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文檔簡介
1、WORD格式.整理版高中數(shù)學必修5第三章不等式復習知識點總結與練習(一)第一節(jié)不等關系與不等式知識能否憶起1 .實數(shù)大小順序與運算性質之間的關系a- b>0? a> b; ab=0? a= b; a b<0? av b.2 .不等式的基本性質性質性質內容注思對稱性a>b? b<a?傳遞性a>b, b>c? a>c?可加性a>b? a+ c>b+ c?可乘性a>b: c>0? ac>bcc的符號a>b c<0? ac<bc同向可加性a>b,? a+ c>b+ d c>dj?同向同止可
2、乘性a>b>0c>d>0濘 ac>bd?PJ乘方性a>b>0? an>bn( n N, n>2)向正PJ開方性a>b>0? n/a>n/b( n Nl, n>2)1.使用不等式性質時應注意的問題:在使用不等式時,一定要搞清它們成立的前提條件.不可強化或弱化成立的條件.如“同 向不等式”才可相加,“同向且兩邊同正的不等式”才可相乘;可乘性中“c的符號”等也3 .作差法是比較兩數(shù)(式)大小的常用方法,也是證明不等式的基本方法.要注意強化 化歸意識,同時注意函數(shù)性質在比較大小中的作用.局頻考點1.比較兩個數(shù)(式)的大小S3
3、, S5,例1 已知等比數(shù)列an中,ai>0, q>0,刖n項和為S,試比較一與一的大小.a3 a5,、一一 S3S5 S3 S5自王解答 當q= 1時,一=3, = 5,所以一 一 ;a3a5a3 a5當q>0且qwi時,<0,所以9V a3S3 S5 ai 1 - q3ai q5q2 1 - q3 - 1 - q5a3 a5 aiq2 1 q - aiq4 1 - q q4 1 - qS5a5出由題悟法比較大小的常用方法(1)作差法:一般步驟是:作差;變形;定號;結論.其中關鍵是變形,常采用配方、因式 分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩個式子都為正
4、數(shù)時,有時也可以先平方再作差.(2)作商法:一般步驟是:作商;變形;判斷商與1的大小;結論.(3)特值法:若是選擇題、填空題可以用特值法比較大?。蝗羰墙獯痤},可先用特值探究思路,再用作差或作商法判斷.注意用作商法時要注意商式中分母的正負,否則極易得出相反的結論.3以題試法1. (2012 吉林聯(lián)考)已知實數(shù) a、b、c 滿足 b+c= 64a+3a2, cb=4 4a+a:則 a、b、c的大小關系是()A. c>b>aB. a>c>bC. c>b>aD. a>c>b解析:選 A c- b= 4-4a+ a2= (2 -a)2>0,,c>
5、;b.將題中兩式作差得 2b=2 + 2a2,即b=1+ a2.1 + a2-a= (a-) + 3>0,1 + a2>a.2 4 'b= 1 + a2>a. c> b>a.2.不等式的性質(2012 包頭模擬)若a>0>b>- a, cvd<0,則下列結論: ad>bc;a+bv0; d cac>b d;a ( dc) > b( dc)中成立的個數(shù)是()A. 1B. 2D. 4C. 3(2) -. a>0>b, c<d<0, ad<0, bc>0,. ad<bc,故錯誤.
