北師大版數(shù)學(xué)必修二：2.3.3空間兩點間的距離公式ppt課件

1、-1-3.33.3空間兩點間的間隔公式空間兩點間的間隔公式1.長方體對角線長長方體對角線長普通地普通地,假設(shè)長方體的長、寬、高分別為假設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,那么對角線長那么對角線長做一做1一長方體的長、寬、高分別為3,4,5,那么該長方體的對角線長為.2.空間兩點間的間隔公式空間兩點間的間隔公式給出空間兩點給出空間兩點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),那么那么做一做2求以下兩點間的間隔.(1)A(1,-2,1),B(3,2,-1);(2)A(0,0,0),B(-7,3,11);(3)A(2,1,3),B(3,5,3).歸納總結(jié)空間中兩點間的間隔公式,是數(shù)軸上和平面

2、上兩點間的間隔公式的進一步推行,反之,它也適用于平面和數(shù)軸上兩點間的間隔的求解.設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),那么 ,當(dāng)兩點落在了坐標(biāo)平面內(nèi)或與坐標(biāo)平面平行的平面內(nèi)時,此公式可轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的兩點間的間隔公式,當(dāng)兩點落在坐標(biāo)軸上時,那么公式轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點間的間隔公式.思索辨析判別以下說法能否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“,錯誤的打“.(1) 的幾何意義是表示在空間直角坐標(biāo)系中,動點P(x,y,z)與原點O(0,0,0)之間的間隔.()(2)在坐標(biāo)平面xOy上,到點A(3,2,5),B(3,5,1)間隔相等的點有無數(shù)個. ()(3)以A(2,-3,5)和B(4,

3、1,-3)為直徑兩端點的球面方程為(x-3)2+(y+1)2+(z-1)2=1. ()答案:(1)(2)(3)探求一探求二探求三探求四 探求一求空間兩點間的間隔探求一求空間兩點間的間隔 【例1】直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,BCA=90,AA1=2,M,N分別是A1B1,A1A的中點,求|MN|.解:如圖,以C為原點,CA,CB,CC1所在直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.CA=CB=1,AA1=2,探求一探求二探求三探求四反思感悟在運用兩點間的間隔公式時,留意不要弄錯坐標(biāo)相減的順序,要記準(zhǔn)“同類相減,平方相加再開方這一規(guī)律.探求一探求二探求三探求四變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練

4、1如圖如圖,正方體的棱長為正方體的棱長為1,M是所在棱的中點是所在棱的中點,N是所在是所在棱的四分之一分點棱的四分之一分點,那么那么M,N之間的間隔為之間的間隔為()答案:B探求一探求二探求三探求四求空間中點的坐標(biāo)求空間中點的坐標(biāo)【例【例2】 知點知點P在在x軸上軸上,且它到點且它到點P1(0, ,3)的間隔是它到點的間隔是它到點P2(0,1,-1)的間隔的的間隔的2倍倍,求點求點P的坐標(biāo)的坐標(biāo).分析分析:設(shè)出點設(shè)出點P的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x,0,0),利用間隔公式建立關(guān)于利用間隔公式建立關(guān)于x的方程的方程,求求得得x的值的值,即得點即得點P的坐標(biāo)的坐標(biāo).解:由于點P在x軸上,設(shè)P(x,0,0).解

5、得x=1.所以點P的坐標(biāo)為(1,0,0)或(-1,0,0).探求一探求二探求三探求四反思感悟1.由空間兩點間的間隔求點的坐標(biāo)的方法:(1)假設(shè)知點到定點的間隔以及點在特殊位置,那么可直接設(shè)出點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求解點的坐標(biāo).(2)假設(shè)知一點到兩個定點的間隔相等,以及其他的一些條件,那么可列出關(guān)于點坐標(biāo)的方程進展求解.2.知點在坐標(biāo)軸上(或者在坐標(biāo)平面內(nèi)),又滿足某些條件,求該點的坐標(biāo)時,普通根據(jù)點所在的位置,設(shè)出點的坐標(biāo),再由知條件列出方程求解.在設(shè)點的坐標(biāo)時,要根據(jù)點的特征設(shè)參數(shù),這樣不但可以減少參數(shù),也能簡化計算.探求一探求二探求三探求四變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2在空間直角坐標(biāo)系中在空間直角坐

6、標(biāo)系中,知知A(3,1,1),B(-3,0,-2),試問在試問在y軸上能否存在點軸上能否存在點M,滿足滿足|MA|=|MB|?解:假設(shè)在y軸上存在點M,滿足|MA|=|MB|.由于點M在y軸上,所以可設(shè)為M(0,y,0).由|MA|=|MB|,解得y=-1,所以在y軸上存在點M(0,-1,0)滿足關(guān)系|MA|=|MB|. 探求一探求二探求三探求四空間兩點間間隔公式的綜合運用空間兩點間間隔公式的綜合運用【例【例3】 知三點知三點A,B,C的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為A(3,-2,-1),B(-1,-3,2),C(-5,-4,5),求證求證A,B,C三點共線三點共線.分析分析:要證明三點共線要證明三點

