激光原理講義

1、第一章光學(xué)諧振腔理論光學(xué)諧振腔是激光器不可缺少的組成局部。它的作用是提供激光振蕩所必需的負(fù)反應(yīng)， 選擇振蕩模式，并且為激光輸出腔外提供一定的耦合。本章主要研究開(kāi)放式光腔。這類光學(xué)諧振腔通常由線度有限的兩面光學(xué)反射鏡相距一段 距離共軸放置而形成。 與微波波段的封閉式諧振腔相比擬，光學(xué)開(kāi)腔敞開(kāi)了側(cè)面邊界，以降低振蕩的本征模式數(shù)目。 兩面反射鏡之間的軸向距離，稱為腔長(zhǎng)。腔長(zhǎng)遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)，也遠(yuǎn)大于反射鏡的線度，一般為厘米或米的量級(jí)。一面反射鏡的反射率盡量接近1,以減小能量的損失，另一方面反射鏡具有適當(dāng)?shù)耐高^(guò)率，以便能夠輸出一定的能量。對(duì)于開(kāi)腔式光腔的處理方法主要有兩種，一種是建立在衍射理論根底上的，另一

2、種是建立在幾何理論根底上的。 為了對(duì)諧振腔理論有個(gè)較全面的理解，本章對(duì)那些不能用幾何光學(xué)理論研究的諧振腔， 那么以方形對(duì)稱共焦腔為例，采用衍射理論進(jìn)行研究討論， 對(duì)于兩面球面腔等，采用幾何光學(xué)理論的處理方法，其中包括一些等效方法。第一節(jié)光學(xué)諧振腔概論如圖1 - 1所示，考慮一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,l矩形諧振腔中的本征模式，麥克斯韋方程的本征解的電場(chǎng)分量為：L /丄、L 兀.5 兀"''P 兀 3,n,ptEx(x, y, z,t) = E°sin x |Sin y ico z e Pia丿ib丿 l丿'm兀)'n兀)(p兀 1左 tEy(

3、x, y, z,t) = E0 cosx isin y isin z e、，n，P(1.1- 1)I a丿i b丿i丨.丿l /丄、l 務(wù)兀)'n 兀1 兀 l.ptEz(x, y, z,t) = E0 sin x cos y sin z eia丿ib丿il丿其 中波矢 k = kxexkyey kzez,kx 二 m二 /a,ky 二 n二 /b,kz 二 p二 /1(m, n, p =0,1,2,3，)，諧振角頻率：m,n,p二 c/kc.m二 / a亠n二 / b亠p二 / I ?(1.1- 2)1. 1. 1 式說(shuō)明在x, y, z三個(gè)方向上，每一個(gè)本征模式的空間分布都是穩(wěn)定的

4、駐 波分布，任意m, n, p表征一種空間駐波分布。每一個(gè)本征解代表場(chǎng)的一個(gè)模式，因此km,m,p代表一個(gè)模任意m, n, p代表一個(gè)模式，稱為模指數(shù)?；蛘呷我庖粋€(gè)分立的波矢 式。在波矢空間中圖 2-2,相鄰兩個(gè)模式波矢之間的間距:zy(1.1 3)Jinnkx, %，也abl因此，一個(gè)模式在波矢空間中占有體積:昵：ky ：kzabl V(1.1 4)其中V為空腔體積。在波矢空間中，波矢絕對(duì)值在k k d k范圍球形殼層內(nèi)的體積為4兀|k?d k1/8 =8兀4+2dv/c3 v = ck /2兀為光頻率，因此在頻率* v +dv范圍內(nèi)模式數(shù)目：8*v2d¥/AkxAkykz =4兀

5、V+2dv/c3。考慮到對(duì)于每一個(gè)波矢所代表的模式存在兩個(gè)獨(dú)立的偏振方向，在單位體積、單位頻率間距內(nèi)模式數(shù)目模式密度：(1.1 5)1.1.5 式說(shuō)明在空腔內(nèi)，模式數(shù)目與頻率的平方成正比。這個(gè)現(xiàn)象稱為頻譜濃縮。當(dāng)頻率在光波段時(shí)，空腔內(nèi)存在大量允許的模式。例如波長(zhǎng)為'=0.6326m的紅光，在1cm3體5積內(nèi)，1MHz頻率范圍內(nèi)，模式數(shù)目近似為：2如0。但在微波波段& =1cm ,同樣體積和頻率范圍內(nèi)的模式數(shù)目只有幾個(gè)，模指數(shù)m, n，p = 0, 1, 2。用這樣一個(gè)三維空腔來(lái)構(gòu)成一個(gè)微波諧振腔，可以實(shí)現(xiàn)單模振蕩。但構(gòu)成光學(xué)諧振腔， 由于腔內(nèi)存在大量模式， 不易實(shí)現(xiàn)單模振蕩。

6、假設(shè)將z方向的限制去掉，成為 z方向開(kāi)放兩 維矩形諧振腔，那么沿 z方向傳播的光不能形成振蕩，振蕩模式將減少，此時(shí)模式密度為：c4jiv廠1.1-6C進(jìn)一步將y方向或x方向限制去掉，成為兩維開(kāi)放的一維諧振腔，實(shí)際上成為一個(gè)法布里-珀羅干預(yù)儀結(jié)構(gòu)，模式密度將變?yōu)橐粋€(gè)常數(shù)。 這就是最早提出的光學(xué)諧振腔，是兩維開(kāi)放兩個(gè)平面反射鏡平行放置的光學(xué)諧振腔。這樣一個(gè)橫向邊界開(kāi)放的光學(xué)諧振腔，有沒(méi)有電磁波本征模式，怎樣求解本征模式， 是曾經(jīng)受到置疑的一個(gè)問(wèn)題。1960年，F(xiàn)ox.Li等建立了基于衍射效應(yīng)的模式自再現(xiàn)積分方程，并用數(shù)值求解模擬了平行平面鏡腔模式自再現(xiàn)的過(guò)程。第一臺(tái)紅寶石激光器的實(shí)現(xiàn)證明了由兩個(gè)平

7、面反射鏡平行放置、兩維開(kāi)放的光學(xué)諧振腔能夠形成穩(wěn)定光學(xué)振蕩。在對(duì)稱共焦腔條件下，自再現(xiàn)積分方程成為可別離變量的積分方程。該方程在光軸附近的解為厄密-高斯函數(shù)。此結(jié)果可推廣到一般球面穩(wěn)定腔。高斯光束在光學(xué)系統(tǒng)中的變換理論使得上述結(jié)果可以進(jìn)一步推廣到多元件光學(xué)諧振腔中。開(kāi)放穩(wěn)定光學(xué)諧振腔的模式問(wèn)題得到較為完滿的解決。但平面反射鏡構(gòu)成的光學(xué)諧振腔，只有傳播方向垂直于鏡面的模式能夠在兩鏡之間振蕩，傳播方向偏離垂直鏡面方向哪怕是很小的角度，光就很快從反射鏡邊緣折射出腔外。因此， 很快就提出了由兩個(gè)球面反射鏡構(gòu)成開(kāi)放球面反射鏡腔。光在兩個(gè)球面反射鏡構(gòu)成的光學(xué)諧振腔中傳播時(shí)，傍軸光線在兩個(gè)球面反射鏡之間反射

