現(xiàn)代控制理論習題解答

1、現(xiàn)代控制理論第1章習題解答1.1 線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)的區(qū)別何在？答：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：X=AxBuy=CxDu線性定常系統(tǒng)和線性時變系統(tǒng)的區(qū)別在于：對于線性定常系統(tǒng)，上述狀態(tài)空間模型中的系數(shù)矩陣A,B,C和D中的各分量均為常數(shù)，而對線性時變系統(tǒng)，其系數(shù)矩陣A,B,C和D中有時變的元素。線性定常系統(tǒng)在物理上代表結(jié)構(gòu)和參數(shù)都不隨時間變化的一類系統(tǒng)，而線性時變系統(tǒng)的參數(shù)則隨時間的變化而變化。1.2 現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間模型與經(jīng)典控制理論中的傳遞函數(shù)有什么區(qū)別？答：傳遞函數(shù)模型與狀態(tài)空間模型的主要區(qū)別如下：傳遞函數(shù)模型（經(jīng)典控制理論）狀態(tài)空間模型（現(xiàn)代控制理論）僅適用于線性定常系統(tǒng)

2、適用于線性、非線性和時變系統(tǒng)用于系統(tǒng)的外部描述用于系統(tǒng)的內(nèi)部描述基于頻域分析基于時域分析1.3 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型有哪幾種標準形式？它們分別具有什么特點?答：線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型標準形式有能控標準型、能觀標準型和對角線標準型。對于階傳遞函數(shù)G(s)=bnsn,bn，/IIIb1sb0sn-an4sn4|laisao分別有能控標準型:一010M0100011H00*,+4+rx+FF000IH10a。一a1-a2IH-an_1_能觀標準型:y=bo,-01jX=o*+:。y=0bIIIHqbnX+dU0IH0-a。1b010IH0-a1b110-a2X+11uF1 F2 +bnI0III1

3、-an":I0IH01】X+du'一口0III01-11l0P2III01，、一，一一，、-X=,，x+-u對角線標準型：«:二：-00愕Pn_1一y-CicHIalxdu式中的Pi,P2,|,Pn和G,G川|,Cn可由下式給出,bnsbn/Sbsb°GC2CnG(s)=-nn-jd=HIdsansIIIasa。s-Pis-P2s-Pn能控標準型的特點：狀態(tài)矩陣的最后一行由傳遞函數(shù)的分母多項式系數(shù)確定，其余部分具有特定結(jié)構(gòu)，輸出矩陣依賴于分子多項式系數(shù)，輸入矩陣中的元素除了最后一個元素是1外,其余全為0。能觀標準型的特點：能控標準型的對偶形式。對角線標準型

4、的特點：狀態(tài)矩陣是對角型矩陣。12 對于同一個系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇是否惟一？答：對于同一個系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇不是惟一的，狀態(tài)變量的不同選擇導(dǎo)致不同的狀態(tài)空間模型。12 單輸入單輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在什么情況下，其狀態(tài)空間實現(xiàn)中的直接轉(zhuǎn)移項D不等于零，其參數(shù)如何確定？答：當傳遞函數(shù)G(s)的分母與分子的階次相同時，其狀態(tài)空間實現(xiàn)中的直接轉(zhuǎn)移項D不等轉(zhuǎn)移項D的確定：化簡下述分母與分子階次相同的傳遞函數(shù)G(s)=bnsn-bn.sn+b1s-b0,anjsa1s.a0可得:G(s)=n.Cns'.笊,C0nn-1,11s.anjs.as.a0由此得到的d就是狀態(tài)空間實現(xiàn)中的直接轉(zhuǎn)移項D。1.

5、6在仞1.2.2處理一般傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)過程中，采用了如圖試問：若將圖1.12中的兩個環(huán)節(jié)前后調(diào)換，則對結(jié)果有何影響？答：將圖1.12中的兩個環(huán)節(jié)調(diào)換后的系統(tǒng)方塊圖為：1.12的串聯(lián)分解,圖中,、32a(s)sa2sa1sa0，b(s)=ds2+b1s+在。由于s*y相當于對y作3次積分，故_y可用如下的狀態(tài)變量圖表示:ma(s)2m因為sb相當于對b作2次微分，故一=b(s)可用如下的狀態(tài)變量圖表不u因此，兩個環(huán)節(jié)調(diào)換后的系統(tǒng)狀態(tài)變量圖為進一步簡化，可得系統(tǒng)狀態(tài)變量圖為取丫二兄，y=&,y=xi,可以得到兩個環(huán)節(jié)調(diào)換后的系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為00X=1001y=00兩個環(huán)節(jié)調(diào)換前