6、a>0>b>- a,,a>b>0,. cvdv0,- c>- d>0, a( c) >( b)( d),ac+ bd< 0,a b ac+ bd 二-I = < 0 ,d c cd故正確.cvd,,一 c>- d,a> b, 1- a+ ( - c) > b+ ( - d), a-c>b-d,故正確.a>b, d-c>0, 1. a(d-c)>b(d c), 故正確,故選C.2由題悟法1 .判斷一個關于不等式的命題的真假時,先把要判斷的命題與不等式性質聯(lián)系起來考慮,找到與命題相近的性質, 并應
7、用性質判斷命題的真假,當然判斷的同時可能還要用到其他知識,比如對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質.2 .特殊值法是判斷命題真假時常用到的一個方法,在命題真假未定時,先用特殊值試試,可以得到一些對命題的感性認識,如正好找到一組特殊值使命題不成立,則該命題為假命題.3以題試法3 .若a、b、c為實數(shù),則下列命題正確的是 ()A.若 a>b, c>d,貝U ac>bdB.若 avbv0,則 a2>ab> b24. 一 11C.右 avbv0,則一a bb aD.右 a< b< 0,則一a b解析:選B A中,只有a>b>0, 0d>0時,才成立;B中
8、,由avbv0,得a2>ab>b2成立;C, D通過取a=- 2, b=- 1驗證均不正確.3.不等式性質的應用1典題導入例 3 已知函數(shù) f(x) = ax2 + bx,且 1wf(1)W2, 2wf(l)w4.求 f(2)的取值范 圍.自主解答f(-1) =a-b, f(1) =a+b.f( 2) = 4a2b.設 m(a+ b) + n(a b) = 4a 2b.而 n=4,則 J n=-2,解得件1, 卜=3. ' f( 2) = (a + b)+3(a b) = f(1) +3f( 1).K f( -1)<2,2< f (1) <4,,5Wf(
9、2)W10.即 f(2)的取值范圍為5,10出由題悟法利用不等式性質可以求某些代數(shù)式的取值范圍,但應注意兩點:一是必須嚴格運用不等式的性質;二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系,最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.3以題試法1Wa+B W1,3.若a , 3滿足,試求a +33的取值范圍.1< a +2 3 <3,解:設 a + 3§=x( a + B)+y( a+2§)=(x + y) a+(x + 2y) § .x+ y= 1,x= - 1,則t 一 c 解得f c
10、 b + 2y=3,|y=2.-K - ( a + 3 )<1,2<2( a +23 )<6,兩式相加,得1w a + 3 8 W7. a +3 3的取值范圍為1,7.基礎知煙要打牢J1CHU Z H D $ H I Y A強雙基 固率源得星-分I學握程度知識能否憶起一元二次不等式的解集二次函數(shù)y=ax2+bx+ c的圖象、一元二次方程 ax2+ bx+ c=0的根與一元二次不等式 ax2 + bx+c>0與ax2+bx+ c<0的解集的關系,可歸納為:判別式A=b2 4acA>0A = 0A<0二次函數(shù) y= ax2+bx+c (a>0)的圖象
11、IT口一兀一次方程 ax十bx+c=0( aw 0)的根有兩相異實根*=玄或*=x2有兩相同實根x =x1無實根.兀二次不等式的 解集2,公,公、ax +bx+ c>0( a>0)xx<x1 或 x>x2 x| xw x1R2 .,.一ax +bx+ c<0( a>0) x| x1<x<x2?若a<0時,可以先將二次項系數(shù)化為正數(shù),對照上表求解.解一元二次不等式應注意的問題:(1)在解一元二次不等式時,要先把二次項系數(shù)化為正數(shù).(2)二次項系數(shù)中含有參數(shù)時,參數(shù)的符號會影響不等式的解集,討論時不要忘記二次 項系數(shù)為零的情況.(3)解決一元二
