數(shù)論問題奇偶問題：練習題兩套含答案

1、數(shù)論問題奇偶問題：練習題兩套含答案奇偶問題練習題一1 .小華買了一本共有96張練習紙的練習本,并依次將它的各面編號即由第1面一直編到第192面.小麗從該練習本中撕下其中25張紙,并將寫在它們上面的50個編號相加.試問,小麗所加得的和數(shù)能否為2000?【分析】不可能.由于25個奇數(shù)相加的和是奇數(shù),25個偶數(shù)相加是偶數(shù),奇數(shù)加偶數(shù)=奇數(shù)2 .有98個孩子,每人胸前有一個號,號從1到98各不相同.試問：能否將這些孩子排成假設(shè)干排,使每排中都有一個孩子的號碼數(shù)等于同排中其余孩子號數(shù)的和？并說明理由.【分析】不可以.一名為98個數(shù)中有49個奇數(shù),奇數(shù)加偶數(shù)等于奇數(shù),奇數(shù)不是二的倍數(shù).3 .有20個1升的

2、容器,分別盛有1,2,3,20立方厘米水.允許由容器A向容器B倒進與B容器內(nèi)相同的水在A中的水不少于B中水的條件下.問：在假設(shè)干次倒水以后能否使其中11個容器中各有11立方厘米的水？【分析】不可能,由于兩個奇數(shù)相加等于偶數(shù),兩個偶數(shù)相加等于偶數(shù),11是奇數(shù),B是偶數(shù),偶數(shù)不等于奇數(shù).4 .一個俱樂部里的成員只有兩種人：一種是老實人,永遠說真話；一種是騙子,永遠說假話.某天俱樂部的全體成員圍坐成一圈,每個老實人兩旁都是騙子,每個騙子兩旁都是老實人.外來一位記者問俱樂部的成員張三：俱樂部里共有多少成員？張三答：共有45人.另一個成員李四說：張三是老實人.請判斷李四是老實人還是騙子？【分析】李四是騙

3、子,老實人和說謊的人的人數(shù)相等,可是45是個奇數(shù),所以張三是騙子5 .圍棋盤上有1919個交叉點,現(xiàn)在放滿了黑子與白子,且黑子與白子相間地放,并使黑子或白子的上、下、左、右的交叉點上放著白子或黑子.問：能否把黑子全移到原來的白子的位置上,而白子也全移到原來黑子的位置上？【分析】不可以,由于不是白字多黑字一個,就是黑子多白字一個,不可能相等.6 .某市五年級99名同學參加數(shù)學競賽,競賽題共30道,評分標準是根底分15分,答對一道加5分,不答記1分,答錯一道倒扣1分.問：所有參賽同學得分總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？【分析】奇數(shù),5*30+15=165165-6N-4M=奇數(shù)減去偶數(shù)=奇數(shù)99*奇數(shù)=奇數(shù).

4、7 .現(xiàn)有足夠多的蘋果、梨、桔子三種水果,最少要分成多少堆每堆都有蘋果、梨和桔子三種水果,才能保證找得到這樣的兩堆,把這兩堆合并后這三種水果的個數(shù)都是偶數(shù).分析與解：當每堆都含有三種水果時,三種水果的奇偶情況如下表：可見,三種水果的奇偶情況共有8種可能,所以必須最少分成9堆,才能保證有兩堆的三種水果的奇偶性完全相同,把這兩堆合并后這三種水果的個數(shù)都是偶數(shù).說明：這里把分堆后三種水果的奇偶情況一一列舉出來,使問題一目了然.8 .有30枚2分硬幣和8枚5分硬幣,5角以內(nèi)共有49種不同的幣值,哪幾種幣值不能由上面38枚硬幣組成?解：當幣值為偶數(shù)時,可以用假設(shè)干枚2分硬幣組成；當幣值為奇數(shù)時,除1分和

5、3分這兩種幣值外,其余的都可以用1枚5分和假設(shè)干枚2分硬幣組成,所以5角以下的不同幣值,只有1分和3分這兩種幣值不能由題目給出的硬幣組成.說明：將全體整數(shù)分為奇數(shù)與偶數(shù)兩類,分而治之,逐一討論,是解決整數(shù)問題的常用方法.假設(shè)偶數(shù)用2k表示,奇數(shù)用2k+1表示,那么上述討論可用數(shù)學式子更為直觀地表示如下：當幣值為偶數(shù)時,2k說明可用假設(shè)干枚2分硬幣表示;當幣值為奇數(shù)時,2k+1=2(k-2)+5,其中k2.當k=0,1時,2k+1=1,3.1分和3分硬幣不能由2分和5分硬幣組成,而其他幣值均可由2分和5分硬幣組成.9 .設(shè)標有A,B,C,D,E,F,G的7盞燈順次排成一行,每盞燈安裝一個開關(guān).現(xiàn)

6、在A,C,D,G這4盞燈亮著,其余3盞燈沒亮.小華從燈A開始順次拉動開關(guān),即從A到G,再從A開始順次拉動開關(guān),他這樣拉動了999次開關(guān)后,哪些燈亮著,哪些燈沒亮？解：一盞燈的開關(guān)被拉動奇數(shù)次后,將改變原來的狀態(tài),即亮的變成熄的,熄的變成亮的；而一盞燈的開關(guān)被拉動偶數(shù)次后,不改變原來的狀態(tài).由于999=7142+5因此,燈A,B,C,D,E各被拉動143次開關(guān),燈F,G各被拉動142次開關(guān).所以,當小華拉動999次后B,E,G亮,而A,C,D,F熄.10 .桌上放有77枚正面朝下的硬幣,第1次翻動77枚,第2次翻動其中的76枚,第3次翻動其中的75枚第77次翻動其中的1枚.按這樣的方法翻動硬幣,

