材料力學答案

1、第二章 軸向拉壓應(yīng)力與材料的力學性能2-1試畫圖示各桿的軸力圖。題2-1圖解：各桿的軸力圖如圖2-1所示。圖2-12-2 試畫圖示各桿的軸力圖，并指出軸力的最大值。圖a與b所示分布載荷均沿桿軸均勻分布，集度為q。題2-2圖(a) 解：由圖2-2a(1)可知，軸力圖如圖2-2a(2)所示，圖 2-2a(b) 解：由圖2-2b(2)可知，軸力圖如圖2-2b(2)所示，圖 2-2b2-3圖示軸向受拉等截面桿，橫截面面積A=500mm載荷F=50kNk試求圖示斜截面mm上的正應(yīng)力與切應(yīng)力，以及桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。題2-3圖解：該拉桿橫截面上的正應(yīng)力為斜截面mm的方位角久=-50:故有桿內(nèi)的最

2、大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力分別為2-5 某材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖所示，圖中還同時畫出了低應(yīng)變區(qū)的詳圖。試確定材料的彈性模量E、比例極限Cp、屈服極限6、強度極限6與伸長 率、:，并判斷該材料屬于何種類型（塑性或脆性材料）題2-5解：由題圖可以近似確定所求各量。op ： 220MPa ,$ ： 240MPaOb 440MPa ,3： 29.7%該材料屬于塑性材料。2-7 一圓截面桿，材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如題2-6圖所示。若桿徑d =10mm 桿長丨=200mm,桿端承受軸向拉力 F二20kN作用，試計算拉力作用時與卸去后桿的軸向變形。題2-6圖3解：o上=4 20 雪 豊=2.55 108Pa =

3、255MPaA n 0.0102m2查上述O- 曲線，知此時的軸向應(yīng)變?yōu)檩S向變形為拉力卸去后，有電=0.00364， =0.00026故殘留軸向變形為2-9圖示含圓孔板件，承受軸向載荷F作用。已知載荷F =32kN,板寬b=100mm板厚6 =15mm孔徑d =20mm試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力（考慮 應(yīng)力集中）。題2-9圖解：根據(jù) 查應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得根據(jù)Fk maxbd） 3，=得2- 10 圖示板件，承受軸向載荷F作用。已知載荷F=36kN,板寬bi=90mmb2=60mrp板厚=10mm孔徑d =10mm,圓角半徑 R =12mm試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力（考慮應(yīng)力集中）。題2-

4、10圖解：1.在圓孔處根據(jù)查圓孔應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得故有2. 在圓角處根據(jù)查圓角應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得故有3. 結(jié)論Omax=117MPa （在圓孔邊緣處）2-14 圖示桁架，承受鉛垂載荷 F作用。設(shè)各桿的橫截面面積均為A,許用應(yīng)力均為:，試確定載荷F的許用值F o題2-14圖解：先后以節(jié)點C與B為研究對象，求得各桿的軸力分別為 根據(jù)強度條件，要求由此得2-15 圖示桁架，承受載荷f作用，已知桿的許用應(yīng)力為二。若在節(jié)點B和C的位置保持不變的條件下，試確定使結(jié)構(gòu)重量最輕的：值（即確定節(jié)點 A的最佳位置）。題2-15圖解：1求各桿軸力設(shè)桿AB和BC的軸力分別為Fni和Fn2，由節(jié)點B的平衡條件求得2

5、. 求重量最輕的：值由強度條件得結(jié)構(gòu)的總體積為由得由此得使結(jié)構(gòu)體積最小或重量最輕的a值為2-16 圖示桁架，承受載荷F作用，已知桿的許用應(yīng)力為門。若節(jié)點A 和C間的指定距離為丨，為使結(jié)構(gòu)重量最輕，試確定 v的最佳值。題2-16圖解：1求各桿軸力由于結(jié)構(gòu)及受載左右對稱，故有2.求的最佳值由強度條件可得 結(jié)構(gòu)總體積為由得由此得d的最佳值為2-17 圖示桿件，承受軸向載荷F作用。已知許用應(yīng)力? = 120MPa許用 切應(yīng)力:=90MPa許用擠壓應(yīng)力:bs = 240MPa試從強度方面考慮， 建立桿徑 d、墩頭直徑D及其高度h間的合理比值。題2-17圖解：根據(jù)桿件拉伸、擠壓與剪切強度，得載荷F的許用值

6、分別為Fh 二羊（a）Fh = 2：-/）丄（b）Fh = ndh（c）理想的情況下，在上述條件下，由式（a）與（c）以及式（3）與（b），分別得于是得由此得2- 18圖示搖臂，承受載荷 F1與F2作用。已知載荷 F=50kN, F2=35.4kN，許用切應(yīng)力訂=100MPa,許用擠壓應(yīng)力 bs=240MPa試確定軸銷B的直徑d。題2-18圖解：1.求軸銷處的支反力由平衡方程a Fx =0與a Fy =0，分別得由此得軸銷處的總支反力為2.確定軸銷的直徑由軸銷的剪切強度條件（這里是雙面剪）得由軸銷的擠壓強度條件得結(jié)論：取軸銷直徑 d _0.015m =15mm。2-19 圖示木榫接頭，承受軸向

7、載荷 F二50 kN作用，試求接頭的剪切與 擠壓應(yīng)力。題2-19圖解：剪應(yīng)力與擠壓應(yīng)力分別為2-20 圖示鉚接接頭，鉚釘與板件的材料相同，許用應(yīng)力 ? =160MPa 許用切應(yīng)力:=120 MPa，許用擠壓應(yīng)力:bs = 340 MPa，載荷F二230 kN。 試校核接頭的強度。題2-20圖解：最大拉應(yīng)力為最大擠壓與剪切應(yīng)力則分別為2-21圖示兩根矩形截面木桿，用兩塊鋼板連接在一起， 承受軸向載荷F=45kN作用。已知木桿的截面寬度b =250mm,沿木紋方向的許用拉應(yīng)力y=6MPa，許用擠壓應(yīng)力 gbs=10MPa許用切應(yīng)力叮=1MPa。試確定鋼板的尺 寸：與丨以及木桿的高度ho題2-21圖

