù)集，函數(shù)f(x)=1,g(x) =e,函數(shù)-1,xCRQex+1h(x) = f (x) *g(x)的奇偶性例3若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿足 f (1)=1, f(2)=2

18、,求f(3)f(4)的值例4函數(shù)f(x)的定義域為R,且滿足：f(x)是偶函數(shù)，f (x-1)是奇函數(shù)，若f(0.5) = 9,求f (8.5)的值1、例5已知函數(shù)f (x)在(-1,1)上有定乂，f(一) = 1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時，f(x)<0,且XV、對任意x,y W(_1,1)都有f(x)十f(y) = f(y),試證明: 1 xy(1) f(x)為奇函數(shù)；(2) f (x)在定義域上單調(diào)遞減二、函數(shù)的周期性【知識儲備】1.如果存在非零常數(shù) T使得對函數(shù)定義域內(nèi)的任意x,都有f (x + T) = f (x),則函數(shù)f(x)稱為周期函數(shù)，T是其一個周期。2.關(guān)于函數(shù)周期性的一些變形結(jié)論: 若滿足f (x+a)= f(xa),則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且T=2a(2)若滿足f (x+a) = f(x),則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且T=2a1 右滿足f(x+a)="j,則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且T=2a(4)1若滿足f(x+a)=-,則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且f(x)T=2a1 f (x)若滿足f(x+a) =J),則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且1-f(x)T=4a(6)若滿足f (x) = f (x-a) + f (x-2a),則函數(shù)f (x)為周期