解三角形知識點及題型總結

1、根底強化8一一解三角形1 三角形三角關系：A+B+C=180 ; C=180° -(A+B);三角形三邊關系：a+b>c; a-b<csin(A B) si nC,cos(A B)cosC, tan (A B) tanC,銳角三角形性質：假設A>B>C那么60 A 90 ,0 C 60a b csin sin sin Casinbsincsin C=2RsinA2BcC;os ,cos2A B C + A sin ,tan 2B2+ C cot-223、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、C的對邊，R為C的外接a圓的半徑，那么有 bc2R .sinsinsi

2、n C4、正弦定理的變形公式：化角為邊：a2Rsin,b2Rsi n,c2Rsin C ；化邊為角：sina,sinbsin Cc2R2R，2R ； a : b: c sin:sin:sinC;2、三角形中的根本關系:兩角和其中一邊的對角，求其他邊角 的情況一解、兩解、三角形面積公式：.(對于兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解6、C 1bcs in27、余弦定理：在三解 )1 abs in C21 . acs in2.=2R2sinAsin Bsi nC=也=(a b c)4RC中,2bc cos，b22ac cos ，c2a2 b2 2abcosC .余弦定理的推論：cosb22a2bc

3、，coscosC2.2 2a b c2ab9、余弦定理主要解決的問題:兩邊和夾角，求其余的量。三邊求角5、兩類正弦定理解三角形的問題：兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角10、三角形的五心:垂心三角形的三邊上的高相交于一點 重心一一三角形三條中線的相交于一點 外心三角形三邊垂直平分線相交于一點 內心三角形三內角的平分線相交于一點旁心三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點與俯角，方向角與方位角題型一：求解斜三角形中的根本元素指兩邊一角(或二角一邊或三邊)，求其它三個元素問題，進而求出三角形的三線(高線、角平分線、中線)及周長等根本問題.例1. 1在 ABC中， A 45 , B 6

4、0 , a 42 cm，解三角形.2在 ABC 中，c ,6, A 45,a 2,求 b和 B,C .3在 ABC中，b 3,B 60 ,c 1,求a和A,C .4在厶 ABC 中， a 3 , b 、2 , B 45，求 A,C 和 c .5在厶ABC中，三邊長a3 , b 4 , c 37 ，求三角形的最大內角.si nC2在 ABC中，ABdsB,AC邊上的中線BD .5 ,6求sinA的值.1 .在 ABC 中，a題型二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關系式，判斷此三角形的形狀.例2. 1在 ABC中，a 2bcosC，那么此三角形一定是2在 ABC中，假設sinC 2cosAs

5、in B，那么此三角形必是3設 ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，假設a (b c)cosC ,那么 ABC的形狀是1、在 ABC 中，假設 lgsi nA lgcos B lg si nC lg 2,那么 ABC 的形狀是()A.直角三角形B.等邊三角形C.不能確定D.等腰三角形2 .在 ABC中，假設bcosC ccos B a si nA,貝U ABC的形狀為A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定題型三：與面積有關問題例 3、向量 m (sinx, . 3sinx), n (sinx, cosx),設函數(shù) f (x) m n,假設函數(shù) g(x)的圖象與f(x)的

6、圖象關于坐標原點對稱.(1)求函數(shù)g (x)在區(qū)間2,石上的最大值，并求出此時 X的值；在 ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，A為銳角，假設f(A) g(A)2b c 7, ABC的面積為23,求邊a的長.2 一1.、在 ABC中，內角A, B,C的對邊分別為a,b,c.cos A, si nB . 5 cosC.3(1)求tan C的值；(2)假設a 2,求 ABC的面積.2. ABC 的周長為 2 1，且 sinA sin B ，2si nC .I求邊AB的長；1II假設 ABC的面積為一sin C ,求角C的度數(shù).62 在銳角 ABC中，角AB, C所對的邊分別為a, b,

7、c， sin A1求題型之四：三角形中求值問題1.在 ABC中，A、 B、C所對的邊長分別為 a、b、c,設a、b、c滿足條件b2 c2 bc a2和- 丄.3，求 A和tan B的值b 2E 丁 肘號的值；2假設a 2 , & ABC d，求b的值。3 .在 ABC中，內角A, B, C對邊的邊長分別是 a, b, c，c 2 , CI假設 ABC的面積等于3，求a, b ；n假設 si nC sin(B A) 2si n 2A，求 ABC的 面積.題型五：解三角形中的最值問題例5.在厶ABC中，角A，B, C所對的邊分別為a，b, c,c 2，C -3(1) 求厶ABC周長的取值范

8、圍(2) 求厶ABC面積的取值范圍 ABC 中，角 A，B，C所對的邊分別為 a，b，c， cosC (cosA 3sin A)cos B 0 .1求角B的大??；(2)假設a c 1，求b的取值范圍2. ABC在內角 A,B,C的對邊分別為a,b, c,a b cosC csi nB.(I)求B ；( n )假設b 2,求厶ABC面積的最大值.3. a,b,c分別為 ABC的三個內角 代B,C的對邊，a=2，且(2 b)(sin A sin B) (c b)sin C，那么 ABC 面積的最大值為4. 設銳角三角形 ABC的內角A，B, C的對邊分別為 a，b，c，a=2bsinA.I求B的大

9、小；n求cosA+sinC的取值范圍.B C5. ABC的三個內角為 A、B、C，求當A為何值時，cosA 2cos取得最大值，并2求出這個最大值。題型六：圖形中的解三角形例6.如圖，在 ABC中，D是邊AC上的點，且1如圖 ABC中，點D在BC邊上，AC AD ,2 2sin BAC 一，AB 3 J2, AD 3，那么 BD 的長為3題型七：正余弦定理解三角形的實際應用一測量問題1如圖1所示，為了測河的寬度，在一岸邊選定 B兩點，望對岸標記物 C,測得/ CAB=30°, / CBA=75 , AB=120cm，求河的寬度。圖1C二遇險問題2某艦艇測得燈塔在它的東15。北的方向，此艦艇以 30海里/小時的速度向正東前進，30分鐘后又測得燈塔在它的東30°北。假設此燈塔周圍10海里內有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險?圖2AB AD,2