8、情況決定于兩個(gè)球面反射鏡的曲率半徑 和他們之間的距離。 用幾何光學(xué)理論可以將其分為穩(wěn)定腔、臨界腔于非穩(wěn)定腔。 非穩(wěn)定腔的自再現(xiàn)模式可用球面波或平面波近似。光在兩個(gè)球面反射鏡之間的傳播，等效于在等間距的系列透鏡構(gòu)成的透鏡波導(dǎo)中的傳播。波動(dòng)方程在透鏡波導(dǎo)中的傳播，可在傍軸近似下對(duì)波動(dòng)方程進(jìn)行求解。這是求解開(kāi)放球面諧振腔模式的另一種方法。實(shí)際激光器的橫向邊界并不是真正完全不受約束。氣體放電鼓勵(lì)的氣體激光器，一般是在園放電管或陶瓷矩形波導(dǎo)中放電，當(dāng)放電管直徑較小時(shí)， 光束實(shí)際上在橫向受到一定的約束。這種腔稱為氣體波導(dǎo)腔。這種腔的橫模結(jié)構(gòu)通過(guò)求解波動(dòng)方程在波導(dǎo)中的本征解得到。半導(dǎo)體激光器的諧振腔是一種波

9、導(dǎo)結(jié)構(gòu)。光增益區(qū)域被高折射率的介質(zhì)包圍，形成類似 于光纖的波導(dǎo)。其橫模結(jié)構(gòu)也通過(guò)求解波動(dòng)方程的本征解得到。氣體波導(dǎo)腔和半導(dǎo)體激光的模式分析不在本書(shū)中涉及。在分析諧振腔模式結(jié)構(gòu)之前，我們討論激光器的振蕩條件。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，考慮平行平面鏡腔 激活介質(zhì)的光增益系數(shù)定義為圖1 - 3。假設(shè)兩平面反射鏡之間充滿了激活介質(zhì)，ln (1/1。)G -l(1.1-7)其意乂疋光強(qiáng)為I 0的光波，從長(zhǎng)為l的介質(zhì)棒的端面內(nèi)出發(fā)不考慮端面反射，到達(dá)另一端面時(shí)光強(qiáng)為I。當(dāng)|0很弱時(shí)，增益系數(shù) G =G°與光強(qiáng)無(wú)關(guān)。G0稱為小信號(hào)增益系數(shù)。經(jīng)過(guò)長(zhǎng)為|的介質(zhì)棒，光強(qiáng)指數(shù)增加G °|1 = 1 °

10、;eG 1?？紤]到可能的損耗，光強(qiáng)應(yīng)為:-為損耗系數(shù)。由于光強(qiáng)正比于光波電場(chǎng)振幅的平方，初始電場(chǎng)振幅為過(guò)長(zhǎng)為I的介質(zhì)棒后，電場(chǎng)為設(shè)反射鏡 MM2的振幅透射率分別為r1、r2，振幅反射率分別為t1、M1鏡入射振幅為Eo的平面波，透過(guò) M1鏡并經(jīng)過(guò)長(zhǎng)為I的增益介質(zhì)，從E(0) 0址2占宀/2的在腔內(nèi)往返一周后，從M2鏡透射，場(chǎng)為E(1)二£0叩2如2占川2叩在腔內(nèi)往返n周后，場(chǎng)為匚(n) _ E rnrnt t e(G0 _ ：.)l / 2 Jkl )(2n 1)E 二 E°12 t112 e從M2鏡透射的場(chǎng)為多光束干預(yù): 二 0E 八 E(n)八 E02n2nt1t2e(2

11、n1)(G 亠/2妙 n =0(G0 .:)l/2 _ikle(G° 一 -)l 2kl1 -r1r2en =0-E0t1t2自激振蕩意味著對(duì)于初始極其微弱的入射場(chǎng)Eo，會(huì)產(chǎn)生有限輸出場(chǎng) E 。(1.1 - 8)Eo的平面光波，經(jīng)(1.1 - 9)t2。假設(shè)初始時(shí)從M2鏡透射，場(chǎng)為(1.1 - 10)(1.1- 11)(1.1 - 12)(1.1- 13)因此E/Eo(1.1- 14)從而(1.1- 15)上式可分解為兩個(gè)條件2kl =2 二q (q =0,1,2,3,)G0 八 _ ln(12)(1.1- 16)- 21.第一式表示平面波從腔內(nèi)任意位置出發(fā)，形成最大相干增長(zhǎng)。這個(gè)條

12、件也稱為光學(xué)正反應(yīng)條件。寫(xiě)成頻率表達(dá)式，這個(gè)條件為在腔內(nèi)往返一周后，相位滯后為2二的整數(shù)倍,(1.1 - 17)可見(jiàn)有無(wú)窮多個(gè)等間距的分立頻率滿足振蕩要求。考慮到橫模結(jié)構(gòu)后，這個(gè)條件將作修改。 詳細(xì)情況將在第五節(jié)再作說(shuō)明。初始入E°tiEotie(Gj 射波E0Eotir2e(GO2l/2Jk21Eoti2e(G WEotit2e(GJl/2klEorir2tie(GOQ21/2JK21Eorir2tie(GO w31E0rir2tit2e(GO)3/23klEori2r22tie(GO®1/2Jk241。霸也心-河2*卜A> ?C> >:-E°

13、rinr2ntit2£0申22氐90心1/2241 £曲222心郵/2"Eori2r22tit2e(G)5/25kle(G°_、)/2_ikl)(2n 1)圖1-3腔內(nèi)填充增益介質(zhì)平面反射鏡腔的多光束干預(yù)輸出2.第二式表示自激振蕩的能量要求，表示從增益介質(zhì)獲取的能量等于損耗的能量。這個(gè)條 件實(shí)際上是穩(wěn)定振蕩的條件，即從增益介質(zhì)獲取的能量等于損耗能量。但是真正穩(wěn)定振蕩條件因該考慮到增益介質(zhì)的飽和效應(yīng)第五章。在飽和效應(yīng)下，增益系數(shù)比小信號(hào)增益系數(shù)低。此條件應(yīng)為G0>a -In (叩2)(1.1- 18)損耗包括兩局部，一局部為腔內(nèi)損耗， 另一局部為兩個(gè)