8、解：由拉伸強度條件h_2 匯旦二45103幾 2b os2 0.250 10 1045 10 訓(xùn)=0.009m = 9mm(b)(a)m =0.030mb o0.250 6 106由擠壓強度條件由剪切強度條件取20.009m代入式（a）,得結(jié)論：取S 9mm , I _90mm , h _48mm。d=20mm許用應(yīng)2-22 圖示接頭，承受軸向載荷 f作用。已知鉚釘直徑力門=160MPa,許用切應(yīng)力.=120MPa,許用擠壓應(yīng)力s=340MPa板件與鉚 釘?shù)牟牧舷嗤?。試計算接頭的許用載荷。題2-22圖解：1.考慮板件的拉伸強度由圖2-22所示之軸力圖可知，圖 2-222. 考慮鉚釘?shù)募羟袕姸?

9、. 考慮鉚釘?shù)臄D壓強度結(jié)論：比較以上四個F值，得2-23 圖a所示鋼帶AB用三個直徑與材料均相同的鉚釘與接頭相連接,鋼帶承受軸向載荷 F作用。已知載荷F=6kN,帶寬b=40mm帶厚：=2mm鉚釘直徑d=8mm孔的邊距a=20mm鋼帶材料的許用切應(yīng)力:=100MPa,許用擠壓應(yīng)力:bs=300MPa,許用拉應(yīng)力:=160MPs。試校核鋼帶的強度。題2-23圖解：1.鋼帶受力分析分析表明，當各鉚釘?shù)牟牧吓c直徑均相同，且外力作用線在鉚釘群剪切面上的投影，通過該面的形心時，通常即認為各鉚釘剪切面的剪力相同。鉚釘孔所受擠壓力Fb等于鉚釘剪切面上的剪力，因此，各鉚釘孔邊所受的擠壓力Fb相同，鋼帶的受力如

10、圖b所示，擠壓力則為孔表面的最大擠壓應(yīng)力為在擠壓力作用下，鋼帶左段虛線所示縱截面受剪（圖b）,切應(yīng)力為鋼帶的軸力圖如圖c所示。由圖b與c可以看出，截面1-1削弱最嚴重，而 截面2-2的軸力最大，因此，應(yīng)對此二截面進行拉伸強度校核。截面1-1與2-2的正應(yīng)力分別為第三章軸向拉壓變形3- 2 一外徑D=60mm內(nèi)徑d=20mnm勺空心圓截面桿，桿長 丨二400mm兩 端承受軸向拉力 F二200kN作用。若彈性模量 E = 80GPa，泊松比=0.30。試 計算該桿外徑的改變量：D及體積改變量：V。解：1.計算D由于故有變形后該桿的體積為故有3-4圖示螺栓，擰緊時產(chǎn)生 厶i=0.10mm的軸向變形。

11、已知：di = 8.0mm,d2 = 6.8mm，d3 = 7.0mm； l i=6.0mm， 12=29mm 13=8mm E= 210GPa cr=500MPa。 試求預(yù)緊力F,并校核螺栓的強度。題3-4圖解：1.求預(yù)緊力F各段軸力數(shù)值上均等于F，因此，由此得2. 校核螺栓的強度此值雖然超過司，但超過的百分數(shù)僅為 2.6 %，在5%以內(nèi)，故仍符合強度 要求。3- 5 圖示桁架，在節(jié)點 A處承受載荷F作用。從試驗中測得桿1與桿2 的縱向正應(yīng)變分別為1= 4.0 X 10-4與2= 2.0 X 10-4。已知桿1與桿2的橫截面面 積A二A2=200mii彈性模量 E二E2=200GPa試確定載

12、荷 F及其方位角日之值。題3-5圖解：1.求各桿軸力2.確定F及B之值由節(jié)點A的平衡方程a Fx=0和a Fy=0得化簡后，成為(a)Fn1 -尸吃=2Fsin 0聯(lián)立求解方程(a)與(b)，得由此得3-6圖示變寬度平板，承受軸向載荷f作用。已知板的厚度為：，長度為丨， 左、右端的寬度分別為 bi與b2,彈性模量為E。試計算板的軸向變形。題3-6圖解：對于常軸力變截面的拉壓平板，其軸向變形的一般公式為l fl FAl- dx 一 dx(a)EA(x)咗艸)由圖可知，若自左向右取坐標 x，則該截面的寬度為代入式(a)，于是得3-7 圖示桿件，長為I，橫截面面積為A，材料密度為彈性模量為E， 試求

13、自重下桿端截面 B的位移。題3-7圖解：自截面B向上取坐標y，y處的軸力為該處微段dy的軸向變形為 于是得截面B的位移為3-8 圖示為打入土中的混凝土地樁， 頂端承受載荷f，并由作用于地樁的 摩擦力所支持。設(shè)沿地樁單位長度的摩擦力為 f,且f二ky 2，式中，k為常數(shù)。 已知地樁的橫截面面積為 A彈性模量為E，埋入土中的長度為丨。試求地樁的 縮短量：。解：1.軸力分析摩擦力的合力為根據(jù)地樁的軸向平衡，由此得k 譯(a)截面y處的軸力為2. 地樁縮短量計算截面y處微段dy的縮短量為積分得將式(a)代入上式，于是得3-9 圖示剛性橫梁ab由鋼絲繩并經(jīng)無摩擦滑輪所支持。設(shè)鋼絲繩的軸 向剛度(即產(chǎn)生單

