超全高數(shù)公式,突擊必備,完全免費

1、高數(shù)公式導數(shù)公式：(tgx) sec x(ctgx)esc2 x(secx) seex tgx (esex)cscx ctgx(ax) ax lna(log ax) xl na(arcsin x)11 x2(arccos x)1、1 x2(arctgx)11 x2(arcctgx)11 x2cscxdx In cscx ctgx Cdx2 .2sec xdxtgx Ccos xdx2 2csc xdxctgx Csin xsecx tgxdx secxC基本積分表：tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx Ccscx ctgxdx

2、 cscx Cxx a axdxCIn ashxdx chx Cdx-22a x丄InU2a a xchxdx shx Cdx.x arcs inadx.x2 a222In( x x a ) C nnn11nsinxdxcosxdxI n 200n22 2 vx adxxVx22 aaIn(xJ x2 a22222 2Vx adxxvx22 aaInx；'2 2 V x a2222 2dxx；22ax -va xvaxarcsin-C22a22IC)C三角函數(shù)的有理式積分:2usin x 2, cosx1 u2u1 u2，tgf，dx2du1 u2xxe e2shx exx echx

3、exx21)x21)x esinxlim1x 0 x1 x lim(1 -)x x x雙曲正弦：shx 雙曲余弦：chx 雙曲正切:thx arshx In (xarchx In (xarthxllnl x2 1三角函數(shù)公式:誘導公式：sin()sincoscossincos()coscossinsin、tgtgtg()1 tgtg、ctgctg1ctg()ctgctg-和差角公式:sinsin2si ncos22sinsin2 cossin22-和差化積公式:cos cos 2 cos cos2 2coscos2 si nsin22函數(shù)角Asincostgctg-a-sin acos a-t

4、g a-ctg a90 ° acos asin actg atg a90 ° acos a-sin a-ctg a-tg a180 °asin a-cos a-tg a-ctg a180 °a-sin a-cos atg actg a270 ° a-cos a-sin actg atg a270 ° a-cos asin a-ctg a-tg a360 ° a-sin acos a-tg a-ctg a360 ° asin acos atg actg asin 2cos22sin cos2 22 cos1 1 2s

5、 in2 cosctg2ctg212ctgtg22tg21 tg倍角公式:-半角公式:.2 sinsin33si n4si n33cos3 4cos 3costg33tg tg321 3tg2：1 cos sin 22)1 costg 2, 1 cos1 cos sinsin 1 coscos21cosX2ctg-1cos1 cos1cossinsin1 cos-正弦定理:asin Absin Bsin C2R-余弦定理：c2 a2 b2 2abcosC-反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsin x arccosx2arctgx arcctgx2)公式:(uv)(n)n即 k)v(k)k 0(n)(n 1

6、)n(n 1) (n 2)u Vnu vuv2!高階導數(shù)公式萊布尼茲(Leib niz中值定理與導數(shù)應用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a)n(n 1) (n k 1)紆化) u v k!f ( )(b a)UV(n)柯西中值定理：丄包血丄F(b) F(a) F ()當F(x) x時，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率:弧微分公式：ds 1 y 2dx,其中y tg平均曲率：K .:從M點到M點，切線斜率的傾角變 化量；s： MM弧長。M點的曲率：Klim0d y_ds J(1 y2)3直線：K 0;半徑為a的圓：K丄.定積分的近似計算:b矩形法：f(x)ab梯形法：f (x)ab a,

7、 (yo yi nb a 1 z 、 (y。 yn) n 2yn 1)yiyn ib拋物線法：f (x)a(yoyn)2(y2y4yn 2)4(yi y3yn i)定積分應用相關公式:功：W F s水壓力：F p A引力：F kmimP2,k為引力系數(shù)rf(x)dx均方根：.1f2(t)dt函數(shù)的平均值：yb a空間解析幾何和向量代數(shù):空間2點的距離：d M1M2 向量在軸上的投影：PrjuAB.(X2 xj2 (y2 如)2 (Z2 乙)2 AB cos ,是AB與u軸的夾角。Pr ju(a1 a?) Pr ja1 Pr ja2a b cosaxbxay byazbz，是一個數(shù)量，兩向量之間

8、的夾角:cosaxbx2 2axayayby azbaz2.bx2z2by2bzcabaxbxaybyazbza b sin.例:線速度:向量的混合積:abc (ab) caxbxCxaybyCyazbzCzb I c cos ,為銳角時,代表平行六面體的體積 。平面的方程:1、點法式：A(x x0) B( y y0) C(z 般方程：Ax By3、截距世方程：-ya b2、Cz D 0zo) o,其中 n A, B,C, Mo(xo,yo,zo)平面外任意一點到該平面的距離:Axo By。Czo DA2 B2 C2Xo空間直線的方程:x XomyyonZoPt,其中s m, n, p;參數(shù)方