14、反射鏡透射損耗。表示成光強(qiáng)反射率R=，R=Q2,此條件為(1.1 19)In (RR(2)2I實(shí)際激光器一般把一個(gè)反射鏡作成全反射鏡R=1,另一個(gè)作成局部透射鏡R2 =1 -T。此時(shí)1.1 19式為Go In 0-TG1.1 22l實(shí)際激光器并不需要初始從腔外輸入微弱場(chǎng)以觸發(fā)自激振蕩。腔內(nèi)初始一個(gè)光子的微弱自發(fā)輻射即可以使激光器振蕩。這和電路振蕩器的情況類似。練習(xí)1與電路振蕩器比擬，討論1.1 16 所代表的兩個(gè)振蕩條件的物理意義。練習(xí)2.說(shuō)明振蕩條件2kL =：2:q為什么又叫駐波條件。當(dāng)其中一個(gè)反射鏡有的反射相移時(shí)這個(gè)公式應(yīng)該怎樣修改？練習(xí)3.推導(dǎo)公式1.1 17。第二節(jié)開(kāi)放光學(xué)球面諧振腔

15、的穩(wěn)定性光線變換矩陣開(kāi)傳輸軸線z的距離r以及光線傳輸方向與軸線 z的夾角 用，在旁軸光線近似下，是用變換矩陣傳輸矩陣所代表的。幾何光學(xué)中常見(jiàn)的光學(xué)系統(tǒng)，往往是由各種均勻介質(zhì)、非均勻介質(zhì)、透鏡、反射鏡、折射率突變的界面以及它們的組合而構(gòu)成的。當(dāng)光線入射到光學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)參考平面RP1,由況下，光線用矩陣表示，光學(xué)系統(tǒng)的變換矩陣用BD矩陣表示，其變換關(guān)系為:f 、r2 U'ABg丿2D丿®丿比1(1.2-1 )其中下標(biāo)1 , 2分別代表入射、出射參考平面處的光線參數(shù)。示。r與二的符號(hào)規(guī)定如圖1-3所圖1-3 r與B符號(hào)的規(guī)定常見(jiàn)的光學(xué)系統(tǒng)變換矩陣如表1-1所示。在該表給出的變換矩陣

16、中，一局部變換矩陣是對(duì)折射光線而言，另一局部變換矩陣是對(duì)透射光線而言，分別稱為折射矩陣和透射矩陣。從另一個(gè)參考平面 RP2出射時(shí)，光線的參數(shù)發(fā)生變化。 在幾何光學(xué)中，光線的參數(shù)可以用離 日表示。光學(xué)系統(tǒng)對(duì)光線的變換作 在所討論的軸對(duì)稱系統(tǒng)的情表中還涉及球面反射鏡或者介質(zhì)分界面，必須規(guī)定球面曲率半徑R的符號(hào)。本書(shū)中規(guī)定當(dāng)球面的凹面朝向與Z軸方向相同時(shí)R<0 ;反之，R>0。類似地規(guī)定，會(huì)聚透鏡的焦距f>0,發(fā)散透鏡的焦距f<0。另外，我們還規(guī)定，光線的傳輸方向與Z軸的傳輸方向一致。因此，對(duì)于折射光線，Z 軸方向未作改變；對(duì)于反射光線，其傳輸軸線的方向?qū)嶋H上是入射光線傳輸軸

17、線的相反方向。需要指出的是，在表1-1所列的變換矩陣中涉及從一種介質(zhì)折射率為nJ到另一種介質(zhì)折射率為n2的，其變換矩陣滿足(1.2-2)detT =AD _BC = n"?而對(duì)于大局部的變換矩陣，只要是參考平面RP1和RP2同處于一種介質(zhì)折射率相等中(1.2-3)時(shí)，其變換矩陣的值滿足：detT 二 AD - BC = 1因此變換矩陣的四個(gè)元素中，僅有三個(gè)元素是獨(dú)立的。 在今后的討論中， 會(huì)經(jīng)常使用到變換矩陣的這一性質(zhì)。光線在諧振腔中往返一周變換矩陣圖1-4所示的兩鏡諧振腔中，光線的往返傳輸，可以等效為在透鏡波導(dǎo)中的傳輸。兩面圖1-4開(kāi)放球面腔球面反射鏡，變?yōu)橥哥R波導(dǎo)中的透鏡，其焦距

18、f滿足因此，以M1為參考平面，往返一周的變換矩陣T為:(1.2-4)fi=Rj/2(i=1,2)選擇參考平面 RP位于反射鏡M1處，計(jì)算往返一周的變換矩陣。當(dāng)光線順序穿過(guò)由多 個(gè)首尾相連的光學(xué)元件組成的光學(xué)系統(tǒng)時(shí)， 光學(xué)系統(tǒng)的變換矩陣等于所有光學(xué)元件變換矩陣 Ti反序乘積：(1.2-5)T =TnTi T1'1盯1肓1叩L;2/片 1丿 1人2/R2 1丿9 1丿2Lr22L(1 £22 4LRi R2 Ri R2生1Ri2LR1)(1(1.2-6)當(dāng)光線在腔內(nèi)往返傳輸n次時(shí)，出射光線心與入射光線"滿足®出丿e丿FTDn丿®丿(1.2-7)根據(jù)矩

19、陣乘法法那么，可以得到：A = ksin(nd) -sin(n 一1沖】/sin® Bn = Bsi n( M) /si n© Cn = Csin(n )/sin Dn 二 Dsin(n )-sin(n-1) !/sin 其中(1.2-8)= cos(1.2-9)諧振腔的穩(wěn)定性條件當(dāng)諧振腔往返一周變換矩陣對(duì)角元滿足1-1 A D :1 1.2-102時(shí)，也就是由式1.2- 9確定的實(shí)數(shù)角度存在時(shí)，總是存在兩個(gè)正整數(shù)n和m，使得n =2m二(1.2-11)從而使得Bn =勺Dn廠©(1.2-12)fr、方面，當(dāng)滿足式1.2-10時(shí)，光線r在腔內(nèi)往返厲丿n次后，仍然會(huì)

20、回到原來(lái)的狀態(tài),諧振腔具有能夠自在現(xiàn)的光線狀態(tài)。另一方面，由于An、Bn、Cn、Dn為有限值，不會(huì)因?yàn)閚的增加而無(wú)限制的增大，光線參數(shù)rn及片為有限值，旁軸光線就能在腔內(nèi)往返無(wú)限多次而不會(huì)橫向逸處腔外。式1.2-10稱為諧振腔的穩(wěn)定性條件。滿足穩(wěn)定性條件的諧振腔是穩(wěn)定腔。對(duì)于穩(wěn)定腔而言，腔內(nèi)能夠存在自在現(xiàn)的光線狀態(tài)，該光線狀態(tài)就是諧振腔的本征模 式或者自在現(xiàn)模式自洽模式。穩(wěn)定腔的本征模式在腔內(nèi)往返時(shí)不會(huì)逸處腔外，因此，穩(wěn) 定腔的幾何偏折損耗為零。對(duì)于所討論的諧振腔，將式1.2-6的結(jié)果代入，穩(wěn)定性條件可表示為：L 丫 L、/、0< 1 丨1_1<1 1.2-13< R1人R2

