灰色理論系統(tǒng)預(yù)測

1、灰色系統(tǒng)預(yù)測重點(diǎn)內(nèi)容：灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生和開展動(dòng)態(tài),灰色系統(tǒng)的根本概念,灰色系統(tǒng)與模糊數(shù)學(xué)、黑箱方法的區(qū)別,灰色系統(tǒng)預(yù)測GM(1,1)模型,GM(1,N)模型,灰色系統(tǒng)模型的檢驗(yàn),應(yīng)用舉例.1灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生和開展動(dòng)態(tài)1982鄧聚龍發(fā)表第一篇中文論文?灰色限制系統(tǒng)?標(biāo)志著灰色系統(tǒng)這一學(xué)科誕生.1985灰色系統(tǒng)研究會成立,灰色系統(tǒng)相關(guān)研究開展迅速.1989海洋出版社出版英文版?灰色系統(tǒng)論文集?,同年,英文版國際刊物?灰色系統(tǒng)?雜志正式創(chuàng)刊.目前,國際、國內(nèi)200多種期刊發(fā)表灰色系統(tǒng)論文,許多國際會議把灰色系統(tǒng)列為討論專題.國際著名檢索已檢索我國學(xué)者的灰色系統(tǒng)論著500屢次.灰色系統(tǒng)理論已應(yīng)用范

2、圍已拓展到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會、經(jīng)濟(jì)、能源、地質(zhì)、石油等眾多科學(xué)領(lǐng)域,成功地解決了生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究中的大量實(shí)際問題,取得了顯著成果.2灰色系統(tǒng)的根本原理2.1灰色系統(tǒng)的根本概念我們將信息完全明確的系統(tǒng)稱為白色系統(tǒng),信息未知的系統(tǒng)稱為黑色系統(tǒng),局部信息明確、局部信息不明確的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng).系統(tǒng)信息不完全的情況有以下四種：1 .元素信息不完全2 .結(jié)構(gòu)信息不完全3 .邊界信息不完全4 .運(yùn)行行為信息不完全4.2 灰色系統(tǒng)與模糊數(shù)學(xué)、黑箱方法的區(qū)別主要在于對系統(tǒng)內(nèi)涵與外延處理態(tài)度不同；研究對象內(nèi)涵與外延的性質(zhì)不同.灰色系統(tǒng)著重外延明確、內(nèi)涵不明確的對象,模糊數(shù)學(xué)著重外延不明確、內(nèi)涵明確的對象.“黑

3、箱方法著重系統(tǒng)外部行為數(shù)據(jù)的處理方法,是因果關(guān)系的兩戶方法,使揚(yáng)外延而棄內(nèi)涵的處理方法,而灰色系統(tǒng)方法是外延內(nèi)涵均注重的方法.4.3 灰色系統(tǒng)的根本原理公理1：差異信息原理.“差異是信息,凡信息必有差異.公理2:解的非唯一性原理.信息不完全,不明確地解是非唯一的.公理3:最少信息原理.灰色系統(tǒng)理論的特點(diǎn)是充分開發(fā)利用已有的“最少信息.公理4:認(rèn)知根據(jù)原理.信息是認(rèn)知的根據(jù).公理5:新信息優(yōu)先原理.新信息對認(rèn)知的作用大于老信息.公理6:灰性不滅原理.“信息不完全是絕對的.4.4 灰色系統(tǒng)理論的主要內(nèi)容灰色系統(tǒng)理論經(jīng)過10多年的開展,已根本建立起了一門新興學(xué)科的結(jié)構(gòu)體系,其主要內(nèi)容包括以“灰色朦朧

