學(xué)習(xí)初中新課標(biāo)探索數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用與教學(xué)

1、學(xué)習(xí)初中新課標(biāo)，探索數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用與教學(xué)枝江市老周場中學(xué) 李永鴻眾所周知，數(shù)學(xué)有著廣泛的應(yīng)用，這是數(shù)學(xué)的基本特征。尤其是生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的不斷進步，計算機的產(chǎn)生和飛速發(fā)展，為數(shù)學(xué)的應(yīng)用提供了廣闊的前景?！皵?shù)學(xué)就是生活，生活離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)也不能和生活分離”，“數(shù)學(xué)生活化”是新一輪數(shù)學(xué)課程改革中的一個重要理念。因此，把生活融匯到學(xué)校數(shù)學(xué)教育中，是現(xiàn)代教育的一個趨勢。初中九年級義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)指出：在教學(xué)中，應(yīng)注重讓學(xué)生在實際背景中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，注重使學(xué)生經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學(xué)模型，估計，求解驗證解的正確性和合理性的過程，從而體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，增強應(yīng)用知識的

2、意識，培養(yǎng)運用代數(shù)知識與方法解決問題的能力。數(shù)學(xué)新課程改革的一個重要目標(biāo)就是要加強綜合性、應(yīng)用性內(nèi)容，重視聯(lián)系學(xué)生生活實際和社會實踐。隨著國家基礎(chǔ)課程改革的不斷深入，課堂教學(xué)方法與教學(xué)模式發(fā)生很大的變化，不僅要求學(xué)生掌握必要的科學(xué)知識，而且還要具備一定創(chuàng)新精神和實踐能力，并能提出問題、分析問題、解決問題。這給初中數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一個很大的空間，也提出了新的研究課題。雖然在新課程標(biāo)準(zhǔn)理念下，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)已經(jīng)逐步由傳統(tǒng)教學(xué)向?qū)嶋H應(yīng)用轉(zhuǎn)化，但應(yīng)用問題的教學(xué)還未引起數(shù)學(xué)教師們的足夠重視，學(xué)生仍被陷在純數(shù)學(xué)的邏輯推理和計算之中，教師們?nèi)匀恢匾晜魇谥R，重視定義、定理、推導(dǎo)、證明、計算，而忽略數(shù)學(xué)知識與我們

3、周圍現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系，于是學(xué)生由于缺乏解決實際問題的鍛煉，面對實際問題往往不知從何著手，不知如何把錯綜復(fù)雜的實際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，并運用自己掌握的數(shù)學(xué)知識去分析求解，因而解決實際問題，建立數(shù)學(xué)模型將成我們數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要方法和手段。 那么，什么是數(shù)學(xué)模型呢？所謂的數(shù)學(xué)模型是指針對或參照某種事物的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表示出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。初中數(shù)學(xué)中常見的建模方法有：對現(xiàn)實生活中普遍存在的等量關(guān)系（不等關(guān)系），建立方程模型（不等式模型）；對現(xiàn)實生活中普遍存在的變量關(guān)系，建立函數(shù)模型；涉及圖形的，建立幾何模型；涉及對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析，建立

4、統(tǒng)計模型這些模型是常見的，并且對它們的研究具有典型的意義，這也就注定了這些內(nèi)容的重要性。在中學(xué)階段，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)符合數(shù)學(xué)新課程改革理念。通過建模教學(xué)，可以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和方法的理解和掌握，調(diào)整學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，深化知識層次。學(xué)生通過觀察、收集、比較、分析、綜合、歸納、轉(zhuǎn)化、構(gòu)建、解答等一系列認識活動來完成建模過程，認識和掌握數(shù)學(xué)與相關(guān)學(xué)科及現(xiàn)實生活的聯(lián)系，感受到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用。同時，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和自主、合作、探索、創(chuàng)新的精神，使學(xué)生能成為學(xué)習(xí)的主體。因此在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想、方法，形成學(xué)生良好的思維習(xí)慣和用數(shù)學(xué)的能力。下面談?wù)劷Ｋ枷朐诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中

5、幾種常見的應(yīng)用類型。 一、 方程思想 新課標(biāo)要求能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中的一個有效的數(shù)學(xué)模型。這即是方程的思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，它要求我們能夠從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程（組），然后通過解方程（組）使問題獲解。 1 根據(jù)數(shù)學(xué)的定義性質(zhì)，公式等，將問題轉(zhuǎn)化為方程（組）求解。 例1：已知化簡后的二次根 與 是同類二次根式，求 的值。 例2：已知x，y是實數(shù)且 ，求x+y。 析：例1.根據(jù)同類根式定義可得 例2.利用 性質(zhì)可得 分別解這兩個方程組可使問題得解。解答略。 2 將幾何圖形的問題轉(zhuǎn)化為方程問題解決。 例：如圖。在RtAB