21、丿定義腔的g參數(shù)為：gi=1-書(shū) i =1,2 1.2-14Ri那么穩(wěn)定性條件可以寫(xiě)為：0 ：為也2 ：1 1.2-15諧振腔的穩(wěn)定性反映了諧振腔固有的性質(zhì)。該性質(zhì)不會(huì)因?yàn)閰⒖计矫娴倪x取而改變。因此，可以證明，只要諧振腔的幾何參數(shù)是確定的R|、R2、L給定，無(wú)論如何改變參考平面的位置，1A D均為常量。2以g1為橫坐標(biāo)，g2為縱坐標(biāo)，式1.2-15所規(guī)定的穩(wěn)定區(qū)域，位于圖1-5坐標(biāo)軸與gp? =1的雙曲線之間的區(qū)域，具有不同的g參數(shù)，其位置也標(biāo)注在該圖上。滿足gg2 =0或者gg2 =1條件的諧振腔是臨界腔。 對(duì)該類諧振腔要作具體的分析。例 如，當(dāng)R1 = R2 = R時(shí)，g1 =g2 =0

22、,兩面反射鏡的焦點(diǎn)重合，并處在諧振腔的中心處L/2 ,這種對(duì)稱共焦腔實(shí)際上是穩(wěn)定腔。這是因?yàn)椋瑢?duì)稱共焦腔往返一周變換矩陣T為(-10、T=J( 1.2-16)3 一1丿因此，當(dāng)往返兩次時(shí)，可以形成T2，意味著旁軸光線在腔內(nèi)的往返傳輸兩次即可自行閉合，即實(shí)現(xiàn)自再現(xiàn)，同時(shí)光線可往返無(wú)限次而不逸出腔外。 共焦腔的模式特性只能 用衍射理論來(lái)處理。在衍射理論中，首先分析共焦腔的情況，然后再將結(jié)果推廣到一般球面 穩(wěn)定腔中。共焦腔在腔的模式理論中有重要地位。諧振腔的幾何光學(xué)理論是建立在高斯光束或者幾何光學(xué)球面波的ABCD定律的根底上。下面將會(huì)看到，基于衍射理論給出的開(kāi)放諧振的基模是高斯光束，而非穩(wěn)定諧振腔模

23、式是球面波。這兩類模式在相應(yīng)諧振腔內(nèi)的往返，實(shí)際上是諧振腔相應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)對(duì)模式反復(fù)屢次地變換，這種變換服從 ABCD定律。當(dāng)形成穩(wěn)定振蕩時(shí)，對(duì)于穩(wěn)定諧振開(kāi)腔，變換前的高斯 光束復(fù)曲率半徑q與變換后的高斯光束復(fù)曲率半徑q相等；對(duì)于非穩(wěn)定諧振開(kāi)腔， 變換前的球面曲率半徑與變換后的高斯光束復(fù)曲率半徑相等。因此，按照幾何光學(xué)理論，諧振腔的本征模式，就是諧振腔的自再現(xiàn)模式。無(wú)論采用哪種理論，諧振腔本征模式都是建立在自再現(xiàn)的概念上。在衍射理論中，只 要考慮到所有的因素，就可以獲得相應(yīng)的本征模式， 即它不一定是高斯模式或者球面波模式。 換句話說(shuō)，衍射理論可以獲得精細(xì)的本征模式場(chǎng)分布。而幾何光學(xué)理論要求ABCD

24、定律成立的條件，所以只能適用于高斯光束或者球面波本征模式的諧振腔。由于幾何光學(xué)理論的簡(jiǎn)潔性，在大多數(shù)的工程實(shí)際問(wèn)題中獲得了廣泛的應(yīng)用。練習(xí)1證明穩(wěn)定性條件1.2- 10與光線初始位置選擇無(wú)關(guān)。練習(xí)2證明平凹腔Rt = R2 = R的穩(wěn)定性條件為R L練習(xí)3證明凹凸腔Ri0, R2 :：: 0也可能是穩(wěn)定的，但平凸腔R ：,R2 :：: 0 一定是非穩(wěn)定的。練習(xí)4畫(huà)出1.2 16所表示的共焦腔內(nèi)傍軸光線光路圖。圖1 5穩(wěn)區(qū)圖多元件諧振腔的穩(wěn)定性判別式1.2-10 可以用于多元件諧振腔的穩(wěn)定性判別。實(shí)際激光器反射鏡往往和增益介質(zhì) 是別離的，或者在腔內(nèi)不可防止需要插入光學(xué)元件。有的激光器諧振腔需使用

25、三鏡折疊結(jié)構(gòu)。這些光學(xué)諧振腔和以上介紹的兩個(gè)球面鏡腔都有很大區(qū)別。下面討論兩種種常見(jiàn)多元件諧振的穩(wěn)定性判別。1.腔內(nèi)有介質(zhì)棒如圖1 6,兩鏡之間有一增益介質(zhì)棒，長(zhǎng)度為 I，折射率為 。光線穿過(guò)此介質(zhì)棒的變換矩陣為1 0、1 m 10廣 11/2T| =<0丿0 1人0 1/n丿衛(wèi)1丿所以介質(zhì)棒的等效長(zhǎng)度為(1.2-16)L 1 丫11 n、L+l(1/H -1)、1 A01丿1 丿Tl 二Leff(1.2-17)腔的等效長(zhǎng)度為=L 11/-1。光線在腔內(nèi)往返傳播一周的矩陣為l / 不是光學(xué)長(zhǎng)度。因此光線從第一個(gè)鏡面出發(fā)，穿過(guò)介質(zhì)棒 到達(dá)第二個(gè)鏡面的傳播矩陣為(1.2-18)R1 <

26、T 二TrJlTrJl圖16腔內(nèi)有介質(zhì)棒的諧振腔穩(wěn)定性條件為L(zhǎng)effR1Leff、! 1 <1人R2丿(1.2-19)2平凹腔內(nèi)插入薄透鏡如圖1 7所示，在平面鏡和凹面鏡之間插入一薄透鏡。光線從透鏡入射，經(jīng)過(guò)距離l1的均勻空間，受平面鏡反射，再經(jīng)過(guò)距離11的均勻空間，最后從透鏡出射后變換矩陣為T(mén)f,I10 丫1 2|1 丫 1<-1/F1 人01 人-1/F1-2l1/F2l1I(1 _2IJ/F _2lJF +1(1.2-20)光線在腔內(nèi)往返傳播一周的矩陣為(1.2-21)當(dāng) h 二 F 時(shí)，Tf,|1-1 2F-1-2l 2F0R (F l)/R1 丿T 二 TrTTf,&qu