4、集為基礎(chǔ)的理論體系、以晦澀關(guān)聯(lián)空間為依托的分析體系、以晦澀序列生成為根底的方法體系,以灰色模型G,M為核心的模型體系.以系統(tǒng)分析、評估、建模、預(yù)測、決策、限制、優(yōu)化為主體的技術(shù)體系.灰色關(guān)聯(lián)分析灰色統(tǒng)計(jì)灰色聚類3灰色系統(tǒng)預(yù)測模型灰色預(yù)測方法的特點(diǎn)表現(xiàn)在：首先是它把離散數(shù)據(jù)視為連續(xù)變量在其變化過程中所取的離散值,從而可利用微分方程式處理數(shù)據(jù)；而不直接使用原始數(shù)據(jù)而是由它產(chǎn)生累加生成數(shù),對生成數(shù)列使用微分方程模型.這樣,可以抵消大局部隨機(jī)誤差,顯示由規(guī)律性.3.1灰色系統(tǒng)理論的建模思想下面舉一個(gè)例子,說明灰色理論的建模思想.考慮4個(gè)數(shù)據(jù),記為X(o)(1),x(o)(2),x(o)(3),x(o)

5、(4),其數(shù)據(jù)見下表：序號1234符號X(0)(1)X(0)(2)X(0)(3)X(0)(4)數(shù)據(jù)1234將上表數(shù)據(jù)作圖得X上圖說明原始數(shù)據(jù)X沒有明顯的規(guī)律性,其開展態(tài)勢是擺動(dòng)的.如果將原始數(shù)據(jù)作累加生成,記第K個(gè)累加生成為X(K),弁且X(1)=X(0)(1)=1X(1)(2)=X(0)(1)X(0)(2)=12=3X(1)(3)=X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3)=1,2,1.5=4.5X(1)(4)=X(0)(1)X(0)(2)X(0)(3)X(0)(4)=121.53=7.5得到數(shù)據(jù)如下表所示序號1234符號X(1)(1)X(2)X(3)X(4)數(shù)據(jù)134.57.51.數(shù)列

6、預(yù)測GM(1,1)模型灰色系統(tǒng)理論的微分方程成為Gm模型,G表示gray(灰色),m表示model(模型),Gm(1,1)表示1階的、1個(gè)變量的微分方程模型.Gm(1,1)建模過程和機(jī)理如下：記原始數(shù)據(jù)序列X(0)為非負(fù)序列X01,x02,x03,.,x0n,其中,x(0)(k),0,k=1,2,n其相應(yīng)的生成數(shù)據(jù)序列為X(1)XQ)=以1l)x(42)x.3).,x.in)k其中,x(1)(k)八,x(0)(i),k=1,2,ni1為X(1)的緊鄰均值生成序列Z底z,z(2),z(n)J其中,Z(k)=0.5x(k)0.5x(k一1),k=1,2,n稱x(0)(k)+az(k)=b為Gm(1

7、,1)模型,其中a,b是需要通過建模求解的參數(shù),假設(shè)a=(a,b)丁為參數(shù)列,且(0)(2)1-z(1)(2)x(0)(3)m_x(0)(n)-zI-z(4)-z1111那么求微分方程x(0)(k)+az(k)=b的最小二乘估計(jì)系數(shù)列,滿足程,T1Ti?=(BB)BY.(1)稱生一+ax(1)=b為灰微分方程,x(0)(k)+az(1)(k)=b的白化方dt也叫影子方程.如上所述,那么有(1)1 .白化方程"+ax6=b的解或稱時(shí)間響應(yīng)函數(shù)為dto(1)(1)b、旬b?(t)=(x(0)-)eaa2 .Gm(1,1)灰微分方程x(0)(k)+az(k)=b的時(shí)間響應(yīng)序列為?(1)(k

