二次函數(shù)與等腰三角形、直角三角形的綜合

1、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用一、典例精析考點(diǎn)一：二次函數(shù)與方程1.（2011廣東）已知拋物線與x軸有交點(diǎn)(1)求c的取值范圍；(2)試確定直線ycx+l經(jīng)過(guò)的象限，并說(shuō)明理由解：（1）拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn) 0，即12c0 解得c(2)c 直線y=x1隨x的增大而增大，b=1直線y=x1經(jīng)過(guò)第一、二、三象限2.(2011南京)已知函數(shù)y=mx26x1（m是常數(shù)）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)y軸上的一個(gè)定點(diǎn)；若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的值解：當(dāng)x=0時(shí)，所以不論為何值，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn)（0，1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程有兩

2、個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以， 綜上，若函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為0或9考點(diǎn)二：二次函數(shù)與最大問(wèn)題3、如圖，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn).（1）試求此二次函數(shù)的解析式；（2）試證明：（其中是原點(diǎn)）；（3）若是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），過(guò)作軸的平行線，分別交此二次函數(shù)圖像及軸于、兩點(diǎn)，試問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）點(diǎn)與在二次函數(shù)圖像上，解得，二次函數(shù)解析式為.（2）過(guò)作軸于點(diǎn)，由（1）得，則在中，又在中， ，.（3）由與，可得直線的解析式為， 設(shè)，則，.當(dāng)，解得 （舍去），.當(dāng)，解得 （舍去），.綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)，它們

3、是與.4.（2011安順）如圖，拋物線y=x2+bx2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（一1，0）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；判斷ABC的形狀，證明你的結(jié)論；點(diǎn)M(m，0)是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)CM+DM的值最小時(shí)，求m的值解：（1）b = 解析式y(tǒng)=x2-x-2. 頂點(diǎn)D (, -).（2）當(dāng)x = 0時(shí)y = -2, C（0，-2），OC = 2。B (4,0) OA = 1, OB = 4, AB = 5. ABC是直角三角形.（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，則C（0，2），OC=2，連接CD交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC + MD的值最小。解法一

4、：設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E.EDy軸, OCM=EDM,COM=DEM COMDEM. ，m =解法二：設(shè)直線CD的解析式為y = kx + n ,則，解得n = 2, . . 當(dāng)y = 0時(shí)， ， . .5、（09江津）如圖，拋物線與x軸交與A(1,0),B(- 3，0)兩點(diǎn)， （1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得QAC的周長(zhǎng)最小？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P，使PBC的面積最大？，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及PBC的面積最大值.若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1

5、)將A(1，0)，B(3，0)代中得 拋物線解析式為： (2)存在 理由如下：由題知A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng) 直線BC與的交點(diǎn)即為Q點(diǎn)， 此時(shí)AQC周長(zhǎng)最小 C的坐標(biāo)為：(0，3) 直線BC解析式為： Q點(diǎn)坐標(biāo)即為的解 Q(1，2)（3）答：存在理由如下：設(shè)P點(diǎn) 若有最大值，則就最大，當(dāng)時(shí)，最大值最大 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為6（2010常德）如圖，已知拋物線與軸交于A (4,0) 和B(1,0)兩點(diǎn)，與軸交于C點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）設(shè)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，作EF/AC交BC于F，連接CE，當(dāng)CEF的面積是BEF面積的2倍時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo);xyOBCA（3）若P為拋物線上A、C兩點(diǎn)

6、間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作軸的平行線，交AC于Q，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PQ的值最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)解：（1）故所求二次函數(shù)的解析式為（2）SCEF=2 SBEF, EF/AC, ,BEFBAC, 得E點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0).（3）的解析式為若設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)所作軸的平行線與直線的交點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（則有：即當(dāng)時(shí)，線段取大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）考點(diǎn)三：二次函數(shù)與等腰三角形、直角三角形7.（2011湘潭）如圖，直線交軸于A點(diǎn)，交軸于B點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線交軸于另一點(diǎn)C（3,0）. 求拋物線的解析式; 在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符OCBA合

7、條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3（2）y=-x2+2x+3= ，該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，m），則，又.當(dāng)AB=AQ時(shí)， ，解得：，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）或（1，）；當(dāng)AB=BQ時(shí)，解得：，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（1，6）；當(dāng)AQ=BQ時(shí)，解得：，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是存在著點(diǎn)Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使ABQ是等腰三角形8（2010鄂州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，A（-1，0），B（0，2），一動(dòng)點(diǎn)P沿過(guò)B點(diǎn)且垂直于AB的射線BM運(yùn)動(dòng)，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，射線BM與x軸

8、交與點(diǎn)C（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（2）求過(guò)點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式（3）若P點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)也同時(shí)從C出發(fā)，以P點(diǎn)相同的速度沿x軸負(fù)方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，t秒后，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形（點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）求t的值（4）在（2）（3）的條件下，當(dāng)CQ=CP時(shí)，求直線OP與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)解：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0）；（2）y= x2+x+2（3）設(shè)P、Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則BP=t，CQ=t以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，可分三種情況討論若CQ=PC，如圖所示，則PC= CQ=BP=t有2t=BC=，t=若PQ=QC，如圖所示，過(guò)點(diǎn)Q作DQBC交