27、ot;Anuv «圖1 7平面鏡和凹面鏡之 間插入薄透鏡穩(wěn)定性條件為(1.2-22)I :：: F d R簇表1-1反射憲1 QX J反財(cái)拒薛7千KI'j.RP,F(:)反射距陣3反射蜿>t -¥0TJ反射矩薛RPt怦丄丄CDS皿 器圖打 一眄fft crnfii J1 r>0透射矩薛HPIRI1 L.ih * r . f-J1Achfli -sh/arl咼h農(nóng)曲曲J査就拯陣第三節(jié)光學(xué)諧振腔的損耗一個(gè)有實(shí)際意義的光學(xué)諧振腔，損耗總是不可防止的。光學(xué)損耗和激活介質(zhì)提供的增益 決定了激光器能否自激振蕩，當(dāng)激活介質(zhì)提供的小信號(hào)增益系數(shù)大于光學(xué)損耗所決定的損 耗

28、指數(shù)因子時(shí)，激光器形成自激振蕩；否那么激光器不能形成自激振蕩。當(dāng)激光器形成自激振 蕩后，對(duì)于確定的激光頻率和小信號(hào)增益系數(shù)，光學(xué)損耗決定了激光器輸出功率的大小。光學(xué)諧振腔的損耗主要有以下機(jī)制。(1) 輸出損耗：激光器總是輸出一定的激光功率，一般是將兩個(gè)反射鏡的一個(gè)作成全反射鏡，另一個(gè)作成局部透射鏡，作為激光器的耦合輸出反射鏡的局部透射對(duì)于諧振腔來(lái)說(shuō)是一種損耗。(2) .衍射損耗：激光器的橫向孔徑總是有限的，光波在橫向邊緣上的衍射會(huì)使局部能 量逸出腔外。分析說(shuō)明，衍射損耗僅依賴于腔的菲涅爾系數(shù)。(3) 幾何偏折損耗：當(dāng)光線參數(shù)較大時(shí)，光在腔內(nèi)經(jīng)過(guò)有限次往返傳播后會(huì)偏折出腔 外。對(duì)于穩(wěn)定腔，幾何偏

29、折損耗為零。(4) 吸收、散射損耗：激活介質(zhì)的非共振吸收，材料雜質(zhì)對(duì)光的散射等造成的損耗。(5) 插入損耗：實(shí)際的激光器常常需要在諧振腔中插入光學(xué)元件，例如布儒斯特窗口， 波片，電光調(diào)制器，聲光調(diào)制器等等。這些元件或器件總是不可防止地要帶來(lái)一些損耗。光學(xué)諧振腔的損耗一般用平均單程損耗指數(shù)因子、：，腔內(nèi)光子平均壽命.R，Q值以及無(wú)源腔線寬.Wc來(lái)描述。這些參數(shù)是從不同角度反映諧振腔的損耗，在不同場(chǎng)合引用不同的參數(shù)。例如，在反映諧振條件的關(guān)系式中，使用平均單程損耗指數(shù)因子；在速率方程中，使 用腔內(nèi)光子平均壽命；在調(diào) Q技術(shù)中，引用Q值概念；在考慮增益介質(zhì)對(duì)諧振頻率的牽引 效應(yīng)時(shí)，用無(wú)源譜線寬。平均

30、單程損耗指數(shù)因子、考慮圖1-4所示的諧振腔，假設(shè)從某一參考平面RP出發(fā)的光束光強(qiáng)為|0，經(jīng)過(guò)腔內(nèi)往一周(即兩個(gè)單程)后，因?yàn)楦鞣N損耗指數(shù)使得光強(qiáng)變?yōu)镮1，諧振腔平均單程損耗指數(shù)因子:可定義為：1 I、=-1 n(-°)(1.3-1)2 11即：丨1 =loexp(2、J(1.3-2)假設(shè)諧振腔兩個(gè)反射鏡對(duì)特定光頻率的功率反射系數(shù)分別為R和R，腔內(nèi)其它的所有損耗用平均單程損耗指數(shù)因子a表示。顯然，在經(jīng)過(guò)往返一周的傳輸后，有：丨1 = l°RR exo( -2a)(1.3-3)根據(jù)式(1.3- 1),有(134)£nR<1)R(2)腔內(nèi)光子平均壽命r假設(shè)初始光強(qiáng)

31、為Io的光束在腔內(nèi)往返 m次后的光強(qiáng)為Im，所需時(shí)間為t,那么I m =l°exp( -2m )t = 2mL/c其中L為諧振腔的腔長(zhǎng)。由上兩式可以得到：I (t) = I ° exp( -t/ . r)(1.3-5)式中r=L/、c(1.3-6)因?yàn)榭蓪⒐鈴?qiáng)表示為：I ° = Nohv.; I (t) = N (t) hv其中：為傳播速度，而N。和N(t)為t=0及t時(shí)刻腔內(nèi)光子數(shù)密度，那么(1.3- 5)可寫(xiě)為(137)N(t) =N0exp(-t/ .r)上式說(shuō)明，由于損耗的存在，腔內(nèi)光子數(shù)密度將隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)衰減。當(dāng)t-R時(shí),光子密度減少至t =0時(shí)刻光

32、子數(shù)密度的1/e。可以證明，腔內(nèi)N0個(gè)光子的平均壽命t就等N。Q0o't(N.R(138)v為頻率。(1.3-9)(1.3-10)(1311)(1.3-12)因此，諧振腔的損耗可以用腔內(nèi)光子平均壽命.R表示。損耗越小，越小，.R越大，也就是說(shuō)腔內(nèi)光子的平均壽命越長(zhǎng)。諧振腔的品質(zhì)因數(shù)Q和LC振蕩電路、微波諧振腔類似，光學(xué)諧振腔的品質(zhì)因數(shù)Q定義為ZQ = 2 V P其中；為腔內(nèi)儲(chǔ)存的總能量，P為單位時(shí)間損耗的能量,假設(shè)用V表示諧振腔的體積，那么腔內(nèi)儲(chǔ)存的總能量為；-N(t)hvV由于損耗，單位時(shí)間內(nèi)損耗的能量為：dzdN(t)PhvVdtdt利用式(1.3-7 )以及其它相關(guān)公式可以得到：

33、Q = ， r = 2 _：vR 5c因此，光子平均壽命越長(zhǎng)。諧振腔的品質(zhì)因數(shù)越高。無(wú)源腔本征模式帶寬按照式1.3 5,腔內(nèi)光強(qiáng)隨時(shí)間t變化，其對(duì)應(yīng)的光場(chǎng)可以表示為Et二 Eoe/2 Reot 1.3-13根據(jù)傅立葉變換，可以求出光場(chǎng)隨頻譜的變化E.以及功率隨頻譜的變化 | EC . |2，從而得到其半高全寬HMFW 的頻譜寬度沁:1 c,：vc 1.3-142航R 2此還可以得到：.：vc/v =1/Q 1.3-15從上面可以看出，無(wú)源腔本征模式帶寬 ：Vc與腔內(nèi)光子平均壽命-R成反比，與單程損耗指數(shù)因子成正比。實(shí)際上，無(wú)源腔本征模式帶寬Avc反映了諧振腔對(duì)頻率的響應(yīng)特征。§ 1.