8、1)=(x(1)(0)-b)e“kb,k=1,2,naa3 .取x=x?1),那么0(1)(k1)=(x(0)(1)-)ek-,k=1,2,naa4 .復(fù)原值?(0)(k1)=5?(1)(k1),)(k),k=1,2,n2.系統(tǒng)綜合預(yù)測GM(1,N)模型P1344灰色系統(tǒng)模型的檢驗(yàn)定義1.設(shè)原始序列V(0)；.(0)(0)(0)X二x(1),x(2),x(n),相應(yīng)的模型模擬序列為0(0)=.(0)(1),0(0)(2),-,？(0)(n)殘差序列；(0)=七,；,;(n:(0)(0)(0),0(0)(0)(0)=x-父(1),x(2)-？(2),x(n)-5?(n),相對誤差序列式2)(0)

9、級n)X°1 .對于女！稱縱=|為k點(diǎn)模擬相對誤差,稱'J懸為濾波相對誤差,稱A*為平均模擬相對誤差；2 .稱1為平均相對精度,1-酬為濾波精度；3 .給定豆,當(dāng)<a,且成立時(shí),稱模型為殘差合格模定義2設(shè)X(0)為原始序列,父為相應(yīng)的模擬誤差序列,名為X(0)與?°)的絕對關(guān)聯(lián)度,假設(shè)對于給定的%>0NA8,那么稱模型為關(guān)聯(lián)合格模型.定義3設(shè)X(0)為原始序列,£(0)為相應(yīng)的模擬誤差序列,名為殘差序列.nx=lfx(0)(k)為X(0)的均值,n心nS2E(x(0)(k)-X)2為x(0)的方差,nkmn1=-lL8(k)為殘差均值,nkin

10、s2£(8(k)-G2為殘差方差,nkm1 .稱c=s為均方差比值；對于給定的c0>0,當(dāng)c<c0時(shí),稱模型為均方差比合格模型.2 .稱p=pg(k)-4<0.6745S1為小誤差概率,對于給定的P0>0,當(dāng)PP0時(shí),稱模型為小誤差概率合格模型.精度檢驗(yàn)等級參照表相對誤差1關(guān)聯(lián)度均方差比小誤差概'.界性、精度攣級fJ值率一級0.010.900.350.95二級0.050.800.500.80三級0.100.700.650.70四級0.200.600.800.60般情況下,最常用的是相對誤差檢驗(yàn)指標(biāo).5應(yīng)用舉例例1設(shè)原始序列Y(0)口0)(0)/6v(0

11、)/Qv(0)(0)/Q；X=x(1),x(2),x,x(4),x(5),=2.874,3.278,3.337,3.390,3.679建立Gm(1,1)模型,并進(jìn)行檢驗(yàn).1-AGO,A解：1)對x(0)作1-AGO,得D為X的一次累加生成算子,記為cumulatedGeneratingOperator(1)(1)(1)(1)(1)!(1)(1)/.xz(1)/Qxz(1)(1)/C,x(2),x,x(4),x(5=2.874,6.152,9.489,12.579,16.5582)對x(1)作緊鄰均值生成,令Z(k)=0.5x(1)(k)0.5x(1)(k-1)(1)(1)(1)(1)(1)(1

12、);Z=z,z(2),z(3),z(1)(4),z(5=2.874,4.513,7.820,11.84,14.718于是,-z(1)(2)-z(1)(3)-z(4)z(1)(5)1111I-4.5131-7.820-11.84-14.7181111-x(0)(2)Ix(0)(3)x(0)(4)X0)(5)一3.2783.3373.3903.679BTB=,|-4.5131-7.820-11.1841-4.513117.8201-14.718.1I-11.84114.718L423.221一1-38.235-38.235(BB)J一423.221=1-38.2354-38.23541423.22

13、1父438.23520.0173180.165542=10.16655421.832371-一438.2351|38.235423.221-1-230.969i?=(BB)JBY438.235J38.235423.2213.2780.0173180.165542.-4.513-7.820-11.184-14.7181.3.337|0.16655421.832371*|1J13.3903.6790.0873860.030115-0.0281431.0852800.537833-0.019051-0.08934410.6040763.278*|3.337-13.3903.679_-0.037156

