材料成形計(jì)算機(jī)模擬第二章

1、材料成形計(jì)算機(jī)模擬第二章材料成形計(jì)算機(jī)模擬-第二章主要內(nèi)容 2-1 彈性力學(xué)的基本方程彈性力學(xué)的基本方程 2-2 彈性力學(xué)平面問(wèn)題的有限元列式彈性力學(xué)平面問(wèn)題的有限元列式 4節(jié)點(diǎn)矩形單元節(jié)點(diǎn)矩形單元 2-3 軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 2-4 三維問(wèn)題三維問(wèn)題單單 元元 分分 析析 的的 內(nèi)內(nèi) 容容節(jié)點(diǎn)位移(1)單元內(nèi)部各點(diǎn)位移單元應(yīng)變單元應(yīng)力(2)(3)節(jié)點(diǎn)力(4)位移協(xié)調(diào)模式幾何方程物理方程平衡方程邊界條件單元分析單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?2-2 彈性力學(xué)平面問(wèn)題的彈性力學(xué)平面問(wèn)題的有限元列式有限元列式 八、八、4節(jié)點(diǎn)矩形單元節(jié)點(diǎn)矩形單元 矩形單元采用比常應(yīng)變?nèi)切螁卧螖?shù)矩形單元采用比常應(yīng)變?nèi)?/p>

2、角形單元次數(shù)更高的位移模式，故可以更好地反映彈更高的位移模式，故可以更好地反映彈性體中的位移狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)。性體中的位移狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)。 xyyxvxyyxu87654321該單元的位移模式該單元的位移模式這種單元的位移模式是完備的和協(xié)調(diào)的，滿(mǎn)足解的收斂條件，因此4節(jié)點(diǎn)矩形單元是協(xié)調(diào)單元。將4個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)和位移代入上式可求的18引入一個(gè)局部坐標(biāo)系、，局部坐標(biāo)的原點(diǎn)取在矩形的形心， 和軸分別與整體坐標(biāo)軸x和y平行，其坐標(biāo)變換的關(guān)系為00 xxayyb0123401234()/2()/2()/2()/2xxxxxyyyyy式中1 12233441 1223 344uN uN uN uN uvN v

3、N vN vN v用節(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移模式可在此局部坐標(biāo)系中表達(dá)為1234(1)(1)/4(1)(1)/4(1)(1)/4(1)(1)/4NNNN其中4個(gè)角點(diǎn)的自然坐標(biāo)分別是（-1，-1），（1，-1），（1，1），（-1，1） 0000,(1,2,3,4)1(1)(1)(1,2,3,4)4iiiiNieeeeCCuS uB單元應(yīng)力為單元應(yīng)變?yōu)閑eLNuBu 4節(jié)點(diǎn)矩形單元的位移模式比常應(yīng)變?nèi)枪?jié)點(diǎn)矩形單元的位移模式比常應(yīng)變?nèi)切螁卧胁捎玫木€(xiàn)性模式增添了形單元中采用的線(xiàn)性模式增添了xy項(xiàng)，項(xiàng)，所以矩形單元內(nèi)的應(yīng)變分量、應(yīng)力分量所以矩形單元內(nèi)的應(yīng)變分量、應(yīng)力分量都不是常量，而是沿著都不是常

4、量，而是沿著x及及y方向呈線(xiàn)性方向呈線(xiàn)性變化。因此，在彈性體中采用相同數(shù)目變化。因此，在彈性體中采用相同數(shù)目節(jié)點(diǎn)時(shí)，矩形單元的精度要比常應(yīng)變?nèi)?jié)點(diǎn)時(shí)，矩形單元的精度要比常應(yīng)變?nèi)切螁卧?。角形單元高?但是，矩形單元亦有明顯的缺點(diǎn)，一是不能適應(yīng)斜交邊界和曲線(xiàn)邊界，二是不便于對(duì)不同部位采用不同大小的單元，因此直接應(yīng)用受到限制。 2-3 軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 許多機(jī)械零件和結(jié)構(gòu)的幾何形狀、約束條件以及作用的載荷都對(duì)稱(chēng)于某一對(duì)稱(chēng)軸，在這種條件下的物體中的位移、應(yīng)變和應(yīng)力也對(duì)稱(chēng)于此軸。這種問(wèn)題稱(chēng)為軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題。 應(yīng)力、應(yīng)變都與無(wú)關(guān)，僅是坐標(biāo)r和z的函數(shù)。沿方向的位移為0，因此軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題可作為二維問(wèn)題處理。 對(duì)軸對(duì)