34、1中已經(jīng)指出，光學(xué)諧振腔的振蕩頻率vq =竺，由于場(chǎng)隨時(shí)間的變化，使得場(chǎng)的頻譜q 2L是以Vq為中心頻率的一個(gè)分布。因此，諧振腔的振蕩頻率中的每一條譜線，實(shí)際上都具有一定的分布及寬度，該寬度就是本征模式帶寬. ：vc。可以看出，對(duì)某一頻率 v0，Q越高，該諧振腔對(duì)頻率響應(yīng)寬度就越窄，響應(yīng)峰值越高；反之，對(duì)某一頻率v。腔的品質(zhì)因數(shù)越低，其頻率響應(yīng)就越寬 Ave，而響應(yīng)峰值越低。因此，無(wú)論在什么波段，追求高的品質(zhì)因數(shù)Q，與追求寬的頻率響應(yīng)：vc，始終存在矛盾。單程損耗因子、光子壽命、Q值和無(wú)源線寬反映的是一個(gè)物理問(wèn)題-諧振腔的損耗。處理不同的物理問(wèn)題時(shí)使用不同的參數(shù)。考慮激光器的閾值問(wèn)題時(shí)， 使用

35、單程損耗因子； 考慮有源諧振腔的頻率牽引時(shí)，使用無(wú)源線寬；在速率方程中，使用光子壽命；在調(diào)Q激光器中，引用Q值概念。練習(xí)1證明1.3 6 式第四節(jié) 開(kāi)放諧振腔模式衍射理論模式自再現(xiàn)U°(x, y)"沿腔軸考慮圖1 -4所示的兩鏡諧振腔。假設(shè)初始時(shí)諧振腔中有一平面波 方向傳播，到達(dá)反射鏡Mi時(shí)，受到鏡邊緣的衍射，反射波Ui(x, y)不再是平面波；Ui(x,y)到達(dá)反射鏡M2時(shí)，受到鏡邊緣的衍射，反射波 U2(x,y)在鏡邊緣的幅度下降，等相位面發(fā)生變化，這個(gè)過(guò)會(huì)一致進(jìn)行下去 (圖1 - 8 )。每一次鏡邊緣的衍射都會(huì)始鏡邊緣的幅度下降， 等相位面發(fā)生變化。這個(gè)過(guò)程可等效于光

36、在一個(gè)孔闌傳輸線中的傳輸。經(jīng)過(guò)假設(shè)干次衍射后， 鏡邊緣的場(chǎng)幅度下降得非常微弱，每一次衍射損耗的比例趨近于常數(shù)，場(chǎng)的相位不再發(fā)生變化。如果兩鏡曲率半徑相同，那么兩鏡面上的場(chǎng)分布趨近于一致。此時(shí)波從一個(gè)鏡面?zhèn)鞑サ搅硪粋€(gè)鏡面時(shí)，場(chǎng)分布會(huì)再現(xiàn)在第一個(gè)鏡面上的分布。這個(gè)過(guò)程稱為模式自再現(xiàn)。如圖1 9所示，第二個(gè)鏡面上的場(chǎng)可視為第一個(gè)鏡面上的衍射分布：平面波衍射后(a)(b)傳輸線)其中k為波矢,(V J,/ ui(x，y) uH (x, y) /L為兩鏡中心相距長(zhǎng)度。當(dāng)衍射次數(shù)n足夠大時(shí),Mi鏡面上的場(chǎng)到達(dá)M2Un i(x, y)二 M4 :圖I-9菲涅耳基基爾霍夫衍射積分中各,M.Un(x,y)xTy

37、：y5e 從個(gè)參量dxdy(1.4 1)鏡面上后分布相同，但由于衍射后傳播距離L,兩鏡面上的場(chǎng)差一常數(shù)因子(1.4 2)1Un 1(x, y) Un(x, y)因此(1.4-3)滿足此方程的場(chǎng)分布已與衍射次數(shù)無(wú)關(guān)。自在現(xiàn)場(chǎng)u(x, y)分布滿足積分方程重記為(1.4-4)u(x,y)二 u(x ,y)K(x,x, y, y)dxdy式中 K(x,x；y, y) = $ e稱為積分方程的核。實(shí)際光學(xué)諧振腔的長(zhǎng)度 L遠(yuǎn)大于鏡的橫向尺寸， 積分核分母中的 r可用L近似，COST 1。對(duì)于曲率半徑分別為 R,R2的兩個(gè)球面，可以證明(1.4-5)P(x,x；y, yj+gx2 + x J+g2(y2

38、+y，2 )2(xx*yyF共焦腔中自再現(xiàn)模近似解對(duì)于對(duì)稱共焦腔(gj =g2 =0)， P(x,x： y, y'= L-2(xx"+yy")/2L。積分方程簡(jiǎn)化為u(x, y)=蘭 eJkfu(x； y)eik%y'/Ldxdy2L(1.4 6)此積分方程是可以別離變量的_i(kL/2 -二/4)(1.4 7)u(x)=衣7=- Ju(x)eikxx/Ldx_i(kL/2 _二/4)u(y)=Yye 兀Ju(y)eikyy7Ldy式中x y =吋，'為波長(zhǎng)?？梢?jiàn)自再現(xiàn)場(chǎng)分布為其自身的付里葉變換，其解為厄密多項(xiàng)式和高斯函數(shù)的乘積-0Su(x, y)

39、=UoHm(1.4 8)式中os = L'/二稱為鏡面上的光斑半徑，Hm( ), H n ()為第m和n階厄密多項(xiàng)式Ho( ) =1 巴()=2(1.4-9)H2( ) =4 2 一2H3( ) =8 3 -12Hm=m：H前幾階場(chǎng)在x方向的分布如圖1- 10所示。圖1 10前三階模在%方向的場(chǎng)分布場(chǎng)在鏡面上為等相位面。 積分得到空間任意位置的場(chǎng)分布可由鏡面上的場(chǎng)通過(guò)菲涅耳-基爾霍夫衍射®0Um,n(X,y,z)=Cmn 韋Hm2y ©幕(x,y,z)嘰z)丿(1.4- 10)式中：.?(z)-Z打x, y, z) = k | f 1 + (1.4 11)2z/L2

