高中數(shù)學(xué)極值點(diǎn)偏移問題

1、# / 8解分別為占勺且曲5<旳<b.偏左）:極值點(diǎn)偏移（俗稱峰谷偏）問題的定義對于可導(dǎo)函數(shù)I在區(qū)間（a,b）上只有一個極大（小）值點(diǎn)，方程i <1 1 （f（x）=m）的解分別為®產(chǎn)2且x B V xu2<b.旳I I右2則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a,b）上極值點(diǎn)偏移;（1）則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a,b）上極值點(diǎn)偏移;巧+坯-I產(chǎn)（2）則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間（a,b）上極值點(diǎn)'偏移;二：極值點(diǎn)偏移的判定定理對于可導(dǎo)函數(shù)土公I(xiàn)在區(qū)間（a,b）上只有一個極大（小）值點(diǎn)，方程E -口!的f（x）在區(qū)間（a,b）上極大值點(diǎn)右偏；（即 f（x）在區(qū)間上（a,b

2、）極小值點(diǎn) 左偏；（即谷 f（x）在區(qū)間上（a,b）極大值點(diǎn) 左偏；（即峰 f（x）在區(qū)間上（a,b）極小值點(diǎn) 右偏；（即谷y=m x-、x/ >/y=f(x)x=;nix=偏右）拓展:1)若,則叵的圖象關(guān)于直線叵對稱；特別地，若(或f(x)=f(2a-x),貝則 丙 的圖象關(guān)于直線耳 對稱2)若函數(shù)f(x)滿足尋二乙；懇；|有下列之一成立: f(x)在(：玄；|遞增，在(a,2a)遞減，且 f(a-x)<( >)f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x) f(x)在(0,a)遞減，在(a,2a)遞增且 f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)&g

3、t;(<)f(2a-x)則函數(shù)f(x)在(0,2a)的圖象關(guān)于直線x=a偏移(偏對稱)(俗稱峰谷偏函數(shù))其中極大值左偏(或右偏)也稱峰偏左(或右)極小值偏左(或偏右)也稱谷偏左(或右)；性質(zhì)：1)的圖象關(guān)于直線LrJ對稱若&叫則 + x2 =生處上"孔),“& +八匐=0)；2)已知函數(shù)是滿足條件的極大值左偏(峰偏左)若心巧丘珈*勺貝兀J= g則極值點(diǎn)偏移解題步驟： 求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)； 構(gòu)造函數(shù) F(x)=f(x+ ' )-f(Z±l(F(x)=f(乂J )-f(血匕,F(x)=f(x+)-f(i ,F(x)=f(x)-f( *)確定 F

4、(x)單調(diào)性 結(jié)合 F(0)=0( F(-5)=0,F(U廠 ° '判斷 F(x)符號從而確定 f(x+%),f(% 7 ' (f(x+"。)與 f( Y)； f(x)與f(的大小關(guān)系；答題模式：已知函數(shù)y=f(x)滿足刊汎 匚也,習(xí)為函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)，求證：*泊三求心 求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)； 構(gòu)造函數(shù) 卩儀)=血+切)唄 一 ®確定F(x單調(diào)性 判斷F(x)符號從而確定f(x+),f(二12的大小關(guān)系假設(shè)F(x)在(0,+咤T單調(diào)遞增則F(x)>F(O)=O,從而得到x>0時f(x+ )>f(1. ( 2016年全國I

5、高考)已知函數(shù)-有兩個零點(diǎn)設(shè)xi, X2是'的兩個零點(diǎn)，證明：+X2V2.2. (2010年高考XX卷理科21)(本小題滿分14分) 已知函數(shù)f(x)=xe -x ( x亙FR .(I )求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(n )已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于直線 x=1對稱，證明當(dāng) x>1時，f(x)>g(x)(川)如果三| 冃 一 =I 證明 I N證明：由題意可知g(x)=f(2-x), 得g(x)=(2-x)令 F(x)=f(x)-g(x), 即于是1 1當(dāng)x>1時，2x-2>0,從而I' (x)>0,從而函數(shù)F(

6、x)在1,+8 )是增函數(shù)。又 F(1)=_IF(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).川)證明：(1)(2 )若根據(jù)(1) (2)得由()可知， 凹凹，貝y 凹 二I ，所以上I > I ，從而叵 > 國 .因?yàn)槎冢匀?，又?I)可知函數(shù) f(x)在區(qū)間(-g, 1) 內(nèi)事增函數(shù)，所以 了 I ,即 弓 >2.3. 已知函數(shù) 一.(I)討論上J的單調(diào)性;(II )設(shè)B，證明：當(dāng)叵時,(III )若函數(shù)一嚴(yán)|的圖像與x軸交于A, B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xo,證明：H(Xo)v 0.(ii)(II)當(dāng)故當(dāng)|解: (I)匚二(III )由(I)可得，

