矩陣與伴隨矩陣的關(guān)系

1、*方陣A與其伴隨矩陣A的關(guān)系*之間的關(guān)摘要本文給出了n階方陣A的伴隨矩陣A的定義，討論了n階方陣A與其伴隨矩陣A系，例如,A與A*之間的關(guān)系，并且給出了相應(yīng)的證明過程關(guān)鍵詞矩陣、伴隨矩陣、關(guān)系、證明在高等代數(shù)課程中我們學(xué)習(xí)了矩陣，伴隨矩陣。它們之間有很好的聯(lián)系，對我們以后的學(xué)1.伴隨矩陣的定義.設(shè)n階方陣1311a21an1、AnA21AnA=（aj焉=a2a22'I2.令A(yù)*=（Aj'=：2"2A'，其中.©1na2nann）<A1nA2nAnn/習(xí)中有很大的用處。Aj是a。*的代數(shù)余子式.則稱A為A的伴隨矩陣2.矩陣A與其伴隨矩陣A的關(guān)系及

2、其證明=detAAi.*11*2.1AA=AA=detAI.當(dāng)A可逆時，有A=A,即AdetA證明：因為aiiAjiai2Aj2ainAjndet人,若i=j,0,若i=j;aiiA1ja2iA2janiAnjdet人,若i=j,0,若i二j；'detA00；0detA0.*.*.所以AA=AA=：l=detAI.<00detA,當(dāng)A是可逆矩陣時，detA#0,所以由上式得1detA1*AA<detAA，detA證畢.一T*i*T一.2.2(A)=(A).(顯然)1*2.3若A可逆，則(a)=(A).(顯然)0r(A)<n-12.4 設(shè)A為n階方陣(n之2),則r(A

3、)=1r(A)=n-12.nrA=n引理1.若n父n(n之2)矩陣A,B滿足AB=0,則r(A)+r(B)<n.證明因為AB=0,所以B的列向量是以A為系數(shù)矩陣的齊次線性方程的解向量.若r(A)=n，則detA#0.由克拉默法則知，方程只有零解，從而B=0,進(jìn)而r(B)=0；若r(A)=r<n,則方程組的基礎(chǔ)解系中含n-r個向量，于是r(B)Wn-r,因此有rArB<n.證畢.下面證明2.4.*當(dāng)r(A)<n1時，A的每一個n-1階代數(shù)余子式都為零.所以A為零陣，所以r(A)=0.*當(dāng)r(A)=n1時，detA=0,AA=detAI=0.由引理1知，r(A)+r(A”n

4、.因為*r(A)=n1則r(A浮n(n1)=1，知A至少有一個n1階子式不為零.即A至少有一行不全為零.所以r(A*)至1.因為r(A*)1,從而r(A*)=1.*當(dāng)r(A)=n時，A可逆，由1知，A也可逆.所以r(A)=n.證畢.2.5 detA*=(detA尸.當(dāng)A可逆時，A*=detAA"._*_一nn1所以detAu'detAdetA=detA.當(dāng)A不可逆時，r(A)<n-1,detA=0.i)當(dāng)n22時*r(A)<n1,由2.4知r(A)=0.所以detA=0.n1r(A)=n-1,r(A)=1<n,detA=0.則detA=(detA)=02)當(dāng)

5、n=1時，detA=0,即A=0,detA=0,則detA=(detA)n'=0.證畢.detA2.6 當(dāng)A可逆時，若%為A的特征值，則一一是A*的特征值.當(dāng)r(A)<n-1時，A*的特征值為10零，并是n重的.引理2.設(shè)A可逆，若%為A的特征值，則工是A的特征值.10證明：若兒0=0，則由九0E-A=0得到_A=(1)；A=0，于是A=0,這與A可逆矛盾，同時由0E-A=0還有0=A|/EA=九0A,E=(1fE/A,=(1)”0n九0是A的特征值.因此一E-A-=0,即九0引理證畢.下面證明2.6.*不妨設(shè)A的特征值為入.則由AA=detAE有、*_*_1n兒_1九E-AA=

6、AlE-A1Al.A#0,這說明(1是a，的特征值.*由引理2知，二=一，所以九*A0若r(A*)=0,(即r(A)<n1)時，A*=0,所以A*的特征值九*=0且是n重的.若A為可逆矩陣，則A也是可逆矩陣.證明：由2.1即可得到此結(jié)論.若A為對稱矩陣，則A*也是對稱矩陣.(AB*=B*A*.=detBB,所以當(dāng)A,B均可逆時，A*=detAA",B*BA=det(AB)BA=det(AB)(AB)=(AB).當(dāng)A,B不都可逆時，則當(dāng)x足夠大時，存在x使得A+xIn,B+xIn均可逆，此時有*(A十xln)(B+xln)=(B+xln)(A+xln),這是關(guān)于x的恒等式，即x取零*時，該等式也成立，即(AB)=BA.證畢.若A為正交矩陣，則A也是正交矩陣.證明：T*若A為正交矩陣，則AA=AA=I且detA=±1,由2.2知A(A)=A(AT).再由2.9*.*T*.T*.T*知A(A)=A(A)=(AA)=I=I,所以A也是正交矩陣.證畢.,-*n_2(A)=AA,其中A是n階方陣(na21.*.一證明：因為AA=AA=|AE,所以1)當(dāng)A00時，A=AA.則(A*)=(AAa)=|aaAAj=AnA*A/廣VI=aa5A2)當(dāng)A=0時，由2.4知r(A)<1.當(dāng)n>2時，r（A*）=0，故（A*n2A.當(dāng)n=2