40、l f 丿 1+(2z/L)X2 + y212f-(m n-arctg-2zy lL + 2z丿(1.4- 12)0 =%s / 2 = L /2二稱為光腰半徑,f二L/2二R二R2 , z方向的坐標(biāo)原點(diǎn)在兩鏡之間的中心。場(chǎng)振幅分布Um,n (X, y, Z) = CnHmn 右 HI2yx2 y2(1.4- 13)對(duì)于基模(m = n = 0),振幅分布為高斯函數(shù)_x2 看 _u°,0(x,y,z) = c°,o -e (1.4-14)(z)基模場(chǎng)光斑為圓形。在腔軸上(x = y = 0),場(chǎng)最強(qiáng)；偏離軸線，場(chǎng)指數(shù)衰減。腔軸上任意位置z處，場(chǎng)下降到中心的1/e=13.3%

41、時(shí)，徑向半徑r=co(z)。在腔中心(z = 0),光班半徑最小 (0 0。所以基模場(chǎng)振幅在腔內(nèi)對(duì)稱，腔中心光斑最小，腔中心兩側(cè)，光斑半徑隨z增加而增加。光束能量主要集中在土(z)決定的旋轉(zhuǎn)拋物面所包圍的區(qū)域內(nèi)(圖1 - 11)。_，(z)的接近線夾角定義為光束的發(fā)散角(1.4- 15).對(duì)于高階模，由于厄密多項(xiàng)式有零點(diǎn)，橫向光強(qiáng)分布為多個(gè)光斑。厄密多項(xiàng)式的零點(diǎn)所代表的直線兩側(cè)，場(chǎng)符號(hào)相反，說(shuō)明有:的相位躍變。例如(m = 1, n = 0)模，x= 0的坐標(biāo)軸上場(chǎng)為零，x>0時(shí)場(chǎng)振幅大于零；x<0時(shí)場(chǎng)振幅小于零；x軸兩側(cè)分別有一個(gè)橢圓形光 斑。模等相位面由下式?jīng)Q定"x,

42、y,z)二常數(shù)等相位面和坐標(biāo)軸(x= 0, y= 0, z= zo)的交點(diǎn)的相位(圖 1-12)仏2z 7©(OQ 勺)=k(f +勺)(m + n+1)二arctg 0(1.4 16)I21+%丿丿由、得到等相位曲面方程滿足:z/ fx2z_zo = _1 (z/ f)2 _2fi + arctg +2z丿9L-2z。L 2z0(1.4- 17)如果等相位面比擬平緩,在軸線附近,Z/ f Z0/ f，等相位面方程近似為2 2x + y z_z°廠1 (Z/f)2 2fZo / f(1.4- 18)此方程表示的曲面為拋物面，其頂點(diǎn)在x = 0, y = 0, z= zo,拋

43、物面的曲率半徑為If丿1.Z0>0,R aO,曲面右凹2.Z0<0,RcO,曲面左凹3.Z0= 0 ,R =«，腔中心曲面為平面4.Z0=± 2f, R =2 f - 士L ,等相位面于兩鏡面重合等相位面沿軸線方向的變化如圖1- 13所示。R = f(1.4- 19)1.2.2圓對(duì)稱情況下自在現(xiàn)模式如果兩個(gè)反射徑在徑向圓對(duì)稱，可在極坐標(biāo)下別離變量，自在現(xiàn)模式解為: mLmnUm,n(r, ,z"cf 士式中Lm為拉蓋爾多項(xiàng)式r22r e -2(z) (z)丄帕 cosmsin m®(1.4-20)z= 0圖1 - 13等相位面沿腔軸分布 在腔

44、 中心為平面，z>0,曲面右凹，z<0曲 面左凹L0()"Lm( ) =1 m -(1.4 21)L；( ) = *1 m 2 m 一2 2 m)】亠：2 1L：(),上衛(wèi) Ik=9 m k !k! n -k !m,n(X,y,Z)=k蘭 2Z/L 2X2f 1 (2z/L)2 2f-(m2 n-arctg+2z丿丿(1.4 22)基模場(chǎng)仍為咼斯函數(shù)r2(1.4 22)Uo0r,W, z =|coo|_e E灼其等相位面情況和前面的結(jié)果相同。拉蓋爾多項(xiàng)式為零的r代表圓環(huán)，cosm浮=0或sin m =0的:代表通過(guò)圓心的徑向線。因此高階模的光斑和前面情況有所不同。例如m=

45、 0, n = 1模式中心為亮斑，中心亮斑外為一暗環(huán)，暗環(huán)外為一亮環(huán)。高階模的衍 射損耗比低階模高。 低功率的激光器由于增益系數(shù)較低，高階模不易滿足振蕩條件， -般振蕩模式以基模為主。但有時(shí)會(huì)出現(xiàn)基模和較低階次的模式同時(shí)振蕩。此時(shí)較低階次模式的多個(gè)光斑會(huì)淹沒(méi)在功率較強(qiáng)的基模圓形光斑中，可用掃描干預(yù)儀觀察。高功率激光器由于增益系數(shù)較高，低階次模式容易振蕩。要抑制高階模振蕩需要采取一些特殊方 法。練習(xí)1證明1.4 5 式 練習(xí)1證明1.4 18式第五節(jié)一般球面穩(wěn)定腔模式此節(jié)把共焦腔自再現(xiàn)模式結(jié)果推廣到一般球面穩(wěn)定腔。球面穩(wěn)定腔與共焦腔的等價(jià)設(shè)一光波以等相位面 S入射到一個(gè)反射面上，反射面剛好與 S

46、重合(圖1 14)。波陣面 某一點(diǎn)的法線方向?yàn)樵擖c(diǎn)光的入射方向，那么反射面任意一點(diǎn)法線都與波入射方向相同，所以光波將沿入射路徑返回。在某一共焦腔的任意兩個(gè)等相位面上放置兩個(gè)反射鏡(圖1 15),反射鏡的曲率半徑等于某一共焦腔自再現(xiàn)模的等相位面曲率半徑(f2、R = _R(zJ = _ z1 + (1.5 1)(fn(R2 =R(Z2)= z2 +!、Z2 丿那么反射面與共焦腔自再現(xiàn)模的等相位面重合。上式第一式取負(fù)號(hào)是因?yàn)榉€(wěn)定性判據(jù)中反射鏡曲率半徑符號(hào)與自在現(xiàn)模等相位面符號(hào)規(guī)定不一致。S波陣面和 反射面重合圖1 14如射波的波陣面和反 射面重合，波沿入射路徑返回圖1 15兩個(gè)反射鏡反射面與某一共