9、程:yomtntZopt二次曲面:1、2、3、222xyz2.22abc22xyz,(|：2p2q222:xyz： 2 22abc222:xyz： 2.22abc橢球面:1拋物面:雙曲面:11(馬鞍面)單葉雙曲面雙葉雙曲面多元函數(shù)微分法及應用全微分：dz dx dy x y全微分的近似計算：z dz多元復合函數(shù)的求導法：du dx dy dzx y zfx(x,y) x fy(x,y) yz fu(x,y),v(x,y)zxz uuzxvvx當u u(x,y), v v(x, y)時，du dx dydvdxdyxyxy隱函數(shù)的求導公式：隱函數(shù)F(x,y) 0,dyFx,d2y.2-(fx)+

10、(dxFydxxFy隱函數(shù) F(x,y,z) 0,zF,zFyxFzyFzz fu(t),v(t)Fx) dy Fy) dxdz z u z v dt u t v tFF隱函數(shù)方程組：feuv) 0J(F,G)u飛Fu FvG(x,y,u,v) 0(u,v)GGGuGvuvu1(F,G)v1(F,G)Xj(x,v)Xj(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yj(y,v)yj(u,y)微分法在幾何上的應用:x空間曲線yz(t)z Zo在點M處的法平面方程:(to)(x xo)(to)(y yo)(to)(z Zo)0Fy FzGy G zFzFxGz GxFxGx若空間曲線方程為：F(x, y,

11、Z) 0則切向量T G(x,y,z) 0曲面 F (x, y,z) 0 上一點 M(Xo,y°,Zo)，則:過此點的法向量：n Fx(Xo, yo,Zo), Fy(x°, y°, Zo), Fz(x°, y°,z。)過此點的切平面方程：Fx(Xo,yo,z°)(x Xo) Fy(Xo,yo,Zo)(y y°)FyGy1、2、Fz(x°,y°,Zo)(z Zo) O3、x Xoyyoz Zo過此點的法線方程：Fx(Xo,yo,Zo) Fy(Xo,yo,Zo) Fz(Xo,yo,Zo)(t)在點M(X0,yo

12、,Z0)處的切線方程：益 =方向?qū)?shù)與梯度:函數(shù)z f (x, y)在一點p(x, y)沿任一方向I的方向?qū)?shù)為：-cos xsin y其中為x軸到方向I的轉角。函數(shù)z f (x, y)在一點 p(x,y)的梯度：gradf(x,y)它與方向?qū)?shù)的關系是： grad f (x,y) e，其中e cos isinj，為l方向上的單位向量。f是gradf (x, y)在l上的投影多元函數(shù)的極值及其求法：設fx<(xo,y，o)fy(Xo, yo)0,令：fxx(xo,yo) A,fxy(xo, yo) B,fyy(xo,yo) CACB20時，Ao,(xo,yo)為極大值Ao,(xo,yo)

13、為極小值則：ACB20時，無極值ACB20時,不確定重積分及其應用:f (x, y)dxdy f (rcos ,r sin )rdrdDD曲面z f (x, y)的面積A2dxdy平面薄片的重心：x業(yè)Mx (x,y)dD(x, y)dD平面薄片的轉動慣量： 對于X軸I X平面薄片(位于xoy平面)(x,y)xdFxy2 (x, y)d ,D對z軸上質(zhì)點M (0,0, a), (a(x, y)ydy (x,y)dD(x, y)dD對于y軸I yo)的引力:3 ?D/222X2(x y a )柱面坐標和球面坐標：FyD /(x y3,a2)2Fzfax2 (x, y)dDFx,Fy,Fz，其中:(

14、x, y)xdD 2(x3a2)2x r cos柱面坐標：y r sin ,f (x, y, z)dxdydzF(r,z)rdrddz,z z其中：F(r, ,z) f (r cosx rsin cos球面坐標：y r sin sin ，,r sin ,z)dv rd rsindrr2sindrdz r cosf (x, y,z)dxdydzF(r,2,)r sin drd重心：xx dv,y dv2d0丄M轉動慣量:Ix(y2z2)dv,Iy(x2z2)曲線積分:第一類曲線積分(對弧長的曲線積分)設f (x, y)在L上連續(xù),L的參數(shù)方程為:(t)f(x,y)ds f (t),L(t).2(

15、t)2(t)dtr(,)F(r,0)r2 sindrdv,其中Mdvdv,Iz(x2y2) dv),則:特殊情況:y (t)第二類曲線積分(對坐標的曲線積分)：設L的參數(shù)方程為y(;),則:P(x,y)dx Q(x,y)dyL兩類曲線積分之間的關P (t).(t)(t) Q (t), (t)(t)dt系：PdxLL上積分起止點處切向量 的方向角。Q P格林公式：()dxdy - Pdxd x yl當Py,Q x,即：衛(wèi)2時，x y平面上曲線積分與路徑無關的條件:1、G是一個單連通區(qū)域；Qdy(Pcos QcosLQdy格林公式：(-QD X得到D的面積：A)ds其中和分別為P)dxdy ydx