14、位軸向變形所需之力)為 k,試求當載荷F作用時端點B的鉛 垂位移。題3-9圖解：載荷F作用后，剛性梁AB傾斜如圖(見圖3-9) o設(shè)鋼絲繩中的軸力為Fn , 其總伸長為Al o圖3-9以剛性梁為研究對象，由平衡方程7Ma=0得由此得由圖3-9可以看出，可見，(b)根據(jù)k的定義，有于是得3-10 圖示各桁架，各桿各截面的拉壓剛度均為EA試計算節(jié)點A的水平與鉛垂位移。題3-10圖(a) 解：利用截面法，求得各桿的軸力分別為于是得各桿的變形分別為如圖3 10(1)所示，根據(jù)變形1 i與1 4確定節(jié)點B的新位置B,然后，過該 點作長為丨+12的垂線，并過其下端點作水平直線，與過A點的鉛垂線相交于 A

15、, 此即結(jié)構(gòu)變形后節(jié)點A的新位置。于是可以看出，節(jié)點 A的水平與鉛垂位移分別為圖 3-10(b) 解：顯然，桿1與桿2的軸力分別為于是由圖3 10(2)可以看出，節(jié)點A的水平與鉛垂位移分別為3-11圖示桁架ABC在節(jié)點B承受集中載荷F作用。桿1與桿2的彈性模量均為E,橫截面面積分別為 A=320m祐 A =2 580mrK試問在節(jié)點B和C的 位置保持不變的條件下，為使節(jié)點B的鉛垂位移最小，v應(yīng)取何值(即確定節(jié)點A的最佳位置)。題3-11圖解：1求各桿軸力圖 3-112. 求變形和位移由圖3-11b得及3. 求B的最佳值由 d4y/d 0 = 0 ,得由此得將A與A2的已知數(shù)據(jù)代入并化簡，得解此

16、三次方程，舍去增根，得由此得0的最佳值為3-12 圖示桁架，承受載荷f作用。設(shè)各桿的長度為丨，橫截面面積均為 A,材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：n=B:，其中n與B為由試驗測定的已知常數(shù)。試求節(jié) 點C的鉛垂位移。題3-12圖解：兩桿的軸力均為軸向變形則均為于是得節(jié)點C的鉛垂位移為3-13 圖示結(jié)構(gòu)，梁BD為剛體，桿1、桿2與桿3的橫截面面積與材料 均相同。在梁的中點 C承受集中載荷F作用。已知載荷F二20kN，各桿的橫截 面面積均為 A=100mm彈性模量 E = 200GPa,梁長丨二1 000mm。試計算該點 的水平與鉛垂位移。題3-13圖解：1求各桿軸力由7 Fx =0，得由7 Fy =0，得2

17、. 求各桿變形3. 求中點C的位移由圖3-13易知，圖 3-133-14 圖a所示桁架，承受載荷 F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA試求節(jié)點B與C間的相對位移 蘇。題3-14圖解：1.內(nèi)力與變形分析禾U用截面法，求得各桿的軸力分別為于是得各桿得變形分別為2. 位移分析如圖b所示，過d與g分別作桿2與桿3的平行線，并分別與節(jié)點 C的鉛垂線相交于e與h， 然后，在de與gh延長線取線段3與：12,并在其端點 m與n分別作垂線，得交點 C，即為節(jié)點C 的新位置?？梢钥闯?，3-15 如圖所示桁架，設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為ea試用能量法求載荷作用點沿載荷作用方向的位移。題3-15圖(a)解：各桿編

18、號示如圖3-15a，各桿軸力依次為該桁架的應(yīng)變能為圖 3-15依據(jù)能量守恒定律， 最后得(b)解：各桿編號示如圖b列表計算如下:1200345于是，依據(jù)能量守恒定律，可得3-16 圖示桁架，承受載荷 F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA試用能量法求節(jié)點B與C間的相對位移：B/C。題3-16圖解：依據(jù)題意，列表計算如下：12345由表中結(jié)果可得依據(jù)得3-17圖示變寬度平板，承受軸向載荷f作用。已知板的厚度為：，長度為丨，左、右端的寬度分別為 bi與b2,彈性模量為E,試用能量法計算板的軸向 變形。題3-17圖解：對于變截面拉壓板件，應(yīng)變能的表達式為VNdxN dx(a)呂 02EA(x)b2E

19、6b(x)由圖可知，若自左向右取坐標 x，則該截面的寬度為將上式代入式(a),并考慮到fn -f ,于是得設(shè)板的軸向變形為J，則根據(jù)能量守恒定律可知，或由此得3-19圖示各桿，承受集中載荷 F或均布載荷q作用。各桿各截面的的拉壓剛度均為EA試求支反力與最大軸力。題3-19圖(a)解：桿的受力如圖3-19a(1)所示，平衡方程為一個平衡方程，兩個未知支反力，故為一度靜不定。圖 3-19aAC CD與DB段的軸力分別為由于桿的總長不變，故補充方程為得由此得桿的軸力圖如3-19a(2)所示，最大軸力為(b)解：桿的受力如圖3-19b(1)所示，平衡方程為一個平衡方程，兩個未知支反力，故為一度靜不定。

20、圖 3-19bAC與CB段的軸力分別為由于桿的總長不變，故補充方程為得由此得桿的軸力圖如3-19b(2)所示，最大軸力為3-20 圖示結(jié)構(gòu)，桿1與桿2的橫截面面積相同，彈性模量均為 E，梁BC 為剛體，載荷F=20kN，許用拉應(yīng)力:t=160MPa,許用壓應(yīng)力:c=110MPa,試確 定各桿的橫截面面積。題3-20圖解：容易看出，在載荷 F作用下，桿2伸長，桿1縮短，且軸向變形相同，故Fn2為拉力，F(xiàn)ni為壓力，且大小相同，即以剛性梁BC為研究對象，鉸支點為矩心，由平衡方程由上述二方程，解得 根據(jù)強度條件,取3-21 圖示桁架，承受鉛垂載荷 f作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度相同， 試求各桿軸力。