7、共線,只需證明兩條線段長的和等于第三條線段只需證明兩條線段長的和等于第三條線段的長即可的長即可.證明證明:利用空間兩點間的間隔公式利用空間兩點間的間隔公式,所以|AC|=|AB|+|BC|,故A,B,C三點共線.反思感悟證明空間三點共線的方法與證明平面三點共線的方法是一致的,因此完成此題的關(guān)鍵是正確了解題意,將三點共線轉(zhuǎn)化為計算三條線段的長度問題,看能否能得到兩條線段長的和等于第三條線段的長.探求一探求二探求三探求四變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3知知A(-1,1,2),B(4,-5,-6),C(7,6,8),試判別試判別ABC的外形的外形,并求該三角形的面積并求該三角形的面積.解:由兩點間的間隔公式得探求

8、一探求二探求三探求四求軌跡或軌跡方程求軌跡或軌跡方程【例【例4】 導(dǎo)學(xué)號導(dǎo)學(xué)號91134071平面上到坐標(biāo)原點的間隔為平面上到坐標(biāo)原點的間隔為1的點的軌跡的點的軌跡是以原點為圓心是以原點為圓心,以以1為半徑的圓為半徑的圓,其方程為其方程為x2+y2=1,那么在空間中那么在空間中,到坐標(biāo)原點的間隔為到坐標(biāo)原點的間隔為1的點的軌跡是什么的點的軌跡是什么?試寫出它的軌跡方程試寫出它的軌跡方程.分析分析:空間中坐標(biāo)原點的坐標(biāo)為空間中坐標(biāo)原點的坐標(biāo)為(0,0,0),空間中的動點可以設(shè)為空間中的動點可以設(shè)為(x,y,z),再利用它們之間的間隔為再利用它們之間的間隔為1即可求解即可求解.解:原點坐標(biāo)為(0,

9、0,0),設(shè)空間中的動點為(x,y,z).由于動點與原點之間的間隔為1,即x2+y2+z2=1.所以空間中到坐標(biāo)原點間隔為1的點的軌跡是以1為半徑,以原點為球心的球面,其方程為x2+y2+z2=1.探求一探求二探求三探求四反思感悟在空間直角坐標(biāo)系中求軌跡或軌跡方程的方法與在平面直角坐標(biāo)系中根本一樣,可以模擬在平面直角坐標(biāo)系中求軌跡或軌跡方程的普通方法來處理,即(1)建系:根據(jù)空間幾何體的構(gòu)造特點建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)設(shè)點:設(shè)出符合條件的空間中點的坐標(biāo),并取動點的坐標(biāo)(x,y,z)表示軌跡上恣意一點M的坐標(biāo),寫出符合條件的點的集合;(3)列式:利用公式將點的坐標(biāo)代入關(guān)系式,列出關(guān)于x,

10、y,z的方程或方程組;(4)化簡:把上述方程或方程組化簡為最簡方式,并留意x,y,z的取值范圍;(5)根據(jù)所得方程或方程組的特點,準(zhǔn)確指出方程或方程組所代表的點的軌跡是什么樣的幾何圖形,并留意軌跡的端點、邊境等細節(jié).探求一探求二探求三探求四變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4知點知點A(1,2,3)和和B(2,-1,4),求到這兩點間隔相等的點求到這兩點間隔相等的點M滿足的方程滿足的方程,并指出該方程表示什么圖形并指出該方程表示什么圖形.解:設(shè)M(x,y,z)為所求的到點A,B間隔相等的點,由于|AM|=|BM|,將等式兩邊平方并化簡得2x-6y+2z-7=0,這就是所求的方程,表示的圖形是經(jīng)過線段AB的中點,

11、且與線段AB所在直線垂直的平面.123451.點點B是點是點A(-1,2,3)在在yOz平面內(nèi)的投影平面內(nèi)的投影,那么那么|AB|為為 () 解析:B(0,2,3),|AB|=1.答案:C123452.假設(shè)點假設(shè)點A(3,-3,6),B(1,5,2),M(3,3,2),那么線段那么線段AB的中點的中點N到到M的間的間隔為隔為()A.5B.4C.3D.9解析:由知得N(2,1,4),答案:C123453.假設(shè)點假設(shè)點P(x,y,z)到到A(1,0,1),B(2,1,0)兩點的間隔相等兩點的間隔相等,那么那么x,y,z滿足滿足的關(guān)系式是的關(guān)系式是. 整理得2x+2y-2z-3=0.答案:2x+2y-2z-3=0123454.知正方體知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為的棱長為2,M是面是面ABCD的中心的中心,點點P在棱在棱C1D1上挪動上挪動,求求|MP|的最小值的最小值.解解:如圖如圖,以以A為坐標(biāo)原點為坐標(biāo)原點,AB,AD,AA1所在的直線為所在的直線為x軸、軸、y軸、軸、z軸軸建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系,那么由題意易得那么由題意易得M(1,1,0)