6、的狀態(tài)空間模型是：-a°Ib°-aix+biu-32j?2j1x0100_-a0-a101"a2y=b0bb2x顯然，調(diào)換前后的狀態(tài)空間實現(xiàn)是互為對偶的。已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Y(s)s62U(s)s25s6試求其狀態(tài)空間實現(xiàn)的能控標準形和能觀標準形。答:系統(tǒng)的能控標準形為：,_；01x冷-5一y=161x-01x+k系統(tǒng)的能觀標準形為：x：6x6uy=101lx考慮由下圖描述的二階水槽裝置,圖1.18二階水槽裝置圖該裝置可以看成是由兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng)，它的方塊圖是:U2b2sa2試確定其狀態(tài)空間模型。Uibis-aiXi圖1.19二階水槽系統(tǒng)的方塊圖答：圖1.1

7、9中兩個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：X2=-22X2+b2U2Xi=aiXi+bu和y2=x2y=xi又因為u=u+x2,所以Xi-ax1blX2biUiX2-0X2b2U2y=xi進一步將其寫成向量矩陣的形式，可得:biXin0Ui-a2.|X2,0b2.|U20；1.9考慮以下單輸入單輸出系統(tǒng)：y6y11y6y=6u試求該系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的對角線標準形。答：由微分方程可得G(s)=-黃s6siis66(si)(s2)(s3)其中,ci=lim=3s(s2)(s3).6,c2=lim=-6s總(si)(s3)6c3=lim二3s7(si)(s2)故該系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的對角線標準形為-x；lX2

8、-10'.00-200IXiX2一3一x31Ijjxjy=3-63】x2-X31.10已知單輸入單輸出時不變系統(tǒng)的微分方程為：y(t)4y(t)3y(t)=u(t)6U(t)8u(t)試求：(1)建立此系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的對角線標準形；(2)根據(jù)所建立的對角線標準形求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。答：記其中,(1)由微分方程可得Gi(s)G(s)=2s6s89"Zs4s32s5-2"Zs4s32s52s5gc2s2，4s，3(s1)(s3)s1s3lim2s5C2=lims12從輸入通道直接到輸出通道上的放大系數(shù)X1二一1一X2.03y2(2)由于A=101B=T，C_0-3

9、9;_1'd=1,由此可得：0x1.1u-3,X21x1u_X2G(s)=C(sI-A)JBD=13(s1)(s2)IL21.50.5=1s1s31s32.IL0s/+11.11已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=2s5(s3)(s5)采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀態(tài)變量圖;采用并聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫出對應(yīng)的狀態(tài)變量圖。答：(1)將G(s)重新寫成下述形式:G(s)2s5s5每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：X1=-3x1+ux2=-5x2+u1，和,、y=x1y=-5x2+2u1又因為y=u，所以x1=-3x1+ux2=x1-5x2y=2x1-5x2因此

10、，若采用串聯(lián)分解方式,則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:xi-3°，卜!1一5y=2-5/1對應(yīng)的狀態(tài)變量圖為:(2)將G(s)重新寫成下述形式:G(S)-0.52.51s3s5每一個環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為:XX1-3x1-0.5uIyi=xiX=-5x2+2.5u又由于.y2=x2x1=-3x1-°.5ux2=-5x2+2.5uN=ViV2=x1x2因此，若采用并聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為:-3°xz一。一5：，2°55u對應(yīng)的狀態(tài)變量圖為:>°.5*2.5已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為X=Ax+Bu,y=Cx,寫出該系統(tǒng)的特征多項式和傳遞函

11、數(shù)矩陣。答：系統(tǒng)的特征多項式為det(sI-A),、,一-一1_傳遞函數(shù)為G(s)=C(sIA)B。一個傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)是否惟一？由狀態(tài)空間模型導(dǎo)出的傳遞函數(shù)是否惟一？答：一個傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)不惟一；而由狀態(tài)空間模型導(dǎo)出的傳遞函數(shù)是惟一的。已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為x=Ax+Bu,y=Cx,寫出其對偶狀態(tài)空間模型。答：其對偶狀態(tài)空間模型為：=At+CTudtJ=Bx兩個對偶狀態(tài)空間模型之間的特征多項式和傳遞函數(shù)有什么關(guān)系？x=Ax+Bu=At+CTii答：對于互為對偶的xBu與xAxCu,它們對應(yīng)的特征多項式分別為rT、y=Cxy=Bxdet(sI-A)和det(sIAT)。由于一個