21、題3-21圖(a)解：此為一度靜不定桁架。設(shè)Fn,ab以壓為正，其余各段軸力以拉力為正。先取桿AB為研究對象，由7 Fy =0 ,得F N,BC Fn,aB = F(a)后取節(jié)點A為研究對象，由Fx =0和7 Fy =0依次得到Fn,ad = Fn,ag(b)2Fn,adCOs45 = Fn,ab(c)在節(jié)點A處有變形協(xié)調(diào)關(guān)系(節(jié)點 A鉛垂向下)a1 bc _ A1ab2 Alcos45AD(d)物理關(guān)系為.Fn,bc1 蟲 bcEA，內(nèi) abFn,ab1EAAl AD將式(e)代入式(d)，化簡后得聯(lián)解方程(a)，(c)和(d，得Fn,b-22F (拉)，F(xiàn)n,ab 2(壓)，F(xiàn) -F口fn

22、,ad n,ag 一 2 廠(拉)(b)解：此為一度靜不定問題?？紤]小輪A的平衡，由7 Fy =0，在F作用下，小輪 A沿剛性墻面向下有一微小位移，在小變形條件下,02 : 0，故有Fni的水平分量由剛性墻面提供的約束反力來平衡。3-22 圖示桁架，桿1、桿2與桿3分別用鑄鐵、銅和鋼制成，許用應(yīng)力 分別為q=40MPa, y2=60MPa, s=120MPa,彈性模量分別為E=160GPa=100GPa E=200GPa若載荷 F=160kN, A二Af 2A，試確定各桿的橫截面面 積。題3-22圖解：此為一度靜不定結(jié)構(gòu)。節(jié)點C處的受力圖和變形圖分別示如圖3-22a和b0圖 3-22由圖a可得

23、平衡方程73 Fx =0，F(xiàn)N-2FN2(a) Fy =0, 2fn2 FnF(b)由圖b得變形協(xié)調(diào)方程為02Ahcta n30-03(c)sin 30根據(jù)胡克定律，有將式(d)代入式(c)，化簡后得補充方程為聯(lián)解方程,(b)和(c )，并代入數(shù)據(jù)，得Fn1 =22.6kN (壓)， Fn2 =26.1kN (拉)，F(xiàn)n3 =146.9kN (拉)根據(jù)強度要求，計算各桿橫截面面積如下： 根據(jù)題意要求，最后取3-23圖a所示支架，由剛體ABC并經(jīng)由鉸鏈 A桿1與桿2固定在墻上， 剛體在C點處承受鉛垂載荷 F作用。桿1與桿2的長度、橫截面面積與彈性模 量均相同，分別為 丨=100 mm A=100

24、 mn2，E=200 GPa。設(shè)由千分表測得 C點的 鉛垂位移？y? mm試確定載荷F與各桿軸力。題3-23圖解：1.求解靜不定在載荷F作用下，剛體ABC將繞節(jié)點A沿順時針方向作微小轉(zhuǎn)動，岡H體的位移、桿件的變形與受力如圖b所示。顯然，本問題具有一度靜不定。由平衡方程 M0，得Fni導(dǎo)十=0由變形圖中可以看出，變形協(xié)調(diào)條件為=2.2根據(jù)胡克定律，仙二頊，皿二朋EAEA將上述關(guān)系式代入式（b），得補充方程為聯(lián)立求解平衡方程（a）與上述補充方程，得F N14FF N22F(a)(b)(c)(d)2. 由位移:y確定載荷F與各桿軸力變形后，C點位移至C （CC -?A（C （圖b），且直線AC與AB

25、具有相同的角位移：，因此，C點的總位移為又由于將式(c)與(d)的第一式代入上式，于是得并從而得3-24 圖示鋼桿，橫截面面積 A=2500mm，彈性模量E=210GPa軸向載荷F=200kN。試在下列兩種情況下確定桿端的支反力。(a) 間隙：=0.6 mm；(b) 間隙=0.3 mm。題3-24圖解：當桿右端不存在約束時，在載荷F作用下，桿右端截面的軸向位移為當間隙=0.6 mm時，由于、下：、：，僅在桿C端存在支反力，其值則為當間隙=0.3 mm時，由于，桿兩端將存在支反力，桿的受力如圖 3-24 所示。圖 3-24桿的平衡方程為補充方程為由此得而C端的支反力則為3-25圖示兩端固定的等截

26、面桿 AB桿長為丨。在非均勻加熱的條件下，距A端x處的溫度增量為 T = . ：TBx2/l2，式中的.訂B為桿件B端的溫度增量。材 料的彈性模量與線膨脹系數(shù)分別為E與：-i。試求桿件橫截面上的應(yīng)力。題3-25圖解：1.求溫度增高引起的桿件伸長此為一度靜不定問題。假如將B端約束解除掉，則在x處的桿微段dx就會因溫升而有一個微伸長全桿伸長為2. 求約束反力設(shè)固定端的約束反力為F,桿件因F作用而引起的縮短量為由變形協(xié)調(diào)條件可得3. 求桿件橫截面上的應(yīng)力3-26 圖示桁架，桿bc的實際長度比設(shè)計尺寸稍短， 誤差為：。如使桿端B與節(jié)點G強制地連接在一起，試計算各桿的軸力。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA

