將軍飲馬模型

1、將軍飲馬問題將軍飲馬問題 =軸對稱問題 =最短距離問題 （軸對稱是工具， 最短距離是題眼）。所謂軸對稱是工具，即這類問題最常用的做法就是作軸對稱。而最短距離是題眼，也就意味著歸類這類的題目的理由。比如題目經(jīng)常會出現(xiàn)線段a+b 這樣 的條件或者問題。一旦出現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍飲馬問題，然后利用軸對稱解題 。1. 將軍飲馬故事“將軍飲馬” 問題是數(shù)學(xué)問題中的經(jīng)典題目，主要轉(zhuǎn)化成 “兩點(diǎn)之間線段最短問題”原題：如圖，一位將軍，從 A 地出發(fā)，騎馬到河邊給馬飲水，然后再到B 地，問怎樣選擇飲水的地點(diǎn)，才能使所走的路程最短？?A?B模型一：一條定直線，同側(cè)兩定點(diǎn)在直線 l 的同側(cè)有兩點(diǎn) A,B, 在 L

2、 上求一點(diǎn) P，使得 PA+PB值最小。一般做法 ：作點(diǎn) A （B）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接A B，AB 與直線交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。 A B即為最短距離。理由：A為 A 的對稱點(diǎn)，所以無論P(yáng) 在直線任何位置都能得到AP=AP。所以 PA+PB=PA+PB。這樣問題就化成了求 A 到 B 的最短距離，直接相連就可以了。例一：某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線L 上連接一個分支線路，分支點(diǎn)為M，同時向新落成的 A、B 兩個居民小區(qū)送電。 已知兩個居民小區(qū)A、B 分別到主干線的距離 AA1=2千米， BB1=1千米，且 A1B1=4千米。（ 1）如果居民小區(qū)A、 B 位于主干線 L 的兩旁，如圖（ 1）所示，那么

3、分支點(diǎn)M在什么地方時總路線最短？最短線路的長度是多少千米？（ 2）如果居民小區(qū)A、 B 位于主干線 L 的同旁，如圖（ 2）所示，那么分支點(diǎn)M在什么地方時總路線最短？此時分支點(diǎn)M與 A1 的距離是多少千米？L? A? BL? AB? B?BA?A模型二：一條定直線，一定點(diǎn)，一動點(diǎn)如圖，已知直線L 和定點(diǎn) A，在直線 K 上找一點(diǎn) M，在直線 L 上找一點(diǎn) P，使得 AP+PB值最小。模型三：一定點(diǎn)，兩條定直線如圖，在 OAB 內(nèi)有一點(diǎn) P ，在 OA 和 OB 各找一個點(diǎn) M、N，使得 PMN周長最短（題 眼）。一般做法 ：作點(diǎn) P 關(guān)于 OA 和 OB 的對稱點(diǎn) P1 、P2。連接 P1P2

4、。P1P2 與 OA、OB 的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。 P1P2 即為最短周長。理由：對稱過后， PM=P1M，PN=P2N。所以 PM+PN+MN=P1M+P2N+MN。所以問題就化成了求 P1 到 P2 的最短距離，直接相連就可以了。模型四：兩定點(diǎn)，兩條定直線如圖，點(diǎn) P，Q為 MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM，ON上做點(diǎn) A，B，是四邊形 PAQB的周長最小。練習(xí)題：1. 如圖，點(diǎn) P 是 AOB內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn) M，N分別在 OA，OB上運(yùn)動，若 AOB=30度，OP=4，則三角形周長的最小值為多少。2. 如圖，正方形ABCD的邊長為 8，M在 DC上，且 DM=2， N是 AC上一動點(diǎn)，則DN+MN的最小值是多少？ADMNBC3. 如圖所示，在邊長為 6 的菱形 ABCD中, DAB=600，E 為 AB的中點(diǎn)， F 是 AC上一動點(diǎn)，則 EF+BF的最小值是多少？DFCAEB?ABCAC2 3， ACB 60， P 為 BC上一點(diǎn)，