12、矩陣和其裝置的特征多項式是相同的，故互為對偶的兩個狀態(tài)空間模型具有相同的特征多項式。它們對應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為jC(sI-A)BG(s)=C(sI_A)B=det(sI-A)G2(s)=BT(sIAt)Ct=B(sI-心白det(sI-A)由于det(sIAT)=det(sI-A),(C(sI-A)*B:=BT(sI-A，)*CT,故對偶狀態(tài)空間模型之間的傳遞函數(shù)關(guān)系為G1(s)=G2(s)T,即互為轉(zhuǎn)置。1.16考慮由以下狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)L0X二IL-6y=11x試求其傳遞函數(shù)。答：由于11_G(s)=C(sI-A)BD=C(sI-A)B1(sI-A)1s5s(s5)6IL-6s(s5)

13、6-6:性?1）：s12s5s61.17給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型-4013x+-1-2000010u1求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。答：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=C(sIA)B。由于(sI-A)-101-3因此,1Z2Z6s211s3s2+6s+11-3s2s22s3s4s1_G(s)=C(sI-A)B1.18答:"s2十6s+11s36s211s3HP132s6s11s3s2|-s-11JL-3_s_4s22s22s_s_13s101+4s001013【十4s試用MATLAB軟件求出下列傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實現(xiàn)執(zhí)行以下的m-文件:G(s)10s247s16032s14s56s160num=01

14、047160;den=11456160;A,B,C,D=tf2ss(num,den)-141-56-1600一110,aC=10471601,D=0由此可知:一-14-56-160irx1-flX2x2+0u0一X3_jy=l0471601x2P31一尢0X2=-1：x3.11.19試用MATLAB軟件求以下系統(tǒng)的傳遞函數(shù)ioixq一。1-10x2+1u0吐X3j/JX1y=100X2Bl答：執(zhí)行以下m-文件:A=010;-1-10;100;B=0；1；0；C=100;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D)可得：num=001.00000den=1.00001.00001.000

15、00因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)1.20試用MATLAB軟件求以下系統(tǒng)的傳遞函數(shù)X121X2=02>3j/10X100x2+13金3Xjy=001X2X3J答：執(zhí)行以下的m-文件:A=210;020;013;B=01;10;01;C=001;D=00;num,den=ss2tf(A,B,C,D,1)num,den=ss2tf(A,B,C,D,2)可得要求的兩個傳遞函數(shù)是Y(s)s-232U1(s)s3-7s216s-122Y(s)s2-4s432U2(s)s3-7s216s-12已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為*=Ax+Bu,y=Cx,取線性變換陣為P,且x=PX,寫出線性變換后的狀態(tài)空間模型

16、。答：把x=Px代入X=Ax+Bu,y=Cx,得PX=APXBuy=CPX因此，線性變換后的等價狀態(tài)空間模型為：X=P'APXPBuy二CPX線性變換是否改變系統(tǒng)的特征多項式和極點？簡單證明之。答：假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為x=AxBuy=CxDu經(jīng)過線性變換X=Tx后，系統(tǒng)的狀態(tài)模型變?yōu)椋篨=AXBuy=CXDu其中，11A=TAT,B=TB,C=CT,D=D由于11_det(sI-A)=det(sI-TAT)=det(sTT-TAT)=det(T)det(sI-A)det(T,)-det(sI-A)故線性變換不會改變系統(tǒng)的特征多項式和極點。1.23已知以下微分方程描述了系統(tǒng)的動態(tài)特性：y3y2y二u選擇狀態(tài)變量X1=y,x2=y,寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程；根據(jù)(1)的結(jié)果，由以下的狀態(tài)變換：X=兀x?x2=-x1-2x2確定新的狀態(tài)變量x1,x2,試寫出關(guān)于新狀態(tài)變量x,x2的狀態(tài)空間模型。答：(1)由x=y,X2=y可得Xi