12、次不等式恒成立問題要注意二次項系數(shù)的符號.(4) 一元二次不等式的解集的端點與相應的一元二次方程的根及相應的二次函數(shù)圖象與 x軸交點的橫坐標相同高頻考點1) 一元二次不等式的解法1典題導入例1解下列不等式:(1)0 <x2-x-2<4;2) ) x24ax 5a2>0(aw0).自主解答(1)原不等式等價于x -x- 2> 0, x2-x-2<4?J x-2 x+1x-3 x+?一二 2x x 2>0,x2 x-6<0>0,x> 2 或 xv 1,一 ? ,SO-2<x<3.借助于數(shù)軸,如圖所示,-St 0 1 ?"3
13、 '原不等式的解集為x|2Wxv1,或2vxw 3. 22(2)由 x 4ax 5a >0 知(x 5a)( x+ a) >0.由于aw 0故分a > 0與av 0討論.當 a<0 時,xv5a 或 x>a;當 a>0 時,xv a或 x>5a.綜上,a<0 時,解集為x| x5a,或x> a ; a>0 時,解集為x| x>5a,或xv a.2由題悟法1 .解一元二次不等式的一般步驟:(1)對不等式變形,使一端為0且二次項系數(shù)大于 0,即ax2+bx+ c>0(a>0) , ax2+ bx + c<
14、0( a>0);(2)計算相應的判別式;(3)當 >0時,求出相應的一元二次方程的根;(4)根據(jù)對應二次函數(shù)的圖象,寫出不等式的解集.2 .解含參數(shù)的一元二次不等式可先考慮因式分解,再對根的大小進行分類討論;若不 能因式分解,則可對判別式進行分類討論,分類要不重不漏.3以題試法1 .解下列不等式: 2(1) 3x -2x+8>0;(2) ax2-(a+ 1)x+1<0(a> 0).解:(1)原不等式可化為3x2+ 2x-8<0,即(3x 4)( x + 2)<0.4解得2 < x<-, 3r 一一 I 4所以原不等式的解集為,x -2<
15、; x<-3(2)原不等式變?yōu)?ax1)(x1)v0,因為 a>0,所以 x-a (x- 1) <0.所以當a> 1時,解為-<x< 1 ; a當a=1時,解集為?;當0va<1時,解為1vxv-. a綜上,當0vav1時,不等式的解集為x 1<x<-a當a=1時,不等式的解集為?;當a>1時,不等式的解集為ix ;vx1r.2. 一元二次不等式恒成立問題1典題導入例 2 已知 f(x) =x22ax+2(aC R),當 xC1,+8)時,f (x) >2恒成立,求 a 的取值范圍.自主解答 法一:f (x) = (xa)2+2
16、 a;此二次函數(shù)圖象的對稱軸為x = a.當 aC( °°, 一 1)時,f(x)在- 1, 十°°)上單調遞增,f (x) min = f( - 1) = 2a + 3.要使 f (x) > a 恒成立,只需 f (x) min>a,即 2a+3> a,解得一3< av 1 ;當 aC 1, +8)時,f (x) min= f (a) = 2 - a2,由 2 a2>a,解得一1 < a< 1.綜上所述,a的取值范圍為3,1.法二:令 g(x) = x2- 2ax+ 2- a,由已知,得 x2- 2ax+2-
17、a>0 在1, 十00)上恒成>0,立,即 A = 4a2 4(2 a) wo 或彳av 1,解得一3 < a<1.:g -1 河所求a的取值范圍是3,1.>» 一題多變本題中的“ x - 1, +8)改為“ xe 1,1) ”,求a的取值范圍.解:令 g(x) =x2-2ax+2-a,由已知,得 x2-2ax+ 2-a>0 在 1,1)上恒成立,即>0,或1a> 1,、g 1海解得3< a< 1,A >0,A = 4a2-4(2 a) wo 或$av 1, ,g -1 >0所求a的取值范圍是3,1.由題悟法1
18、.對于二次不等式恒成立問題,恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方;恒小于。就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.2 . 一元二次不等式恒成立的條件:(1) ax2+bx+c>0(aw0)( x R)恒成立的充要條件是: 2a>0 且 b 4ac<0.(2) ax2+bx+cv0(aw0)( xC R)恒成立的充要條件是:2av 0 且 b 4acv0.3以題試法2. (2012 九江模擬)若關于x的不等式x2axa>0的解集為(國,十8),則實數(shù)a 的取值范圍是 ;若關于x的不等式x2-ax-a<- 3的解集不是空集,則實數(shù)