14、1一I3.065318_3)確定模型dx-0.037156x(1)=3.065318dt及時(shí)間響應(yīng)式,(k1)=(x(0)(1)-b)ekbaa=85.3728e0.037156k-82.49864)求X(1)的模擬值父二夢*/)=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)5)復(fù)原由X的模擬值,由父(k1)=?(1)(k1)一？(k)得)?(0)=夕0)(1),?(0)(2),姆(3),娉(4),?(0)(5)=(2.8740,3.2318,3.3541,3.4811,3.6128)6)誤差檢驗(yàn)序號實(shí)際數(shù)據(jù)模擬數(shù)據(jù)殘差相對誤差x(0)(k)娉(k)8(k)=x

15、(0)(k)？(0)(k)、外k)k一x(k)23.2783.23180.04621.41%33.3373.3541-0.01710.51%43.3903.4811-0.09112.69%53.6793.61280.06621.80%殘差平方和2)98/V/V/V/Vsees2/V-艮-S0.04621-0.0171-0.09110.0662=b.0462-0.0171-0.09110.06621*=0.0151085平均相對誤差1.1：=一%k(1.41%0.51%2.69%1.80%)4km4=1.0625%計(jì)算X與X的灰色關(guān)聯(lián)度一二1S=Z2(x(k)-x(1)+-(x(5)-x(1)1

16、=(3.278-2.874)+(3.3372.874)+(3.390-2.874)+2(3.679-2.874)=0.404+0.463+0.516+0.4025=1.78551§=£(2(k)-父+二刈切？k=22一一,一一一一一,1一=(3.23182.874)+(3.35412.874)+(3.4811-2.874)+(3.61282.874)2=0.3578+0.4801+0.6071+0.3694=1.8144c4ri1rS?-S=2(x(k)x(1)(網(wǎng)k)?(1)+(x(5)x)(鼠5)9(1)y21=(0.3578-0.404)+(0.4801-0.463)

17、+(0.60710.516)+(0.36940,4025)2=-0.0462+0,0171+0.091-0.01655=0.04535&_1+S+S?_1+1,7855+1.8144_4,5999-1+|S|+|S?+S?_S-1+1.7855+1.8144+0.045354.64525=0.9902>0.90精度為一級,可以用父(k1)=85,3728e0.037156k-82.4986及(k+1)=父(k+1)-及(k)預(yù)測.例2某大型企業(yè)1997-2000年四年產(chǎn)值資料年份199719981992000產(chǎn)值萬元27260295473241135388試建立Gm(1,1)模型

18、的白化方程及時(shí)間響應(yīng)式,弁對Gm(1,1)模型進(jìn)行檢驗(yàn),預(yù)測該企業(yè)2001-2005年產(chǎn)值.解：設(shè)時(shí)間序列為v(0)；(0)(0)(0)/X二x(1),x(2),x(3),x(4),=(27260,29547,62411,35388)X£x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),x(1)(4)=27260,56807,89218,1246062)對X作緊鄰均值生成,令Z(1)(k)=0.5x(1)(k)0.5x(1)(k-1)Z='：z(1)(1),z(2),z(1)(3),z(4)：'二(27260,42033.5,73012.5,106912于是,一zB=-

19、z(3)-z(1)(4)1111-42033.511-73012.51,10691213司令/V/V/VX7X7X7ooO(XXX-2954713241135388對參數(shù)列M=a,b/作最小二乘估計(jì),o>_(bTb)b、,_0.0899951d(BB)BYOO'2|25790.28(1)設(shè)也一ax6=bdt由于a-0.089995,b=25790.28可得Gm(1,1)模型的白化方程dx(1)-0.089995X=25790.28dt其時(shí)間響應(yīng)式為c(1)(0)/、b-akb0.089995k次(k1)=(x-)e=313834e-286574aa?(0)(k1)=x(1)(k1