5、稱(chēng)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算時(shí)，只需取出一個(gè)截面進(jìn)行網(wǎng)格劃分和分析，但應(yīng)注意到單元是圓環(huán)狀的，所有的結(jié)點(diǎn)載荷都應(yīng)理解為作用在單元結(jié)點(diǎn)所在的圓周上。 本節(jié)主要以3節(jié)點(diǎn)三角形軸對(duì)稱(chēng)環(huán)狀單元為例進(jìn)行討論。它具有與平面三角形單元同樣的特點(diǎn)。 在軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中，通常采用圓柱坐標(biāo)（r，z）。以對(duì)稱(chēng)軸作為z軸，所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移都與方向無(wú)關(guān)，只是r和z的函數(shù)。任一點(diǎn)的位移只有兩個(gè)方向的分量，即沿r方向的徑向位移u和沿z方向的位移w。由于軸對(duì)稱(chēng)，方向的位移v等于零，因此軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題是二維問(wèn)題。 離散軸對(duì)稱(chēng)物體時(shí)，采用的單元是一些圓環(huán)，各單元在rz平面內(nèi)形成網(wǎng)格。 一、3節(jié)點(diǎn)三角形軸對(duì)稱(chēng)單元的插值函數(shù)及應(yīng)力應(yīng)變矩陣（一）形函數(shù)

6、（一）形函數(shù) 子午面內(nèi)的環(huán)單元與前面討論過(guò)的平面問(wèn)題3節(jié)點(diǎn)三角形是一樣的，它們的形函數(shù)也完全一樣。形函數(shù)是用單元位移分量來(lái)描述位移函數(shù)的插值函數(shù)。形函數(shù)是用單元位移分量來(lái)描述位移函數(shù)的插值函數(shù)。i ijjm mi ijjm muNuNuN uvNvN vN v1()2iiiiNabx cyA(, , )i j m其中 （二）單元應(yīng)變和應(yīng)力（二）單元應(yīng)變和應(yīng)力 將位移插值函數(shù)代入軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的幾何方程，得到單元應(yīng)變：(2)()()TTeerzrzrzijmuuuwuBuBBBurzrzr其中001( , ,)02iiiiiibci j mfAcbB( , ,)iiiiac zfbi j mrr由上

7、式可見(jiàn)，應(yīng)變分量r、z、rz都是常量，環(huán)向應(yīng)變不是常量。單元應(yīng)力： ()()TeeeeerzrzijmCC BuSuSSSu101110(1)1(1)(1 2 )101 22(1)eEC對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的彈性矩陣為由于不是常量，所以單元中除切應(yīng)力rz外其它應(yīng)力分量也不是常量。 二、3節(jié)點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)單元的單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃Ч?jié)點(diǎn)載荷eeepTeeTTTcVVSB C BdVuN bdVN pdSN PeTeeVB C BdVKeTebVN bdVP令epTesSN pdSPTeccN PPeeeebscPPPP將軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的N、B、Ce和dV=rddrdz代入上式，即可求得軸對(duì)稱(chēng)單元的單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃?/p>

8、節(jié)點(diǎn)載荷 為了簡(jiǎn)化計(jì)算和消除在軸對(duì)稱(chēng)上r0對(duì)積分所帶來(lái)的麻煩，將積分式中的自變量r、z用單元截面形心處的坐標(biāo)來(lái)近似。)(31)(31mjimjizzzzzrrrrr),(mjirzcbraffiiiii這樣(3-56)就近似為 作了這樣的近似后，應(yīng)變矩陣B和應(yīng)力矩陣S都成了常量陣，簡(jiǎn)化了計(jì)算。 在軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題中，對(duì)于單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃Ч?jié)點(diǎn)載荷向量采用上述近似積分方法，就位移和應(yīng)力而言，其精度是能夠滿(mǎn)足工程計(jì)算要求的。 2-4 三維問(wèn)題 一、常應(yīng)變四面體單元 二、六面體單元 一、常應(yīng)變四面體單元 （一）位移函數(shù)（一）位移函數(shù) 四面體單元以4個(gè)角點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)。每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)自由度，一個(gè)單元共有12個(gè)自由