7、能否使桌上所有的77枚硬幣都正面朝上？說明你的理由.分析：對每一枚硬幣來說,只要翻動奇數(shù)次,就可使原先朝下的一面朝上.這一事實,對我們解決這個問題起著關(guān)鍵性作用.解：按規(guī)定的翻動,共翻動1+2+77=7739次,平均每枚硬幣翻動了39次,這是奇數(shù).因此,對每一枚硬幣來說,都可以使原先朝下的一面翻朝上.注意到7739=77+(76+1)+(75+2)+(39+38),根據(jù)規(guī)定,可以設(shè)計如下的翻動方法：第1次翻動77枚,可以將每枚硬幣都翻動一次；第2次與第77次共翻動77枚,又可將每枚硬幣都翻動一次；同理,第3次與第76次,第4次與第75次第39次與第40次都可將每枚硬幣各翻動一次.這樣每枚硬幣都

8、翻動了39次,都由正面朝下變?yōu)檎娉?說明：1此題也可從簡單情形入手如9枚硬幣的情形,按規(guī)定的翻法翻動硬幣,從中獲得啟發(fā).2對有關(guān)正、反,開、關(guān)等實際問題通?？苫癁橛闷媾紨?shù)關(guān)系討論.11.在88的棋盤的左下角放有9枚棋子,組成一個33的正方形如左以下圖.規(guī)定每枚棋子可以跳過它身邊的另一枚棋子到一個空著的方格,即可以以它旁邊的棋子為中央作對稱運動,可以橫跳、豎跳或沿著斜線跳如右以下圖的1號棋子可以跳到2,3,4號位置c問：這些棋子能否跳到棋盤的右上角另一個33的正方形？解：自左下角起,每一個方格可以用一組數(shù)行標、列標來表示,自下而上第i行、自左而右第j列的方格記為i,j.問題的關(guān)鍵是考慮9枚棋

9、子所在方格的列標的和So一方面,每跳一次,S增加0或偶數(shù),因而S的奇偶性不變.另一方面,右上角9個方格的列標的和比左下角9個方格的列標之和大36+7+8-31+2+3=45,這是一個奇數(shù).綜合以上兩方面可知9枚棋子不能跳至右上角的那個33的正方形里.第二頁：奇偶問題練習題二奇偶問題練習題二1.以下每個算式中,最少有一個奇數(shù),一個偶數(shù),那么這12個整數(shù)中,至少有幾個偶數(shù)？2 .任意取出1234個連續(xù)自然數(shù),它們的總和是奇數(shù)還是偶數(shù)?3 .一串數(shù)排成一行,它們的規(guī)律是：前兩個數(shù)都是1,從第三個數(shù)開始,每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和.如下所示：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,試問：這串數(shù)的

10、前100個數(shù)包括第100個數(shù)中,有多少個偶數(shù)？4 .能不能將1010寫成10個連續(xù)自然數(shù)之和？如果能,把它寫出來；如果不能,說明理由.答案：1 .至少有6個偶數(shù).2 .奇數(shù).解：12342=617,所以在任取的1234個連續(xù)自然數(shù)中,奇數(shù)的個數(shù)是奇數(shù),奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù),所以它們的總和是奇數(shù).1.33。 提示：這串數(shù)排列的規(guī)律是以奇奇偶循環(huán)4 .不能.如果1010能表示成10個連續(xù)自然數(shù)之和,那么中間2個數(shù)的和應(yīng)當是10105=202.但中間2個數(shù)是連續(xù)自然數(shù),它們的和應(yīng)是奇數(shù),不能等于偶數(shù)202.所以,1010不能寫成10個連續(xù)自然數(shù)之和.5 .能否將1至25這25個自然數(shù)分成假設(shè)干組,使

11、得每一組中的最大數(shù)都等于組內(nèi)其余各數(shù)的和？6 .在象棋比賽中,勝者得1分,敗者扣1分,假設(shè)為平局,那么雙方各得0分.今有假設(shè)干個學生進行比賽,每兩人都賽一局.現(xiàn)知,其中有一位學生共得7分,另一位學生共得20分,試說明,在比賽過程中至少有過一次平局.7 .在黑板上寫上1,2,909,只要黑板上還有兩個或兩個以上的數(shù)就擦去其中的任意兩個數(shù)a,b,并寫上a-b其中ab.問：最后黑板上剩下的是奇數(shù)還是偶數(shù)？8 .設(shè)al,a2,a64是自然數(shù)1,2,64的任一排列,令b1=a1-a2,b2=a3-a4,b32=a63-a64;c1=b1-b2,c2=b3-b4,c16=b31-b32;d1=c1-c2,d2=c3-c4,d8=c15-c16;這樣一直做下去,最后得到的一個整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?答案：9 .不能.提示：仿例3.10 證：設(shè)得7分的學生勝了x1局,敗了y1局,得20分的學生勝了x2局,敗了y2局.由得分情況知：x1-y1=7,x2-y2=20.如果比賽過程中無平局出現(xiàn),那么由每人比賽的場次相同可得x1+y1=x2+y2,即x1+y1+x2+y2是偶數(shù).另一方面,由x1-y1=7知x1+y2為奇數(shù),由x2-y2=20知x2+y2為偶數(shù),推知x1+y1+x2+y2為奇數(shù).