16、dyD:Pdx QdyLxdy ydx2lQP2、P(x,y), Q(x,y)在 G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù),且-Q二上。注意奇點，如(0,0)，應xy減去對此奇點的積分，注意方向相反! 二元函數(shù)的全微分求積：Q P在一=一時，Pdx Qdy才是二兀函數(shù)u(x,y)的全微分，其中：x y(x,y)u(x,y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,通常設 x0 y00°(xo,yo)曲面積分：對面積的曲面積分：f(x,y,z)ds fx, y,z(x, y) <1 z；(x,y) z：(x,y)dxdyDxy對坐標的曲面積分：P(x, y, z)dydz Q(x, y,z)dzd

17、x R(x, y,z)dxdy,其中：R(x, y, z) dxdyRx, y,z(x, y)dxdy,取曲面的上側時取正 號；DxyP(x, y, z) dydzPx(y,z), y,zdyd乙取曲面的前側時取正號；DyzQ(x,y,z)dzdxQx, y(z,x),zdzdx取曲面的右側時取正 號。Dzx兩類曲面積分之間的關系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:PQx yR)dvz、Pdydz Qdzdx Rdxdy:(P cosQcos散度：.PdivQR,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若xyz通量：A ndsAn ds(PcosQ c

18、osRcos)ds，高斯公式的物理意義 通量與散度:Rcos )dsdiv0,則為消失因此，咼斯公式又可寫成： div Adv . Andsy zz xdydz dzdx上式左端又可寫成：xyPQ斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關系：( )dydz (-P )dzdx空間曲線積分與路徑無關的條件:QP()dxdy。PdxQdyRdzxydxdycoscoscoszxyzRPQRRQPRQ Pyzzxx yi旋度：rotA xP向量場A沿有向閉曲線的環(huán)流量：Pdx Qdy Rdz A tds常數(shù)項級數(shù)：等比數(shù)列：q q2等差數(shù)列：2 3調(diào)和級數(shù)：-1231 qn1 q(n 1)n21是發(fā)散的

19、n級數(shù)審斂法:1、正項級數(shù)的審斂法設： lim n Un，則根植審斂法(柯西判1時，級數(shù)收斂1時，級數(shù)發(fā)散1時，別法)：不確定2、比值審斂法:設： limUnn 1uT，則級數(shù)收斂 級數(shù)發(fā)散1時，1時，1時，不確定3、定義法:SnU1U2Un;lim sn存在，則收斂；否則發(fā) n散。交錯級數(shù)U1U2U3U4U1 U2 U3,Un 0)的審斂法萊布尼茲定理:如果交錯級數(shù)滿足UnUn 1.門，那么級數(shù)收斂且其和Slim Un 0nUi,其余項rn的絕對值rnUn 1。絕對收斂與條件收斂:(1)U1 U2U1如果(2)收斂，則(1)肯定收斂，且稱為絕對 收斂級數(shù); 如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱

20、(1)為條件收斂級數(shù)。1發(fā)散，而n丄收斂；n1 /pn p . pU2U3Un，其中un為任意實數(shù);Un調(diào)和級數(shù):級數(shù):1時發(fā)散1時收斂幕級數(shù):1 x x21時，收斂于 -1 X發(fā)散1時,對于級數(shù)(3)a0ax2a?x數(shù)軸上都收斂，則必存anXx在R,使 xx，如果它不是僅在原點 收斂，也不是在全 R時收斂R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。R時不定0時,求收斂半徑的方法：設limnan 1an，其中an， an 1是(3)的系數(shù)，則0時，時，R 0函數(shù)展開成幕級數(shù):函數(shù)展開成泰勒級數(shù):f(x)f(X0)(X X0)-(x X0)22!(n),f (x0)(x X0)nn!余項：Rn：(n 0()x

21、0)n 1,f(x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：lim R, 0x°0時即為麥克勞林公式:f(x) f(0) f (0)x2!f (n)(0) nXn!些函數(shù)展開成幕級數(shù):(1 x)m1 mx2!m(m 1) (m n 1) nXn!1 x 1)sinx x3X3!5X5!1)n2n 11(2n 1)!歐拉公式:ixe cosxi si nxcosx或sin xix e三角級數(shù):f(t) A。ixe2ixixe e2A sin( nn 1aA°，anAn sin n，S其中，正交性：1,sin x, cosx, sin 2x,cos2x 上的積分=0。傅立葉級數(shù)：a&#

22、176;(an cosnxn 1An COs n， sin nx,cosnxbn sin nx)X。t任意兩個不同項的乘積 在f(x)a。(an cosnx bnsinnx), 周期 2anf(x)cosnxdx(n 0,1,2其中bnf (x)sinnxdx(n 1,2,31丄321 122428 24 11221321孑2(相加)62一(相減)12正弦級數(shù):an0, bnf (x)sin nxdx1,2,3f (x)bn sin nx是奇函數(shù)余弦級數(shù):bn0, anf(x)cosnxdx0,1,2f(x)ao2an cos nx是偶函數(shù)周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):f(x) 7an其中bn/ n x ,.(an cosbn sinn 1lln x,f (x) cos dxilX),周期 211(n 0,1,2 )1 ln x-f (x)si ndx1 i1(n 1,2,3 )微分方程的相關概念:或 P(x,y)dx Q(x, y)dy 0f(x)dx的形式，解法:一階微分方程：y f (x, y)可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dyg(y)d