9、CB于點(diǎn)D，則有CD=PD由ABCQDC，可得出PD=CD=，解得t=若PQ=PC，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作PEAC交AC于點(diǎn)E，則EC=QE=PC，t=（-t），解得t=（4）當(dāng)CQ=PC時(shí)，由（3）知t=，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，1），直線OP的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，即x2-2x-4=0，解得x=1±，直線OP與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，）和（1-，）9、（2011潼南縣）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC是直角三角形，ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為D（1）求b，c的值；（2）點(diǎn)E是直角三角形ABC斜邊

10、AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：求以點(diǎn)E、B、F、D為頂點(diǎn)的四邊形的面積；在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由解：（1）由已知得：A（1，0），B（4，5），二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（4，5），&1b+c=0&16+4b+c=5，解得：b=2，c=3；（2）如圖：直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（4，5），直線AB的解析式為：y=x+1，二次函數(shù)y=x22x3，設(shè)點(diǎn)E（t，t+1），則

11、F（t，t22t3），EF=（t+1）（t22t3）=（t32）2+254，當(dāng)t=32時(shí)，EF的最大值為254，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（32，52）；（3）如圖：順次連接點(diǎn)E、B、F、D得四邊形EBFD可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)（32，154），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）S四邊形EBFD=SBEF+SDEF=12×254×（432）+12×254×（321）=758；如圖：）過(guò)點(diǎn)E作aEF交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（m，m22m3）則有：m22m2=52，解得：m1=2262，m2=2+262，P1（2262，52），P2（2+262，52），）過(guò)點(diǎn)F作bEF交拋物線于P3，設(shè)P3

12、（n，n22n3）則有：n22n2=154，解得：n1=12，n2=32（與點(diǎn)F重合，舍去），P3（12，154），綜上所述：所有點(diǎn)P的坐標(biāo)：P1（2262，52），P2（2+262，52），P3（12，154）能使EFP組成以EF為直角邊的直角三角形二、能力提升1（09深圳）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)C，使BOC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（4）如果點(diǎn)P是（2）中的拋

13、物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在x軸的下方，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)及PAB的最大面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由.解： B（1，）設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x+a)，代入點(diǎn)B（1, ），得，因此如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1，當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱(chēng)軸與線段AB的交點(diǎn)時(shí)，BOC的周長(zhǎng)最小.CBAOyx設(shè)直線AB為y=kx+b.所以，因此直線AB為，當(dāng)x=1時(shí)，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）.DBAOyxP如圖，過(guò)P作y軸的平行線交AB于D. 當(dāng)x=時(shí)，PAB的面積的最大值為，此時(shí).2、（2011菏澤）如圖，拋物線y=12x2+bx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（1，0）（1）求拋物線的

14、解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）判斷ABC的形狀，證明你的結(jié)論；（3）點(diǎn)M（m，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MC+MD的值最小時(shí)，求m的值解：（1）把點(diǎn)A（1，0）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=12x2+bx2，整理后解得b=32，所以拋物線的解析式為y=12x232x2（2分）頂點(diǎn)D（32，258）；（3分）（2）AB=5AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，AC2+BC2=AB2，ABC是直角三角形（6分）（3）作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，則C（0，2），OC=2連接CD交x軸于點(diǎn)M，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性及兩點(diǎn)之間線段最短可知，MC+MD的值最小設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，COMDE

15、MOMEM=OC'ED，m32m=2258，m=2441（10分）點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、直角三角形的性質(zhì)及判定、軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于求出函數(shù)表達(dá)式，做好輔助點(diǎn)，找對(duì)相似三角形3.（2010孝感）如圖（1），矩形ABCD的一邊BC在直角坐標(biāo)系中x軸上，折疊邊AD,使點(diǎn)D落在x軸上點(diǎn)F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（m,0），其中m0.（1）求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)（用含m的式子表示）； （2）連接OA，若OAF是等腰三角形，求m的值； （3）如圖（2），設(shè)拋物線y=a(xm6)2+h經(jīng)過(guò)A、E兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為M，連接AM，若O

16、AM=90°，求a、h、m的值. 解：（1）四邊形ABCD是矩形，AD=BC=10，AB=CD=8，D=DCB=ABC=90°.由折疊對(duì)稱(chēng)性：AF=AD=10，F(xiàn)E=DE.在RtABF中，BF=.FC=4.在RtECF中，42+（8-x）2=x2，解得x=5.CE=8-x=3.B（m，0）,E(m+10,3),F（m+6,0）.（2）分三種情形討論：若AO=AF，ABOF，OB=BF=6.m=6.若OF=AF，則m+6=10，解得m=4.若AO=OF，在RtAOB中，AO2=OB2+AB2=m2+64，（m+6）2= m2+64，解得m=.綜合得m=6或4或.（3）由（1）知A(m,8)，E(m+10,3).依題意，得，解得M（m+6，1）.設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交AD于G. G（m+6,8），AG=6，GM=8（1）=9.OAB+BAM=90°，BAM+MAG=90°， OAB=MAG.又ABO=MGA=90°， AOBAMG.，即. m=12.4（2011邵陽(yáng)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知點(diǎn)A(，0)，點(diǎn)C(0，3)，點(diǎn)B是x軸上一點(diǎn)(位于點(diǎn)A的右側(cè))，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1）求ACB的度數(shù)；（2）已知拋物線yax2bx3經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)