高中物理中變力做功問題的積分解法-文檔資料

1、高中物理中變力做功問題的積分解法一、引言在高中物理中， 有時會碰到一些變力做功的問題， 這些問題 通常不能按一般的恒力做功的方法進行求解， 但可以利用微積分 法巧妙地進行解決。用積分解決物理問題， 一般都要先建立適當?shù)淖鴺讼怠?如下 圖1所示，設有方向指向ox軸正方向的變力f (x)，當某物體 在該力作用下從點x+Ax移動到點時，可以認為力所做的功為 f ( x) x,當把Ax看做無窮小量時dx時，就得到功的 微分形式為dw=f (x) dx，而物體在變力作用f (x)下，從點a 移動到點b時，變力f (x)所做的功可以表示為：二、變力做功的幾種情況(一)水池抽水做功問題 這類問題常常容易犯錯

2、，很多人常用恒力做功的方法分析， 即用水的重力與水深之積求所做之功。 但仔細分析， 這種方法明 顯是錯誤的， 如果我們將水垂直分成為很多微分層， 則每個微分 層的水移動的距離應該是不相等的， 因此不能采用常用的恒力做 功的方法進行計算， 但可以采用微分法進行計算。 下面講一個簡 單的例子。要把其抽到蓄水池口所做的功可表示為：因此，根據(jù)積分公式，將蓄水池中 30 米深的水全部抽出池口需要做的總功為：因此，對于這類問題， 我們不能按常用恒力做功方式進行求 解，必須換一種方式，利用微分方法求解較簡便。同時，我們可 以將此類問題進一步推廣到求水中取物所做的功， 其原理基本類 似，方法類似。（二）彈簧壓

3、縮或伸長做功問題彈簧在壓縮或伸長的過程中， 其彈力會連續(xù)不斷地變化， 因 此，如何求彈簧壓縮或伸長所做的功， 這就需要用到變力做功的 積分法？例2:如果10N（牛）的力可以使彈簧伸長 20cm求在彈性 范圍內使該彈簧伸長30cm所要做的功是多少？我們可以進一步推廣， 在彈性范圍內， 彈簧從平衡位置壓縮或拉伸a長（單位：m所需要做的功為：另外，我們還可以將此類問題推廣到非均勻電場做功的計 算，即求變電場對處在其中的帶電粒子移動距離所做的功。 其公 式可以總結如下：（1）假設在一帶電量為+Q的點電荷（選其坐標為 ox軸原 點）的電場中有一點電荷+q在該電場中從坐標a處移動到b處。 其電場所做的功可

4、以表示為：（ 2）若將上述點電荷 +q 從坐標 a 處移動到無窮遠處，則其 電場所做的功可以表示為：三）氣體壓縮或膨脹做功問題封閉容器（或氣缸）中的氣體膨脹或壓縮時，隨著氣體壓強 的連續(xù)變化， 從而使得作用在活塞上的壓力也必將不斷變化， 為 了平衡活塞， 在壓縮氣體時要一個外加壓力推動活塞對容器 （或 氣缸）內氣體做功，或在氣體膨脹時將推動活塞來做功，那么， 如何求所做的功呢？這是一個典型的變動做功的問題， 我們可以 借助積分法進行求解。解：在正圓柱氣缸的氣體（見圖 3），根據(jù)波義耳定律，若 溫度不變時，則PV=C（常數(shù)），P表示壓強，V表示缸內氣體體 積，由題意得：設正圓柱氣缸內的蒸汽被壓縮的長度表示為 x（ m，那么因此，要使蒸汽的體積減小一半，需要做的功為： 我們可以進一步進行推廣， 若將氣體從坐標 a 點壓縮到坐標 b 點，其所做的功為：三、結語 運用定積分解決變力做功問題