材料力學(xué)——扭轉(zhuǎn)桿件的強(qiáng)度與剛度計(jì)算

1、第5章板桿桿件的強(qiáng)度與剛度計(jì)算§s-i軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算§5-2軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算§5-3矩形截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)簡(jiǎn)介第5才以科桿伸的謖度與密度計(jì)算§5-1軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿橫截面應(yīng)力1.實(shí)驗(yàn)觀察橫截面變形后仍為平面;軸向無伸縮；縱向線變形后仍為平行。dx第5*收種樸件的強(qiáng)度與電度計(jì)算2.應(yīng)力公式推導(dǎo)變形幾何關(guān)套fGIFp心cp>_L'dw(2Vjvdx1V-1最外層的切應(yīng)變y=鱉dx距圓心為2任一點(diǎn)處的與該點(diǎn)m成正比。黑扭轉(zhuǎn)角沿長(zhǎng)度方向變回圓心的距離p化率。4第5才以林桿伸的覆度與制度計(jì)算物理關(guān)系一剪

2、切胡克定律=黑|當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)，切淄力與切應(yīng)變成正比關(guān)系。G材料的切變模量對(duì)于各向同性的線彈性材料，可以證明，三個(gè)材料常數(shù)之間有如下關(guān)系：G=2(1+v)第5才收*桿伸的強(qiáng)度與明度計(jì)算,I把7=送代入3Gl中，得第5才以林桿神的覆度與密度計(jì)算靜力學(xué)關(guān)系T=J4dA金夕=孚(L4clr令/小匕"04/p圓截面對(duì)圓心的極慣性矩A(p_Tdx=G/；代入物理關(guān)系式J=pG亙得:0/(lx7=G"J/(L4dxa"第5*h*桿伸的強(qiáng)度與明度計(jì)算,I橫截面上距圓心為p處任一點(diǎn)切應(yīng)力計(jì)算公式.公式討論：僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等圓截面直桿

3、。式中：T橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。夕一該點(diǎn)到圓心的距離。/一截面極慣性矩，純幾何量，無物理意義。g第5*亞科桿件的謖度與電度計(jì)算1p=JaPPA單位：nini49m4o盡管由實(shí)心圓截面桿推出，但同樣適用于空心截面桿，只是/p值不同。.對(duì)于實(shí)心圓截面:4=Lp2(iAD=J2p12p兀&p=«0.1D432第5*亞科桿件的謖度與電度計(jì)算h.對(duì)于空心圓截面:Ip=LP2dAD=1/p22p.7cdp2=-(D4-d4)32id)4D(l-a4)«0.1D71-a4)第5才以林樸神的謖度與密度計(jì)算應(yīng)力分布（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心裁面構(gòu)件：提

4、高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛.ii第5*桿件的強(qiáng)度與電度計(jì)算確定最大切應(yīng)力由j知：當(dāng)p=R=w，Jx、D六淮而令w需）。2Wp一扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mu?；騨N。 對(duì)于實(shí)心圓截面：M=Ip/R="3/16 對(duì)于空心圓截面：W1IJR=5（l-a4）/16第5才以林桿伸的覆度與明度計(jì)算三、薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力薄壁圓筒：壁厚645尺（尤為平均半徑）其扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力可按空心圓軸進(jìn)行計(jì)算，由于管壁較薄,切應(yīng)力可認(rèn)為沿壁厚均勻分布。由靜力關(guān)系得JjdA£0=rB=TA。一平均半徑所作圓的面積。U!、切應(yīng)力互等定理第5亞*桿伸的強(qiáng)度與明度計(jì)算,I&#