27、題3-26圖解：此為一度靜不定問題。自左向右、自上向下將各桿編號15。由強制裝配容易判斷，桿13受拉，桿4和5受壓。裝配后節(jié)點G和C的受力圖分別示如圖 3-26a 和 b0圖 3-26(a)根據(jù)平衡條件，由圖a可得FN1 =FN2 =FN3由圖b可得FN4 = FN5 ，F(xiàn)n3= 2FN4cos30 -、3FN4(b)變形協(xié)調(diào)關(guān)系為（參看原題圖）二絕內(nèi)cos60 cos30(c)依據(jù)胡克定律，有EA(i =1 5)(d)將式（d）代入式（c），得補充方程2 FN1l .2Fn4-31 FN3EA 、3EA EA聯(lián)立求解補充方程（e）、平衡方程（a）與（b），最后得FN ,BC - FN ,GD

28、 - FN,GEFn,cd 二血0A A （壓）3-27圖a所示鋼螺栓，其外套一長度為 丨的套管。已知螺栓與套管的橫 截面面積分別為 A與A，彈性模量分別為 呂與E，螺栓的螺距為P?，F(xiàn)將螺母 旋緊1/5圈，試求螺栓與套管所受之力。螺帽與螺母的變形忽略不計。題3-27圖解：首先設(shè)想套管未套上，而將螺母由距螺帽丨處旋轉(zhuǎn)1/5圈，即旋進二p/5 的距離。然后，再將套管套上。由于螺帽與螺母間的距離小于套管的長度，故 套合后的螺栓將受拉，而套管則受壓。(a)(b)設(shè)螺栓所受拉力為FNb，伸長為：lb，套管所受壓力為FNt,縮短為：lt，則由圖 b與c可知，平衡方程為FNb - Fn - 0而變形協(xié)調(diào)方程

29、則為 利用胡克定律，得補充方程為F N亠FNt丨 _ -AbEbAtEt最后，聯(lián)立求解平衡方程（a）與補充方程（b），得螺栓與套管所受之力即預(yù)緊力為 式中，3-28 圖示組合桿，由直徑為30mnm勺鋼桿套以外徑為50mm內(nèi)徑為30mm 的銅管組成，二者由兩個直徑為10mm勺鉚釘連接在一起。鉚接后，溫度升高40C , 試計算鉚釘剪切面上的切應(yīng)力。鋼與銅的彈性模量分別為Es = 200GPa與E=100GPa 線膨脹系數(shù)分別為 is=12.5 X 10-6 C-1 與鼻 lc=16X 10-6 C-1。題3-28圖解：設(shè)溫度升高.汀時鋼桿和銅管自由伸長量分別為敢和敢，由于二者被鉚釘連在一起，變形要

30、一致，即變形協(xié)調(diào)條件為 或?qū)懗?這里，伸長量 如和縮短量Alc均設(shè)為正值。弓I入物理關(guān)系，得將靜力平衡條件FNs二FNc二F代入上式，得注意到每個鉚釘有兩個剪切面，故其切應(yīng)力為由此得3-29 圖示結(jié)構(gòu)，桿1與桿2各截面的拉壓剛度均為 EA梁BD為剛體， 試在下列兩種情況下，畫變形圖，建立補充方程。(1) 若桿2的實際尺寸比設(shè)計尺寸稍短，誤差為：；(2) 若桿1的溫度升高：T,材料的熱膨脹系數(shù)為1。題3-29圖(1)解：如圖3-29(1)a所示，當桿2未與剛性桿BD連接時，下端點位于 D，即DD“x。當桿2與剛性桿BD連接后，下端點鉛垂位移至 D，同時，桿1的下端點則鉛垂位移至 C o過C 作

31、直線C e垂直于桿1的軸線，顯然Ce=線，即代表桿1的彈性變形，同時， DD J Al2，即代表 桿2的彈性變形。與上述變形相應(yīng)，桿 1受壓，桿2受拉，剛性桿 BD的受力如圖3-29(1)b所示。圖 3-29(1)可以看出，即變形協(xié)調(diào)條件為而補充方程則為或(2)解：如圖3-29(2)a所示，當桿1未與剛性桿BD連接時，由于其溫度升高，下端點位于C , 即CCJj .2IAT。當桿1與剛性桿BD連接后，下端點 C鉛垂位移至C，而桿2的下端點D則鉛垂位移至D 。過C作直線C e垂直于直線CC ,顯然，eC AI1即代表桿1的彈性變形，同時,DD丄AI2，代表桿2的彈性變形。與上述變形相應(yīng)，桿1受壓

32、，桿2受拉，剛性桿 BD的受力如圖3-29(2)b 所示。圖 3-29(2)可以看出，故變形協(xié)調(diào)條件為而補充方程則為或3-30圖示桁架，三桿的橫截面面積、彈性模量與許用應(yīng)力均相同，并分別為A, E與二，試確定該桁架的許用載荷F。為了提高許用載荷之值，現(xiàn) 將桿3的設(shè)計長度I變?yōu)镮 A。試問當：為何值時許用載荷最大，其值F max為何。題3-30圖解:此為一度靜不定問題。節(jié)點C處的受力及變形示如圖 3-30a和b0圖 3-30由圖a得平衡方程為FN1 - FN2， 2F N1cos30Fn3 - F(a)由圖b得變形協(xié)調(diào)條件為依據(jù)胡克定律，有R,l.X 二亠 (i =1,2,3)(c)EA將式(c

33、)代入式(b)，化簡后得補充方程為FN3 =3FN1( b )3將方程(b)與方程(a)聯(lián)解，得由此得為了提高F值，可將桿3做長：，由圖b得變形協(xié)調(diào)條件為式中，詡3與厶h均為受載后的伸長，依題意，有了后，應(yīng)使三根桿同時達到o，即由此得此時，各桿的強度均充分發(fā)揮出來，故有第四章扭轉(zhuǎn)4- 5 受扭薄壁圓管，外徑D= 42mm內(nèi)徑d = 40mm扭力偶矩 M= 500N?m 切變模量G=75GPa試計算圓管橫截面與縱截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力， 并計算管表面 縱線的傾斜角。解：該薄壁圓管的平均半徑和壁厚依次為于是，該圓管橫截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為依據(jù)切應(yīng)力互等定理，縱截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為該圓管表面縱線的傾斜角為

