根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的向量值求旋轉(zhuǎn)矩陣

1、根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的向量值求旋轉(zhuǎn)矩陣如果已知旋轉(zhuǎn)前后的一向量的變化，那么該如何求這個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣呢？本篇結(jié)合Rodriguesrotationformula,介紹一下該旋轉(zhuǎn)矩陣的求法。.旋轉(zhuǎn)角度已知旋轉(zhuǎn)前向量為P,旋轉(zhuǎn)后變?yōu)镼o由點(diǎn)積定義可知：P,Q-|P|Q|。6g可推出p,q之間的夾角為：IQ.旋轉(zhuǎn)軸由1中可知，旋轉(zhuǎn)角所在的平面為有P和Q所構(gòu)成的平面，那么旋轉(zhuǎn)軸必垂直該平面。假定旋轉(zhuǎn)前向量為a(a1,a2,a3),旋轉(zhuǎn)后向量為b(b1,b2,b3)。由叉乘定義得：.Iaxb+值也k+的%(-j)4-1瓦(-k)十叱%。+由+的瓦j+潛必-i)十為九修sb)i+(aj&)-aih)j+(。山上-的瓦)

2、k*.羅德里格旋轉(zhuǎn)公式(Rodriguesrotationformula)公式已知單位向量3=,將它旋轉(zhuǎn)。角。由羅德里格旋轉(zhuǎn)公式，可知對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣%電：R=/聲I+由sin。+而(1-8$fl+w；(1-cofl)口二3.1-coe例-w士號(hào)ina4in9+3,口-wk例3；sin&+g3,(1cos即cos+o?(I-os一城上sin日+s,u：(】-c町-3、sin0tiz(1-cosfl)3、sini?+5(1-cosS)cos5+u?(1-cos&)其中I是3x3的單位矩陣，由是叉乘中的反對(duì)稱矩陣r：0-嗎啊娟明0公式證明假設(shè)在坐標(biāo)系（x,y,z）中，向量v=ax+by+cz,v繞z

3、軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。角后得到新的向量v,根據(jù)2維（x,y）面上的旋轉(zhuǎn)公式可得:=cosflx+sill0yi三一sin0*4coos&y*推出：-cos3弟t-W-sin06x)-e.已知:vIv-zz=v=t(x+iy.zxv=c(Zxx)+exy)+七xz)=ayf將上式帶入的公式:V-8M(V工口十也將反替換掉，可得：v=v-sin8zXV十(cos11v1v-z1z)將上式中的叉乘表示為反對(duì)稱矩陣得：另外：I(v(v=一Xbyzx(fly-hx=zx(zx(jx4-6y+czl)=A2v,最終可以推出：yjJy-sinSr*Jv*(1-cosfl)V上式即為羅德里格旋轉(zhuǎn)公式。4.求旋轉(zhuǎn)矩陣根

4、據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)向量值，使用上面的方法，先求出旋轉(zhuǎn)角度和旋轉(zhuǎn)軸，然后用羅德里格旋轉(zhuǎn)公式即可求出對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣。C#的實(shí)現(xiàn)代碼如下：7voidCalculation(doublevectorBefore,doublevectorAfter)(doublerotationAxis;doublerotationAngle;double,rotationMatrix;rotationAxis=CrossProduct(vectorBefore,vectorAfter);rotationAngle=Math.Acos(DotProduct(vectorBefore,vectorAfter)/Normal

5、ize(vectorBefore)/Normalize(vectorAfter);rotationMatrix=RotationMatrix(rotationAngle,rotationAxis);doubleCrossProduct(doublea,doubleb)doublec=c0=a1*bc1=a2*bc2=a0*breturnc;3；2-a2*b10-a0*b21-a1*b0newdoubledoubleDotProduct(doublea,doubleb)doubleresult;result=a0*b0+a1*b1+a2*b2;returnresult;doubleNormali

6、ze(doublev)doubleresult;result=Math.Sqrt(v0*v0+v1*v1+vreturnresult;double,RotationMatrix(doubleangle,doubleu)2*v2);doublenorm=Normalize(u);double,rotatinMatrix=newdouble3,3;u0=u0/norm;u1=u1/norm;u2=u2/norm;rotatinMatrixrotatinMatrixrotatinMatrixrotatinMatrixrotatinMatrixrotatinMatrixrotatinMatrixrot

7、atinMatrixrotatinMatrix0,0=Math.Cos(angle)+u0,0=u0*u1*(0,0=u1*Math.Sin(angle)+u0,0=u2*Math.Sin(angle)+u0,0=Math.Cos(angle)+u1*u0,0=-u0*Math.Sin(angle)+u0,0=-u1*Math.Sin(angle)+u0,0=u0*Math.Sin(angle)+u0,0=Math.Cos(angle)+u2*u0*u0*(1-Math.Cos(angle);1-Math.Cos(angle)-u2*Math.Sin(angle);0*u2*(1-Math.Cos(angle);0*u1*(1-Math.Cos(angle);1*(1-Math.Cos(ang