9、度。()()TeeijmluuvwNuININININ u其中I為三階單位矩陣。 ()eTiiijjjmmmllluuvwuvwuvwuvw1()6iiiiiNab xc yd zV( , , )i j m l123456789101112uxyzvxyzwxyz位移函數(shù)為整理后可得111( , , )111111jjjimmmllljjimmlljjimmlljjimmllxyzaxyzxyzyzbyzyzi j m lyzcyzyzyzdyzyz V是四面體ijml的體積。為了使四面體的體積不為負(fù)值，單元節(jié)點(diǎn)編號(hào) 必須依照一定的順序。, ,i j m l111161iiijjjmmmlll

10、xyzxyzVxyzxyz設(shè)P(x，y，z)為四面體中任一點(diǎn)，記四面體jmlP的體積為Vi，則 111161jjjimmmlllxyzxyzVxyzxyz上式按第4列展開(kāi)得1()6iiiiiVab xc yd z 定義四面體單元中節(jié)點(diǎn)i的體積坐標(biāo)為 iiVLV1()6iiiiiiiVLab xc yd zNVV與3節(jié)點(diǎn)三角形單元的面積坐標(biāo)相對(duì)應(yīng),這里形函數(shù),ijmlN NNN即是四面體單元的體積坐標(biāo)。ijjjjijjjizyxNzyxL),(),(由體積坐標(biāo)定義可知又因1jimlijmlVVVVLLLLVVVVijmlVVVVV由于位移函數(shù)是線(xiàn)性的，相鄰單元交界面上的位移由該界面上三個(gè)節(jié)點(diǎn)位移

11、所決定，因此是連續(xù)的，所以常應(yīng)變四邊形單元是協(xié)調(diào)元。 （二）應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣（二）應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣 將三維問(wèn)題的應(yīng)變分量寫(xiě)成向量的形式為將三維問(wèn)題的應(yīng)變分量寫(xiě)成向量的形式為(222)()()TTxyzxyyzzxeeijmluvwuvvwwuxyzyxzyxzBuBBBB u式中00010006000rrrTrrrrrrrbcdBcbdVdcb應(yīng)變矩陣Br的元素均為常數(shù),故四面體單元是一種常應(yīng)變單元。 單元應(yīng)力為eeeeCC BuSu平面應(yīng)變問(wèn)題和軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的彈性矩陣與三維問(wèn)題彈性矩陣的對(duì)應(yīng)元素是相同。100011100011000(1)1 200(1)(1 2 )2(1)1 202(1)1 22(1)eEC對(duì)稱(chēng) （三）單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃Ч?jié)點(diǎn)載荷（三）單元?jiǎng)偠染仃嚭偷刃Ч?jié)點(diǎn)載荷 四面體單元的剛度矩陣和等效節(jié)點(diǎn)載荷可利用式（3-31）求得，對(duì)于三維問(wèn)題，dV=dxdydz。其中應(yīng)變矩陣B B為常數(shù)矩陣，可提到積分號(hào)外。 四面體單元優(yōu)點(diǎn)：1）適應(yīng)多種復(fù)雜邊界形狀；2）容易實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格密度的變化；3）有利于對(duì)不規(guī)則三維空間進(jìn)行全自動(dòng)網(wǎng)格剖分。因此得到廣泛應(yīng)用。 缺點(diǎn)：四面體的拼合較復(fù)雜，劃分時(shí)容易出錯(cuò)，不容易直觀地理解。二、六面體單元二、六面體單元 8節(jié)點(diǎn)六面體單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)自由度，一個(gè)單元共有24個(gè)自由度。插值多項(xiàng)式中包括如下各項(xiàng)： 以