7、當(dāng)一 I 的圖像與x軸至多有一個交點(diǎn), 故上I ,從而叵I的最大值為4 / 8不妨設(shè)由（II ）得從而I由（I）知， I4 .已知函數(shù)十沁尤''-（m.-"：若f（x）有兩個極值點(diǎn)竝宓且I求 證:f（x）有兩個不同零點(diǎn)&七且工嚴(yán)勺其極值點(diǎn)為屮求證:5 / 8# / 8（已知函數(shù)R祠二/ - z +門（a R），其圖象與軸交于A（®"）bC0）兩點(diǎn)且憐 5 求證:6已知函數(shù)血+日）-叫a若f（x）有兩個不同零點(diǎn)且1 巾求證：7.已知函數(shù)''X = “（a c 若f（x）有兩個不同零點(diǎn) n 且u 一 r求證：2 v + 勺 v

8、3efJ 打8已知函數(shù)閔二畑/）二心辭S產(chǎn)卞嚴(yán)丄求證:7+2# / 89已知函數(shù)晅ox(aR)若f(x)有兩個不同零點(diǎn)叫刊且i勺10.已知函數(shù)=,; J:-'-11 f(:! 1勺2餛)"且巧 < 乃求證匸6 / 8# / 812.已知函數(shù)空心可=- (a 若f(x)=c有兩個不同根11.已知函數(shù)心】=血-血-治能只)若f(x)有兩個不同零點(diǎn)勺叫13.已知函數(shù).= (a 令氏g(x)在(0,3)單調(diào)遞增求aX圍; 當(dāng)a=2時屈數(shù)h(x)=f(x)-mx的圖象與軸交于 A(S°BU 且° *1 «七又W)是h(x)導(dǎo)函¥數(shù)心 GN

9、a < |i滿足a +卩二證明|池(叫+ 巾)< °14 已知函數(shù)(k1 若丫/匸訂罟帕土嘲 p戯十菽熒噴; 若對、抵 kx 1都有f(x)v伽工求kx圍； 若勺芒勺且f(r)= H叼)證明:*七二15. 已知函數(shù)訃"土 J匕(a心斶和評：f(x)的極值點(diǎn)為若存在''且注玉求證：;16. 已知函數(shù)宀*門一二磊 )；若f(x)存在兩個極值點(diǎn)17. 已知函數(shù)一二十山小與g(x)=3-在(1,1)處有相同切線;若y=2(x+ n)與y=f(x)圖象有兩個交點(diǎn)，求nX圍;若=羽3 -習(xí)°)右兩個極值點(diǎn)兀 1旳，禮'*2：證明：F沁)&l

10、t;x2-l18. 已知函數(shù) (a 廠;:兀節(jié)常件；I | ar + Xj 若f(x)=g(x)+(a+1)"有兩個不同零點(diǎn)勺羽,證明：O；19. 已知函數(shù) '全=-",(a;若f(x)=Ing(x)-a遼與y=m,(mMH圖象有兩個交點(diǎn)A、B,線段A、B中點(diǎn)為 證明:f (益)V0；aJf(x = ax! - Inx- 一20. 已知函數(shù)圖象的一條切線為 x軸；求a值； 令g(x)=l2)十3若存在不呱也滿足喲)之財證明2<121. 已知函數(shù)F(x)與f(x)=lnx關(guān)于直線y=x對稱；若xf(x) >處-對縊:珀盤匚巧|恒成立，求 a最大值;設(shè)f(x

11、)在(1,(1,丄一)上存在求證:為俎?叫+坯>站2m(x) = *x/Cx)J麗(x > Jfj若在區(qū)間22. 已知函數(shù)汽 (a ； 若函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b,求a,b的值 若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，XX數(shù)a的取值X圍； 如果函數(shù)g(x)=f(x)-(a-?巧恰有兩個不同的極值點(diǎn)xvxi證明：23. 已知函數(shù) I、' -(a-2)x-aInx； 疔殆滬早婕性； 設(shè)函數(shù) 咚匕二工1用+ 4若日卯使得 m(")l J成立XX數(shù)a取值X 圍；+ 叫' I 若方程f(x)=c有兩個不等的實(shí)數(shù)根，求證：1mrivxe ,1若一 *使得對24已知函數(shù)Kx)= T7T + "加兀(“川為常墩h枉K二1達(dá)的切線方程t?x + y_2 = 0