20、)一父(k)由此得模擬序列火=%(1),及(0)(2),婢(3),娉(4戶=(27260,29553,32336,35381)檢驗(yàn)：殘差序列為；(.)=(；(°)(1),；(°)(2),；(0)(3),;(4)=(0,-6,75,7)A,=*(1)(°)(4)(0),(0),(0),(0)X(1)x(2)x(3)x(4)(0)(0)(0)=(0,0.0002,0.00231,0.0002)-含(1,2,3,：4)平均相對誤差-0.00068-0.068%:二0.01模擬誤差與=0.0002=0.02%<0.01精度一級計(jì)算x(0)與父(0)的灰色關(guān)聯(lián)度名3,

21、c、,c、1小,c、_虧“0)心、y(0)+/y(0)(ay(0)m-ddC09乙(x(K)-x(I)十一(X(4)x(I)-11OU2y2cc1cc=£(洌k)?(1)+(X4)?(1)=11429.5k=22S?-S3Z1.°)(k)-X(0)(1)-(x(0)(k)-x(0)(1)1+1(X(O)-X(0)(1)-(x(0)(4)-x(0)(1)】=72.51+|s|十S?1+|S|+§+s?-sk=221115O211429.5二O.997O.9O1115O211429.572.5精度為一級計(jì)算均方差比14x='、x(o)(k)=31151.54k

22、m91.4(n).S12二'(x(o)(k)-x)2=9313116.25,S1=3051.744km,1；二一'；(K)=194Km14_S；(；(k)二)2=1066.5,s2=32.664km所以,c=&=-=O.O11cO.35,均方差比值為一級S13O51.74計(jì)算小誤差概率O.6745S1=2058.40二25乳1)一可=19,卜(2)詞=2583)-s|=56,£(4)=12所以,p=p(；«)一；|：二0.6745s1)=1O.95小誤差概率為一級,故可用中"(k1)=313834e°.O89995k-286574

23、?(0)(k1)=?(k1)-,(k)進(jìn)行預(yù)測,2001-2005年預(yù)測值為乂(°)=10(°),次(°),婢,父(8),娉(9)：'=(38713,42359,46318,50712,55488)例3預(yù)測實(shí)例,某企業(yè)2001-2005年的工業(yè)總產(chǎn)值年份20012002200320042005總產(chǎn)值1.671.511.032.141.99建立Gm(1,1)模型的白化方程,預(yù)測2006-2021工業(yè)總產(chǎn)值.X(0)?x(0)(1)x(0)(2)x(0)(3)x(0)(4)x(0)(5)八一X(J),X(乙),XI.),X(r),X(J)二(1.67,1.51

24、,1.03,2.14,1.99V(1);(1)(1)(1)(1)(1),X=x(1),x(2),x,x(4),x(5).-?1.67,3.18,4.21,6.35,8.43對X(1)作緊鄰均值生成,令Z(1)(k)=0.5x(k)0.5X(k-1)Z6=殳,z(2),z,z(1)(4),z(5=1.67,2.425,3.695,5.28,7.34511112345/V/V/V/VX7X7X7X71111(zzzzm-B-2.42511-3.6951-5.281,-7.3451-x(0)(2)1x(0)(3)x(0)(4)84.50191121-2.425-3.695-5.28111-2.425

25、1-7.34511-3.69511JJ-5.281-7.3451-101.361-18.7451-18.74544(BB)=0.073980.346690.346691.8747bV=,|-2.425-3.695-5.28111-7.345.11.5111.032.14199一一I-33.38335IL6.67a>=(BTB)B1Y=-0.0379800.346691/-33.3833510.346691.8747l|6.67_-0.157一|0.931_(i)方程為-ax(1)二bdt,(i)-x-0.157x(1)=0.931dt及時(shí)間響應(yīng)式X(1)(k1)=(x(0)(1)-)ekbaa=(1.675.93)e0.157k-5.93=7.6e.157k_5.93求X(1)的模擬值火=：x(1)(