34、4- 7 試證明，在線彈性范圍內(nèi)，且當R/10時，薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式的最大誤差不超過 4.53%。解：薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式為(a)設(shè)R0/注卩，按上述公式計算的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為 _ TTT2 R 廠2 S3按照一般空心圓軸考慮，軸的內(nèi)、外直徑分別為 極慣性矩為由此得十n(4矗持)(2Ro+氏T(2：1)n- 3(4“ 1)(b)比較式(a)與式(b)，得當=色=10時，6可見，當F0/S 10時，按薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式計算T勺最大誤差不超過4.53 %。4-8 圖a所示受扭圓截面軸，材料的.一曲線如圖b所示，并可用.=c 1/m 表示，式中的C與m為由試驗測定的已知常數(shù)。試建立扭轉(zhuǎn)切

35、應(yīng)力公式，并畫 橫截面上的切應(yīng)力分布圖。題4-8圖解：所研究的軸是圓截面軸，平面假設(shè)仍然成立。據(jù)此，從幾何方面可以得djdx根據(jù)題設(shè)，軸橫截面上距圓心為p處的切應(yīng)力為由靜力學可知，A 殲 C”A p(m1)g(a)(b)(c)取徑向?qū)挾葹閐p的環(huán)形微面積作為dA，即將式(d)代入式(c)，得)1/ m由此得(3m 1)T2nCm(d)(3m1)/m2將式(e)代入式(b)，并注意到T=M，最后得扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式為橫截面上的切應(yīng)力的徑向分布圖示如圖4-8圖4-84-9 在圖a所示受扭圓截面軸內(nèi)，用橫截面ABC和DEF與徑向縱截面ADFC 切出單元體ABCDEF圖b)。試繪各截面上的應(yīng)力分布圖，并說

36、明該單元體是如 何平衡的。題4-9圖解：單元體ABCDE各截面上的應(yīng)力分布圖如圖 4-9a所示。圖4-9根據(jù)圖a,不難算出截面AOOiD上分布內(nèi)力的合力為同理，得截面OCFOj上分布內(nèi)力的合力為方向示如圖c。設(shè)Fx1與Fx2作用線到X軸線的距離為ez1，容易求出根據(jù)圖b,可算出單元體右端面上水平分布內(nèi)力的合力為同理，左端面上的合力為方向亦示如圖C。設(shè)Fz2作用線到水平直徑DF的距離為ey (見圖b)，由 同理，F(xiàn)z1作用線到水平直徑AC的距離也同此值。根據(jù)圖b,還可算出半個右端面 DO上豎向分布內(nèi)力的合力為設(shè)Fy3作用線到豎向半徑0疳的距離為電（見圖b），由得同理，可算出另半個右端面 O/E以

37、及左端面AOB、OCB上的豎向分布內(nèi)力的合力 為方向均示如圖c。它們的作用線到所在面豎向半徑的距離均為ez2。由圖c可以看得很清楚，該單元體在四對力的作用下處于平衡狀態(tài)，這四對 力構(gòu)成四個力偶，顯然，這是一個空間力偶系的平衡問題。既然是力偶系，力的平衡方程（共三個）自然滿足，這是不言而喻的。上述討論中，所有的T在數(shù)值上均等于M。4-11 如圖所示，圓軸 AB與套管CD用剛性突緣E焊接成一體，并在截 面A承受扭力偶矩 M作用。圓軸的直徑d = 56mm，許用切應(yīng)力c=80MPa,套 管的外徑 D = 80mm壁厚、二6mm許用切應(yīng)力2= 40MPa。試求扭力偶矩 M 的許用值。題4-11圖解：由

38、題圖知，圓軸與套管的扭矩均等于M1. 由圓軸AB求M的許用值由此得M的許用值為2. 由套管CD求M的許用值 此管不是薄壁圓管(a)(b)(c)由此得M的許用值為可見，扭力偶矩M的許用值為4-13 圖示階梯形軸，由AB與BC兩段等截面圓軸組成，并承受集度為m 的均勻分布的扭力偶矩作用。為使軸的重量最輕，試確定AB與BC段的長度l i與l 2以及直徑di與cb。已知軸總長為丨，許用切應(yīng)力為題4-13圖解：1.軸的強度條件在截面A處的扭矩最大，其值為由該截面的扭轉(zhuǎn)強度條件得.3 16mlCi) nTBC段上的最大扭矩在截面 B處，其值為由該截面的扭轉(zhuǎn)強度條件得2.最輕重量設(shè)計軸的總體積為根據(jù)極值條件

39、得由此得丨2 #)3/2l ： 0.4651 5從而得h =丨 _丨2 =1 _(3)3/2丨：0535116m 1/3 11/3/3i/2 16mld2=() I2 =( ) 3 、： 0.775d1(d)n5 V nt該軸取式(a)(d)所給尺寸，可使軸的體積最小，重量自然也最輕。4-14 一圓柱形密圈螺旋彈簧，承受軸向壓縮載荷 F二1kN作用。設(shè)彈 簧的平均直徑 D= 40mm,彈簧絲的直徑d = 7mm,許用切應(yīng)力.二480MPa，試 校核彈簧的強度。解：由于故需考慮曲率的影響，此時，結(jié)論：.max ：，該彈簧滿足強度要求。4-20 圖示圓錐形薄壁軸 AB兩端承受扭力偶矩 M作用。設(shè)壁