6、C中，C=90，AC=4，BC=3，四邊形DEFG為RtABC內(nèi)接正方形，求正方形的邊長。 析：利用相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比性質(zhì)解題 解：過C作CNAB于N交GF于M，在RtABC中， C=90，AC=4，BC=3， AB=5CN= 設(shè)正方形的邊長為x， GFAB CGFCAB 即 ，解得x= 答：略。 3 利用列方程（組）解應(yīng)用題。 例：學(xué)校準(zhǔn)備在圖書館后面的場地邊上建一個面積為50平方米的長方形自行車棚，一邊利用圖書館的后墻，并利用已有的總長為25米的鐵圍欄，請你設(shè)計，如何搭建比較合理？ 析：設(shè)與墻面垂直的邊長為x米，可得方程x(25-2x)=50。解方程可得答案。 此題是華東師大出

7、版的數(shù)學(xué)（九年級上）課本P38習(xí)題第9題。它考查了同學(xué)們在現(xiàn)實生活的背景中理解基本數(shù)量關(guān)系的能力。 顯然，方程的思想就是把未知量用字母表示和已知量一起參與建立等式，構(gòu)造方程的方法來解決問題，體現(xiàn)了未知和已知的統(tǒng)一。所以，在建立方程模型時，應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生如何學(xué)會尋找問題中的已知量、未知量的關(guān)系建立方程。隨著課改的深入，數(shù)學(xué)命題更重視以社會熱點，焦點和日常生活中熟悉的事實為背景，構(gòu)建一個有鮮活背景，與社會，生活相關(guān)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題。因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，生產(chǎn)中的數(shù)學(xué)問題，盡可能給學(xué)生提供合適的問題，鼓勵學(xué)生積極參與解決問題的活動，自己去探索，研究，從而強化應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，并且具備

8、把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模的思想和基本過程，提高解決問題的能力和信心。華東師大版數(shù)學(xué)教材為此提供了良好的展示的平臺，教師應(yīng)深入地挖掘其潛力，靈活地、創(chuàng)造性地使用它。 二、不等式（組）的思想 同樣的，數(shù)學(xué)建模思想用于不等式（組），新課標(biāo)提出了類似的要求。不等式（組）的思想即從問題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，運用條件將問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式（組）來解決。 例1：（05年泉州省級課改實驗區(qū)中考題） 某校初一、初二兩年段學(xué)生參加社會實踐活動，原計劃租用48座客車若干輛，但還有24人無座位。 1） 設(shè)原計劃租用48座客車x輛，試用x的代數(shù)式表示這兩個年段學(xué)生的總?cè)藬?shù)。 2） 現(xiàn)決定租用

9、60座客車，則可比原計劃租48座客車少2輛，且所租60座客車中有一輛沒有坐滿，但這輛車已坐的座位超過36位，請你求出該校這兩個年段學(xué)生總?cè)藬?shù)。 解：1）初一，初二年學(xué)生總?cè)藬?shù)為48x+24. 2）依題意可得 解得12 48x+24=648（人）答：略。 例2：商場出售的A型冰箱每臺售價2190元，日耗電量為1度，而B型節(jié)能冰箱每臺售價比A型冰箱高出10%，但每日耗電量卻為0.55度，現(xiàn)將A型冰箱打折出售，問商場至少打幾折，消費者購買才合算。（使用期限10年，每年365天，每度電0.40元計算） （析：設(shè)商場至少打x折 則有 解答略） 三、 函數(shù)思想 新課標(biāo)提出，能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫某些實際

10、問題中變量之間的關(guān)系變化，結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析，嘗試對變量的變化規(guī)律進行初步預(yù)測，能用一次函數(shù)，二次函數(shù)等來解決簡單的實際問題。在學(xué)習(xí)了正、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)后，學(xué)生的頭腦中已經(jīng)有了這些函數(shù)的模型。因此，一些實際問題就可以通過建立函數(shù)模型來解決 1. 創(chuàng)設(shè)函數(shù)模型，進行方案設(shè)計 例：某中學(xué)要印刷本校高中錄取通知書，有兩個印刷廠前來聯(lián)系制作業(yè)務(wù)。甲廠優(yōu)惠條件是每份定價1.5元，八折收費，另收900元制版費；乙廠的收費條件是每份定價1.5元的價格不變，而制版費900元則六折優(yōu)惠，且甲、乙都規(guī)定，一次印刷數(shù)量至少是500份，如何根據(jù)印數(shù)數(shù)量選擇比較合算的方案？若印刷數(shù)量為2000份，應(yīng)選