19、 a的 取值范圍是.解析:由 Ai<0,即 a2-4( -a)<0,得一4<a<0;由 A2>0,即 a 4(3 a) >0,得 aw 6 或 a>2.答案:(4,0)( -OO, - 6 U 2 , +OO)2. 一元二次不等式的應用占典題導入例3某商品每件成本價為 80元,售價為100元,每天售出100件.若售價降低 x8成(1成=10%),售出商品數(shù)量就增加 ?成.要求售價不能低于成本價.(1)設該商店一天的營業(yè)額為 y,試求y與x之間的函數(shù)關系式 y=f(x),并寫出定義域;(2)若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10 260元,求x的取值范圍.自
20、主解答(1)由題意得y=100110 !,10011 + 5 :因為售價不能低于成本價,所以 100 一套 I-80>0.所以 y=f(x) =20(10 x)(50 +8x),定義域為0,2.(2)由題意得 20(10 x)(50 +8x) >10 260,2化簡得 8x -30x+13<0.-113解得2w x< .所以x的取值范圍是出由題悟法解不等式應用題,一般可按如下四步進行:(1)認真審題,把握問題中的關鍵量,找準不等關系;(2)引進數(shù)學符號,用不等式表示不等關系;(3)解不等式;(4)回答實際問題.3以題試法3.某同學要把自己的計算機接入因特網.現(xiàn)有兩家IS
21、P公司可供選擇.公司 A每小時收費1.5元;公司B在用戶每次上網的第 1小時內收費1.7元,第2小時內收費1.6元,以 后每小時減少0.1元(若用戶一次上網時間超過 17小時,按17小時計算).假設該同學一次 上網時間總是小于 17小時,那么該同學如何選擇ISP公司較省錢?解:假設一次上網 x小時,則公司 A收取的費用為 1.5X元,公司 B收取的費用為 x 35x 一20 兀,若能夠保證選擇 A比選擇B費用少,則x 35x .20> 1.5 x(0 v x V 17),整理得x2-5x<0,解得0V x<5,所以當一次上網時間在5小時內時,選擇公司 A的費用少;超過 5小時
22、,選擇公司 B的費用少.練習題小題能否全取1 .(教材習題改編)下列命題正確的是()A.若 ac>bc? a>bB.若 a2>b2? a>b.11C.右b? a< bD.若 Va< Vb? a< b答案:D2 .若 x+y>0, a<0, ay>0,貝U x y 的值()A.大于0B.等于0C.小于0D.不確定解析:選 A 由 a<0, ay>0 知 y<0,又 x+ y>0,所以 x>0.故 x- y>0.4 ./1也+1(填“>”或“<”).1解析:,21 =山+1<。3+1.
23、答案:<5 .已知a, b, cCR,有以下命題:若 a>b,貝U ac2>bc2;若 ac2>bc2,貝U a>b;若 a>b,則 a 2 c>b 2c.其中正確的是(請把正確命題的序號都填上 ).解析:若c=0則命題不成立.正確.中由2c>0知成立.答案:6 .若 x>y, a>b,則在 a- x>b- y, a+x>b + y, ax> by, xb>y a,a b這五個式子中,恒成立的所有不等式的序號是y x解析:令 x = - 2, y= - 3, a=3, b=2,符合題設條件x>y, a&g
24、t;b,- a-x=3-( -2) =5, b-y=2-(- 3) =5, ' ax=by,因此不成立.又= ax= 6, by= -6, . . ax= by,因此也不正確.2=1 ,-2,a b . .一=一,因此不正確. y x由不等式的性質可推出成立.答案:小題能否全取1 .(教材習題改編)不等式x(1 2x) >0的解集是()A.1OO - I,2B. 0,21C.(一巴 0) U -, +OOD. 1 +°°優(yōu)質.參考.資料1D. R答案:B2 .不等式9x2+6x+1<0的解集是(A. ixxw-1,3| 11Ch- 3答案:B3. (20
25、11 福建高考)若關于x的方程x2+m奸1 = 0有兩個不相等的實數(shù)根,則實數(shù) m 的取值范圍是()A. (1,1)B. (2,2)C. ( 8, - 2) U (2 , +oo)D. ( 8, 1) U (1 , +OO)解析:選C由一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,可得:判別式A>0,即m24>0,解得 RK 2 或 m> 2.4 .(2012 天津高考)已知集合 A= xCR| x+2|<3,集合 B= x R|( x-n)( x-2)<0, 且 AH B= ( 1, n),貝 U m=, n =.解析:因為 | x+2|<3 ,即一5<x<