47、焦 腔自再現(xiàn)模任意兩個(gè)等相位面上重合那么兩個(gè)反射鏡構(gòu)成一個(gè)開(kāi)放球面諧振腔，其腔長(zhǎng)為(1.5 - 2)L = z2 _ 乙設(shè)想在腔內(nèi)某一位置出發(fā)的共焦腔自再現(xiàn)模， 到達(dá)反射鏡時(shí)其波陣面剛好與反射鏡反射面重 合，將沿入射路徑返回， 到達(dá)另一反射鏡時(shí)， 波陣面又與另反射鏡反射面重合，再沿入射路 徑返回。回到出發(fā)位置時(shí)，模式再現(xiàn)初始時(shí)分布。因此，共焦腔自再現(xiàn)模式在腔內(nèi)往返一周后再現(xiàn)初始分布。所以這樣構(gòu)成的諧振腔的自再現(xiàn)模式與共焦腔相同。下面證明，此諧振腔是穩(wěn)定腔。此諧振腔的g參數(shù)為g= 1(1.5 - 3)L_(zz + f2 fZ1Z2 . f 2 2 . f 2 Z2 _ 乙 2所以此諧振腔滿足穩(wěn)

48、定性條件 0 ： g <1,是穩(wěn)定腔。這樣構(gòu)成的諧振腔有無(wú)窮多個(gè)。假設(shè)一個(gè)腔穩(wěn)定腔是穩(wěn)定的，如果能唯一找到一個(gè)共焦腔，那么穩(wěn)定腔的自在現(xiàn)模式由共焦腔自再現(xiàn)模式確定。數(shù)學(xué)含義是r,r2,l滿足穩(wěn)定性條件，Z1,Z2 (用于確定共焦腔中心與兩個(gè)反射鏡的距離)和共焦參數(shù) 內(nèi)唯一存在。由(1.5- 1)和(1.5 - 2)式可得zL(R2 - L)2L_R2L R -L2 2L_&_R2£2 L(R1 -L)(R2 - L)(R R2 - L)f _ 2(2L_R -R2 )其中第三式可表示成 g參數(shù)表達(dá)式f 1；g(1-g)f =Lr2gg2 t 7f是否在實(shí)數(shù)范圍(1.5-

49、4)(1.5 - 5)可見(jiàn)當(dāng)0 : g <1時(shí)，共焦參數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)唯一存在。我們實(shí)際上并不是真正關(guān)心共焦腔。當(dāng)一個(gè)穩(wěn)定腔的三個(gè)參數(shù)R1, R2, L給出后，由()式的第一或第二式可直接求出自在現(xiàn)模式的表達(dá)式中z坐標(biāo)零點(diǎn)于穩(wěn)定腔兩個(gè)反射鏡的距離。對(duì)于基模，Z1, Z2為光腰距離兩個(gè)反射鏡的距離。由第三式可求出表達(dá)式中的共焦參數(shù)f或基模光腰半徑0二. f /2二?？梢宰C明1.當(dāng)R ：0 (凸面反射鏡)，R2 0 (凹面反射鏡)時(shí)，Z1 0,Z2 0，光腰在左面腔外;2. 當(dāng)Ri 0 凹面反射鏡，R2 <0 凸面反射鏡時(shí)乙：0,Z2 ：:0,光腰在右面腔外；3. 當(dāng)Ri =二凹面反射鏡

50、，R2 . 0時(shí)平凹腔，zi -0，光腰在平面鏡面上。許多激光器使用平凹腔R - ：:, RR 0,其共焦參數(shù)為f 二.丄R匚L 1.5-6 諧振頻率穩(wěn)定腔與共焦腔的等價(jià)是指它們具有相同的橫模結(jié)構(gòu)。由于腔長(zhǎng)不同，諧振頻率是不同的，因此縱模不同。由于具有相同的橫模，所以第 m, n階模式在腔內(nèi)傳播時(shí)，相位為-:Z "1 + < f丿m,n(X,y,Z)二 k2z/L1 (2z/L)2x2+y212fji_(m + n +1)刁 _arctg(L+2z丿丿(1.5 - 7)矩形對(duì)稱情況r /%,n(x,y,z) =k |f 1-I f2 2.|+ - - X+yf 丿 1+(2z/

51、L)2 2f2z/L-(m2 n-arctg+2z丿丿1.5-8圓對(duì)稱情況諧振條件為模式在腔內(nèi)往返傳播一周后最強(qiáng)相干增長(zhǎng)，即往返傳播一周后相位滯后為2 -的整數(shù)倍，可表示為(1.5 - 9)2 m,n0,0,Z2- m,n0,0,Z1 2二qq=0,1,2,3,由上式和1.5-4式，可求出諧振頻率''m,n,qq 丄 m n 1 arccos、. g (矩形對(duì)稱情況)(1.5 - 10)m,n,qc 1譏 q 匚 m 2n 1 arccos圓對(duì)稱情況(1.5 - 11)其中q稱為縱模指數(shù)，m, n稱為橫模指數(shù)。1 對(duì)于平行平面鏡腔，g = 1, arccos g =0，諧振頻率

52、(1.5- 12)c2Tq顯然無(wú)窮多個(gè)分立頻率都是允許的諧振頻率圖1- 16,相鄰諧振頻率間距稱為縱模間距,是一個(gè)常數(shù)-q(1.5 13)這些分立的頻率都是允許的諧振頻率。但是實(shí)際激光器的振蕩頻率還要受到增益線寬的限 制。在增益線寬的限制下， 一般只有少數(shù)幾個(gè)模式能夠振蕩。這個(gè)問(wèn)題將在第三章中近一步說(shuō)明。1.5- 12式的含義是腔光學(xué)長(zhǎng)度為半波長(zhǎng)的整數(shù)倍(1.5- 14)物理含義是平面波在兩個(gè)反射鏡之間往返傳播形成穩(wěn)定的駐波圖1 - 17,波腹或波節(jié)的數(shù)目等于縱模指數(shù) q。此時(shí)從腔內(nèi)任意位置出發(fā)的平面波在腔內(nèi)往返一周后相位滯后2的整數(shù)倍，形成最強(qiáng)相干增長(zhǎng)。這個(gè)條件也稱為光學(xué)正反應(yīng)條件。由于波長(zhǎng)遠(yuǎn)小于腔長(zhǎng)，縱模指數(shù)q的數(shù)值很大。圖1 17平面波在平行平面鏡腔內(nèi)形成穩(wěn)定的駐波實(shí)際激光器腔內(nèi)介質(zhì)往往分段均勻的，諧振頻率應(yīng)為' m,n,qqi 2 iL(1.5 15)(1.5 16)(1.5 17)2對(duì)于共焦腔，g = 1, arccos. g，諧振頻率為cVm，n,q =+m + n +1 )(矩形對(duì)稱情況)cm，n，q = 27 q m 2n 1 (圓對(duì)稱情況) 諧振頻率存在簡(jiǎn)并現(xiàn)象。例如圓對(duì)稱情況下，m,