5、187;%=0tf(dxdz)dy=t(dydz)dx故z=d上式稱為切應(yīng)力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面匕;切應(yīng)力必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。該定理不僅對(duì)純剪應(yīng)力狀態(tài)成立，而且對(duì)非純剪應(yīng)力狀態(tài)也成立.M.4Qt15(b)第5才亞科樸鐘的謖度與制度計(jì)算五、扭轉(zhuǎn)圓軸的變形計(jì)算由公式知:<Lr11加,m一I相對(duì)扭轉(zhuǎn)角/為<p-的正負(fù)號(hào)與扭矩相同單位：radGI,一圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度當(dāng)用同一材料制成圓軸各段扭矩不同或各段直徑不同時(shí)，應(yīng)用上式分段計(jì)算各段扭轉(zhuǎn)角，然后按代數(shù)值相加。16第5亞科樸鐘的諼度與電度計(jì)算當(dāng)用同一

6、材料制成圓軸各段扭矩不同或各段直徑不同時(shí)，應(yīng)用上式分段計(jì)算各段扭轉(zhuǎn)角，然后按代數(shù)值相加。Pi第5亞科樸鐘的諼度與電度計(jì)算例51一鋼制圓軸受力如圖所示，其直徑D=100mm,解：作圓軸的扭矩圖,如圖所示。T圖18e5A.VmAC段為實(shí)心軸，CD段為空心軸，內(nèi)徑d=50mm。兩段的材料相同，其切變模量G=80GPa,試求；實(shí)心軸的最大切應(yīng)力和空心軸的最大、最小的切應(yīng)力；（2）D截面相對(duì)于A截面的扭轉(zhuǎn)角中和。第5才以科桿神的謖度與唱度計(jì)算計(jì)算各段的和1匕，對(duì)于AC段_3.14x(100xl0s/L3T32=9.82xl(r4m41八冠/河100x10廣1=T=16=16=l.96xlOT標(biāo)19*5&

7、gt;桿件的強(qiáng)度與明及計(jì)算對(duì)于CD段,a=，=0.5I,=-(l-a4)=9.«2xl0-6x(l-a54)=9.21xl(r6w4jitDS%,=-=-x(l-a4)=1.96xl(K71-<54)=1.84xl0aD216計(jì)算應(yīng)力實(shí)心軸的最大切應(yīng)力發(fā)生在BC段橫截面的周邊上5411110x10、1.96x10"7=51MP§5-2圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：=<M（稱為許用切應(yīng)力）對(duì)于等截面圓軸:I力可由實(shí)驗(yàn)確定，靜載時(shí)，力和材料的同之間有如下關(guān)系塑性材料口=（皿506）同脆性材料同=（0.81.0）同第5*桿伸的強(qiáng)度與電

8、度計(jì)算I強(qiáng)度計(jì)算三方面：實(shí)：6/16空:當(dāng)13)16校核強(qiáng)度：彳皿=耳不4力設(shè)計(jì)截面尺寸：也咒計(jì)算許可載荷：內(nèi)嚕"/刁例5-2功率為150kW,轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力句=30MPa,試校核其強(qiáng)度。解：求扭矩及扭矩圖BDs=135D2=750=701.55kN.m150x10,-2x3.14xlS4=1.55(kNin)例53如圖所示等截面?zhèn)鲃?dòng)軸上作用三個(gè)外力偶矩,McA=lkNmMcB=2kNinMcC=3kNm材料的許用切應(yīng)力H=60MPa。若軸的直徑D=60mm,校核該軸強(qiáng)度。若將實(shí)心軸改成a=d/O=0.916的空心軸，在相同的情況下，求空心軸的外徑

9、D及空心軸與實(shí)心軸的重量比。(a)解：作扭矩圖如圖所示。校核強(qiáng)度第5*桿伸的覆度與明度計(jì)算,IT16T=_JWOX_22一w,一m_16x(2x103)-3.14x(60xl0J/=47.2MPa<r=6(iMPa所以，實(shí)心軸強(qiáng)度滿足要求。第5才以科桿神的諼度與密度計(jì)算確定空心軸的外徑D依題意，實(shí)心軸的最大切應(yīng)力等于空心軸的最大切應(yīng)力。mar。=/D=協(xié)加ll-aV1-U916416x10-3比較兩軸的重量W；AD12(l-a2)(90x10"Xl-0.9162)(60x1(尸)=0.362所以，采用空心軸較為合理。第5*M種桿仲的謾度與電度計(jì)算,I二、單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角出0=(r