26、;1,所以 A= ( 5,1),又 An Bw ?,所以 n<1, B= ( m,2), 由 AC B= ( - 1, n)得 m= - 1, n= 1.答案:1 15 .不等式<1的解集為 x ,11. x-2 一八解析:由 二7<1 得 1 xz71 >0,即xz7>°,解得 x< 1,或 x>2.答案:x|xv 1,或 x>2A級全員必做題一、.x - 11 . (2012 重慶局考)不等式xqr2V 0的解集為()A. (1 , +oo)B. ( 8, 2)C. ( -2,1)D.(巴-2) U (1 , i)解析:選C原不等式
27、化為(x1)( x+2) <0,解得一2vxv1,故原不等式的解集為( 2,1).2 . (2013 湘潭月考)不等式+2忘x-2的解集是()A. (8, 0 U(2,4B. 0,2) U4, i)C. 2,4)D.(巴 2 U (4 , +oo)解析:選B當x2>0即x>2時,原不等式等價于(x 2)2>4,解得x>4.當x2V0即x<2時,原不等式等價于(x-2)2<4,解得0Wxv 2.3 .關于x的不等式x2 (a+1)x + av 0的解集中,恰有 3個整數(shù),則a的取值范圍是()A. (4,5)B. ( -3, - 2) U (4,5)C.
28、(4,5D. -3, - 2) U (4,5解析:選D原不等式可能為(xi)(x a) <0,當a>l時得ivxva,此時解集中的 整數(shù)為 2,3,4 ,則 4<a<5,當 a<1 時得 a<x<1,則一3w av 2,故 aC -3,-2) U (4,54 .若(m+ 1)x2(m- 1)x + 3(m- 1)<0對任何實數(shù) x恒成立,則實數(shù) m的取值范圍是()A. (1 , +8)B. ( OO, 1)1313一荷 jU (1 ,+ 0°)解析:選C m= 1時,不等式為2x6<0,即x<3,不合題意. 1時,m)+ 1
29、<o, < <o,6. (2012 長沙模擬)已知二次函數(shù)f(x) =ax2- (a+2)x+1(a Z),且函數(shù)f(x)在(一2, 1)上恰有一個零點,則不等式f (x) >1的解集為()A. ( 8, 1) U (0 , +OO)B. ( 8, 0) U (1 , +OO)C. ( -1,0)D. (0,1)解析:選 C . f (x) = ax2( a+ 2) x+ 1,A = (a+2)2-4a=a2+4>0,,函數(shù)f (x) = ax2 (a + 2)x+ 1必有兩個不同的零點,又 f(x)在(一2, 1)上有一個零點,則 f(-2)f (-1) <
30、;0,.(6a+ 5)(2 a + 3) <0,解得一3vav 5.26又 a e z, .1. a= 一 1.不等式 f (x) >1,即一x2-x> 0,解得一1vxv0.k-3 7.若不等式 一->1的解集為x1 <x<3,則實數(shù)k = x 31 k 3k 3 _ r_xk 一 , 一 一.解析: ;> 1,得 1 -< 0,即z<0, (x-k)( x- 3) <0,由題息得 k= 1.x 3x 3x 3答案:18.不等式x2-2x + 3 <a2-2a-1在R上的解集是?,則實數(shù)a的取值范圍是 .22解析:原不等式即
31、x -2x-a +2a+4<0,在R上解集為?,2.A =4-4( - a +2a+4) v 0,2即 a 2a3v0,解得一1 v av 3.答案:( 1,3)c _x+ 5, x< 3,9 . (2012 陜西師大附中模擬 )若函數(shù)f(x)=*且f(f(3) >6,則m2xm x>3,的取值范圍為.解析:由已知得 f(3) =6-m 當 mC3 時,6命 3,則 f(f(3) = 2(6 - m) - rrr 12 -3mr>6,解得 mx 2;當 m03 時,6-mK 3,則 f(f(3) =6 mu 5>6,解得 3< rm< 5.綜 上知,m< 2 或 3v rmc 5.答案:
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