40、厚為？，橫 截面A與B的平均直徑分別為dA與dB，軸長為l，切變模量為 G試證明截面A 和B間的扭轉(zhuǎn)角為題4-20圖證明：自左端A向右取坐標x，軸在x處的平均半徑為式中，截面x的極慣性矩為依據(jù)得截面A和B間的扭轉(zhuǎn)角為4-21圖示兩端固定的圓截面軸，承受扭力偶矩作用。試求支反力偶矩。設(shè)扭轉(zhuǎn)剛度為已知常數(shù)。(a)解：此為靜不定軸，但有對稱條件可以利用M B，示如圖(a)MaM (2a).MB(3a)GlpGIpGl(b)設(shè)A與B端的支反力偶矩分別為 Ma和Mb，它們的轉(zhuǎn)向與扭力偶矩 M相反由于左右對稱，故知由Mx =0可得即(b)解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩 4-21b。圖

41、4-21b變形協(xié)調(diào)條件為B =0利用疊加法，得將式(b)代入式(a)，可得進而求得MlM (轉(zhuǎn)向與Mb相反)(c) 解：此為靜不定軸，與(a)類似，利用左右對稱條件，容易得到Ma和 Mb的轉(zhuǎn)向與m相反。(d) 解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩Mb，從變形趨勢不難判斷，Mb的轉(zhuǎn)向與m相反B =0變形協(xié)調(diào)條件為(c)利用疊加法，得到(X從左端向右取)：bBmb,mbGl pM B(2a) ma2 2M BaGlp 2Glp Glp(d)將式(d)代入式(c)，可得進而求得Ma的轉(zhuǎn)向亦與m相反。4-22 圖示軸，承受扭力偶矩 M=400N?m與M=600N?m乍用。已知許用切 應(yīng)力

42、.=40MPa,單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角訶=0.25( / m,切變模量G= 80GPa 試確定軸徑。題4-22圖解：1.內(nèi)力分析此為靜不定軸，設(shè)B端支反力偶矩為mb，該軸的相當系統(tǒng)示如圖4-22a圖 4-22利用疊加法，得將其代入變形協(xié)調(diào)條件：B=0，得該軸的扭矩圖示如圖 4-22b。2. 由扭轉(zhuǎn)強度條件求d由扭矩圖易見，將其代入扭轉(zhuǎn)強度條件，由此得3. 由扭轉(zhuǎn)剛度條件求d將最大扭矩值代入結(jié)論：最后確定該軸的直徑 d _57.7mm4-23 圖示兩端固定階梯形圓軸 AB承受扭力偶矩M作用 應(yīng)力為:，為使軸的重量最輕，試確定軸徑di與d2。題4-23圖解：1.求解靜不定設(shè)A與B端的支反力偶矩分別為

43、 M與M,則軸的平衡方程為 Mx =0, Ma M b -M =0AC與 CB段的扭矩分別為T|=Ma ，_ -M b代入式（a），得h -T2 - M =0設(shè)AC與CB段的扭轉(zhuǎn)角分別為：AC與:CB,則變形協(xié)調(diào)條件為:ACCB =0利用扭轉(zhuǎn)角與扭矩間的物理關(guān)系，分別有ACTaGl piCB2T2aGl p2代入式（c），得補充方程為Ti 2 中 T2 =0Vd2 ?最后，聯(lián)立求解平衡方程（b）與補充方程（d），得42d：Md4 2d：d：Md； 2d：已知許用切(a)(b)(c)(d)(e)2.最輕重量設(shè)計從強度方面考慮，要使軸的重量最輕，應(yīng)使 AC與CB段的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的 數(shù)值相等，且當

44、扭力偶矩 M作用時，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力均等于許用切應(yīng)力，即要 求 由此得 將式(e)代入上式，得并從而得T2 二8M根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件，于是得軸的直徑為4-24 圖示二平行圓軸，通過剛性搖臂承受載荷 F作用。已知載荷F=750N,軸1和軸2的直徑分別為di=12mm和d2=15mm軸長均為丨=500mm搖臂長度a=300mm切變模量 G = 80GPa，試求軸端的扭轉(zhuǎn)角。題4-24圖解：這是一度靜不定問題。變形協(xié)調(diào)條件為4 = 4 或 V; 2(a)這里，：和：分別為剛性搖臂1和2在接觸點處的豎向位移。設(shè)二搖臂間的接觸力為F2，則軸1和2承受的扭矩分別為h 二 F(|)-F2a，T2 二 F?a

45、(b)物理關(guān)系為(c)13，2=衛(wèi)一GIpiGb將式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得由此得4-26 如圖所示，圓軸 AB與套管CD借剛性突緣E焊接成一體，并在突 緣E承受扭力偶矩 M作用。圓軸的直徑d=38mm許用切應(yīng)力=80MPa,切變 模量G=80GPa套管的外徑 D = 76mm壁厚6 = 6mm許用切應(yīng)力“=40MPa，切變模量G = 40GPa。試求扭力偶矩 M的許用值。題4-26圖解：1.解靜不定此為靜不定問題。靜力學關(guān)系和變形協(xié)調(diào)條件分別為2(a) (b)物理關(guān)系為(c)“1G1IP1將式(c)代入式(b)，并注意到得G1I p1l22d42G2Ip2l1T2=DT3T2

46、214 384T4 38廠T2=0.1676T23 764(1 -0.84214)(d)將方程(a)與(d)聯(lián)解，得2. 由圓軸的強度條件定M的許用值由此得扭力偶據(jù)的許用值為3. 由套管的強度條件定M的許用值由此得扭力偶據(jù)的許用值為結(jié)論：扭力偶矩的許用值為4-27 圖示組合軸，由圓截面鋼軸與銅圓管并借兩端剛性平板連接成一 體，并承受扭力偶矩 M=100N- m作用。試校核其強度。設(shè)鋼與銅的許用切應(yīng)力 分別為:J=80MPa與:J=20MPa,切變模量分別為 G=80GPa與G=40GPa試校核 組合軸強度。題4-27圖解：1.求解靜不定如圖b所示，在鋼軸與剛性平板交接處（即橫截面B）,假想地將

