常微分方程(B)答案_第1頁(yè)
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常微分方程 試卷(B)答案：一. 填空題（每小題3分, 共15分） 1.; 2. ; 3. ; 4. ; 5. 二單項(xiàng)選擇題（每小題3分, 共15分） 1. C 2.C 3.C 4 . D 5. B 三. 求下列微分方程的解 ( 共36分) 1. 分離變量：（3分）積分，得通解（7分）2. 為伯努利方程. 令則（分） （4分） （6分） 得通解： （7分）令（分） 積分因子（分） 有 (6分)通解：（7分）的特征根：通解：（分）原方程特解設(shè)為：，（分）代入原方程，可得：即（分）所求通解為：（分）令代入原方程，可得：（2分）(5.1) （3分）兩邊對(duì)求導(dǎo) 或 （5分）于是有或 代入 (5.1), 得通解為 （6分） 特解 （7分）四特征根：（分）對(duì)應(yīng)特征向量 ；對(duì)應(yīng)特征向量 ；（分）基解矩陣 ，（分） （分）五（分）取則定正（分）定負(fù)，（分）故零解漸近穩(wěn)定 （分）六必要性: , 于是 (2分) (3分)故有僅依賴于的積分因子 (分）充分性：設(shè)為僅依賴于的積分因子為恰當(dāng)方程 (6分) (7分) 故為一階線性方程. (8分)七. 證明: 特征根: 對(duì)應(yīng)齊次線性方程通解: (2分)常數(shù)變易: 代入原方程, 取 (3分)解出 (4分)于是通

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