11、擇哪個？費用是多少？ 解：設(shè)印刷份數(shù)是x份，收費為y元，依題意得 且x為整數(shù) 若 即1.2x+9001.5x+500 解得x1200 當(dāng) 時，選擇乙廠；當(dāng)x1200時選擇甲廠，當(dāng)x=1200時，兩廠費用相同。 顯然，當(dāng)x=2000時，選擇甲廠，費用為3300元。 方案設(shè)計題是基礎(chǔ)知識與基本技能結(jié)合比較緊密的一類應(yīng)用題。此題不僅充分運用了函數(shù)的思想，又用到分類討論思想。其形式上表述生產(chǎn)、銷售、規(guī)劃等問題十分貼近生活，是近年來中考熱點問題。 2. 利用函數(shù)性質(zhì)求最值 例：華師大版數(shù)學(xué)九年級下，課本P24，習(xí)題2 某商人開始時將進價為每價8元的某種商品按10元出售，每天可出售100件，他想采用提高售

12、價的辦法來增加利潤，經(jīng)實驗，發(fā)現(xiàn)這種商品每提高1元，則每天的銷售量就會減少10件。 1） 寫出售價x元/件與每天所得利潤y元之間的函數(shù)關(guān)系式。 2） 每件售價為多少元時，才能使一天利潤最大。 解：1）y=（x-8)100-10(x-10) 即y= 10x2+280x1600（ ） 配方得y= 10(x-14)2+360 由函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)y=14時，y最大=360. 3. 結(jié)合物理知識，通過函數(shù)解析式的確定解決實際問題 例：科學(xué)家通過實驗探究出，一定質(zhì)量的氣體在外界條件下變化的情況，壓強P（千帕）隨溫度t（）變化的函數(shù)關(guān)系式為P=kt+b，其函數(shù)圖像如圖所示射線AB，求當(dāng)P為200千帕?xí)r上述氣體

13、的溫度。 分析：從圖中可以看出函數(shù)圖像過（25，110） 和（50，120），利用待定系數(shù)法可確定P與t的關(guān) 系，從而求出當(dāng)P=200時t的值。此題是物理與數(shù) 學(xué)結(jié)合的一道練習(xí)題，巧妙地利用數(shù)形結(jié)合的思想， 通過確定函數(shù)解析式來使實際問題得到解決。 四、 統(tǒng)計思想 在當(dāng)前的經(jīng)濟生活中，統(tǒng)計知識的應(yīng)用越來越廣泛。而數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用在統(tǒng)計學(xué)方面的研究得到很好的體現(xiàn)。如新課標(biāo)明確提出：體會用樣本估計總體的思想。 例：在某樹林中100m2的面積上統(tǒng)計有8棵紅楓樹，整個樹林面積為10000m2，你能估計整個樹林共有多少棵楓樹嗎？ 解：設(shè)整個樹林共有X棵楓樹，則有 ，解得X=800 答略。 注：統(tǒng)計與概

14、率是數(shù)學(xué)在生活，生產(chǎn)中應(yīng)用的重要方面。在教學(xué)中應(yīng)注重所學(xué)內(nèi)容與日常生活，自然等領(lǐng)域的聯(lián)系。 由以上幾種常見數(shù)學(xué)模型的建立，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的建立過程大致有以下三個步驟：實際問題數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)的解；數(shù)學(xué)的解實際問題的解 從方法論角度看，數(shù)學(xué)建模是解決實際問題的一種數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了解決應(yīng)用問題的基本步驟；從認識論角度看，數(shù)學(xué)建模是著重于一種活動、一個過程，時常需要多次迭代才能完成的過程，是一種數(shù)學(xué)的認知活動；從教學(xué)論角度看，數(shù)學(xué)建模是理論與實踐的有機統(tǒng)一，學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的深化與完善故數(shù)學(xué)建模的教學(xué)應(yīng)遵循一般教學(xué)原則：具體與抽象相結(jié)合；歸納與演繹相結(jié)合；數(shù)與形相結(jié)合；理論與實踐相結(jié)合；探索與論證相結(jié)合在此基礎(chǔ)上還應(yīng)落實：目的與手段的辯證統(tǒng)一；間接經(jīng)驗與直接經(jīng)驗的有機統(tǒng)一；理論與應(yīng)用的有機統(tǒng)一；學(xué)習(xí)與創(chuàng)造的有機統(tǒng)。 新的課程標(biāo)準(zhǔn)提出，義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點是促進學(xué)生全面而持續(xù)、和諧地發(fā)展，不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題構(gòu)成數(shù)學(xué)模型并進行解釋與應(yīng)用的過程、進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時在思維能力，情感、態(tài)度，價值觀方面得到進步和發(fā)展。因此，在實際課堂教學(xué)中，教師應(yīng)以學(xué)生為主