47、組合軸切幵， 并設(shè)鋼軸與銅管的扭矩分別為 Ts與Tc,則由平衡方程-M0可知，Ts 二兀（a）兩個未知扭力矩，一個平衡方程，故為一度靜不定問題。在橫截面B處，鋼軸與銅管的角位移相同，即s= c(b)設(shè)軸段AB的長度為丨，則 將上述關(guān)系式代入式（b），并注意到G/G=2,得補充方程為(c)Ts(M -2TC)I psI pc聯(lián)立求解平衡方程a）與補充方程（c），于是得IpsM(d)Ts =Tr礦pcps2.強度校核將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式（d），得對于鋼軸， 對于銅管,4-28 將截面尺寸分別為 100mm 90mm與 90mnX 80mm的兩鋼管相套合，并在內(nèi)管兩端施加扭力偶矩 M0=2kN- m后，

48、將其兩端與外管相焊接。試問在去掉扭力偶矩M后，內(nèi)、外管橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。解：1.求解靜不定此為靜不定問題。在內(nèi)管兩端施加 Mo后，產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角為Molcp0 GIpi去掉M。后，有靜力學關(guān)系T =Te幾何關(guān)系為=0物理關(guān)系為TelGl pe(a)(b)(c)(d)將式（d）和式代入式（c），得 或?qū)懗?由此得Te 上（M。-Ti） =1.395（M -TJ I pi聯(lián)立求解方程（e）與（b），得2.計算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力內(nèi)、外管橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分別為4-29 圖示二軸，用突緣與螺栓相連接，各螺栓的材料、直徑相同，并均勻地排列在直徑為 D= 100mm勺圓周上，突緣的厚度為？=10m

49、m軸所承受的扭力偶矩為 M=5.0kN m，螺栓的許用切應(yīng)力：=100MPa,許用擠壓應(yīng)力 :bs=300MPa試確定螺栓的直徑 do題4-29圖解：1.求每個螺栓所受的剪力由得2.由螺栓的剪切強度條件求 d由此得3. 由螺栓的擠壓強度條件求d由此得結(jié)論：最后確定螺栓的直徑 d _14.57mm。4-30圖示二軸，用突緣與螺栓相連接，其中六個螺栓均勻排列在直徑為D的圓周上，另外四個螺栓則均勻排列在直徑為D的圓周上。設(shè)扭力偶矩為 M各螺栓的材料相同、直徑均為 d，試計算螺栓剪切面上的切應(yīng)力。題4-30圖解：突緣剛度遠大于螺栓剛度，因而可將突緣視為剛體。于是可以認為：螺栓i剪切面上的平均切應(yīng)變：i

50、與該截面的形心至旋轉(zhuǎn)中心 O的距離ri成正比， 即式中，k為比例常數(shù)。利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切應(yīng)力為 而剪力則為最后，根據(jù)平衡方程于是得外圈與內(nèi)圈螺栓剪切面上得切應(yīng)力分別為4-31圖a所示托架，承受鉛垂載荷 F=9kN作用。鉚釘材料均相同，許用 切應(yīng)力?=140MPa,直徑均為d=10mm試校核鉚釘?shù)募羟袕姸?。題4-31圖解：由于鉚釘均勻排列，而且直徑相同，所以，鉚釘群剪切面的形心C,位于鉚釘2與鉚釘3間的中點處（圖b）。將載荷平移至形心 C,得集中力F與矩 為Fl的附加力偶。在通過形心C的集中力F作用下，各鉚釘剪切面上的切應(yīng)力相等，其值均為 在附加力偶作用下，鉚釘 1與4剪切面

51、上的切應(yīng)力最大，其值均為罟（a）1 p由圖中可以看出，片=r4 = 60 10， r2 = r3 = 20 10所以，代入式（a），得將上述兩種切應(yīng)力疊加，即得鉚釘 1與4的總切應(yīng)力即最大切應(yīng)力為4-34 圖示半橢圓形閉口薄壁桿，a=200mm b=160mm E=3mm 62= 4mm T=6 kN m,試求最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。解：截面中心線所圍面積為由此得于是得最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為4-35長度為丨的薄壁管，兩端承受矩為 m的扭力偶作用。薄壁管的橫截面如圖所示，平均半徑為 兄，上、下半部由兩種不同材料制成，切變模量分別 為G與G2，厚度分別為?與，且？i去，試計算管內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，以及管端 兩橫

52、截面間的扭轉(zhuǎn)角：。題4-35圖解：1.扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計算閉口薄壁管扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式為現(xiàn)在所以，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為2. 扭轉(zhuǎn)變形計算用相距dx的兩個橫截面，與夾角為d :的兩個徑向縱截面，從管的上部切取一 微體，其應(yīng)變能為由此得整個上半圓管的應(yīng)變能為同理得整個下半圓管的應(yīng)變能為根據(jù)能量守恒定律，于是得4-36 圖示三種截面形狀的閉口薄壁桿，若截面中心線的長度、壁厚、 桿長、材料以及所受扭矩均相同，試計算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力之比和扭轉(zhuǎn)角之比。解：由于三者中心線的長度相同，故有由此得據(jù)此可求得長方形、正方形及圓形薄壁截面的Q，其值依次為依據(jù)可得三種截面薄壁桿的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力之比為依據(jù)可得三種截面薄壁桿的扭轉(zhuǎn)角之比為結(jié)果表明：在題設(shè)條件下，圓形截面薄壁桿的扭轉(zhuǎn)強度及扭轉(zhuǎn)剛度