10、ad/m)dxGIG/反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為圓軸扭轉(zhuǎn)剛度。第5才以林樸神的謖度與出度計(jì)算三、剛度條件的稱為許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角。等截面圓軸7I43=呆4冏(加麗)G1,在工程上，習(xí)慣用(0/m)作為。的單位公為，。砌對(duì)于一般傳動(dòng)軸四=(0.51)°Im31第5*亞科樸鐘的謖度與制度計(jì)算剛度計(jì)算的三方面:校核剛度：設(shè)計(jì)截面尺寸:計(jì)算許可載荷:有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。例5-4某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速0=500min,輸入功率R=367.5kW,輸出功率分別P2=147kW及P3=220.5kW,已知：G=80GPa,t=70MPa,=1°/m,試確定:

11、A8段直徑&和8c段直徑d2?若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？由剛度條件得,WTI=>?32G6第5*桿伸的覆度與明度計(jì)算,I32T_132x7018x1807rG9V3.142x80xl09xl=85mm32T32x4221x180xG0V3,142x80xl09xl=74.5mm綜上：d1=85mm,d2=75mm全軸選同一直徑時(shí)d=dj=85mmh*桿件的強(qiáng)度與用及計(jì)算軸上的絕對(duì)值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng)該換位。換位后，軸的扭矩如圖所示，此時(shí)，軸的最大直徑才為75mm。T(kNm)2.807UTTrarnri1Tx4.221第5#標(biāo)科

12、桿鐘的謖度與電度計(jì)算例5-5長(zhǎng)為L(zhǎng)=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為a=0.8,G=80GPa,許用切應(yīng)力r=30MPa,試設(shè)計(jì)桿的外徑；若6=2o/m,試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。m20Nm/mJO解：設(shè)計(jì)桿的外徑TW之_閉W”a(1-4)016D>%產(chǎn)(1一。第5奉亞種樸鐘的謖度與電度計(jì)算32x40x18080xl(fxx0.(l226Vl-a«4)C工31804儂=#xnHXGIp7t=1.89<H所以，滿足剛度要求。右端面轉(zhuǎn)角為：丁r40-20x102口JoGIPJ。GIPGIP|0=0.033(弧度)軸直徑d=60mm,

13、長(zhǎng)，=2m,左端固定，右端有一直徑D=400mm的鼓輪。輪上繞以鋼繩,繩的端點(diǎn)B懸掛重物W,軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。繩,橫截面積A=/OOM,彈性模量E=200GPa,重量W=1AN。軸的切變模量G=80GPa,求軸內(nèi)最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力和重物下降的距離。Ohr=IV=1X10'X=200N-/w-22AT_16x200w,"萬(60x1()-4.72A/Ai八+177200x2x3280xl0,xx(60xl0-5)4=3.93xl(rsrarfAl業(yè)=(p、R.=3.93xl(r5x().2=7.86x1(廣in=0.786wmIxlO'xlO=0.5mm200xl09xl00

14、xl(r64=4/“+4=Q786+Q5=1.286加§5-3矩形截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時(shí)簡(jiǎn)介非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。第5*2*桿仲的超度號(hào)明次計(jì)算1、自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲不受限制,任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。（橫截面上只有切應(yīng)力）2、約束扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的翹曲受到限制,相鄰截面的翹曲程度不同。（橫截面既有切應(yīng)力，也有拉應(yīng)力）3、矩形桿橫截面上的切應(yīng)力:（1）切應(yīng)力分布如圖:（角點(diǎn)、形心、長(zhǎng)短邊中點(diǎn)）b注意！h"例5-6矩形截面等直鋼桿，其橫截面尺寸為：h=100mm,b=50mm,長(zhǎng)度L=2m,桿的兩端受扭轉(zhuǎn)力偶T=4000N-m的作用，鋼的G=80GPa,r=100M