高中數(shù)學(xué)知識梳理@7復(fù)數(shù)

1、第七章 復(fù)數(shù)1知識結(jié)構(gòu)：復(fù)數(shù)概念實部虛部復(fù)數(shù)相等復(fù)數(shù)的模共軛復(fù)數(shù)復(fù)平面復(fù)數(shù)運算復(fù)數(shù)分類實數(shù)虛數(shù)純虛數(shù)共軛復(fù)數(shù)運算性質(zhì)復(fù)數(shù)模的運算性質(zhì)2基本要求：理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念：復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的實部、虛部，共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等；理解復(fù)平面的有關(guān)概念：復(fù)平面、實軸、虛軸，復(fù)數(shù)的向量表示、復(fù)數(shù)的模、復(fù)平面上兩點間的距離掌握復(fù)數(shù)的四則運算、平方根，1的立方根；會解實系數(shù)一元二次方程3重點問題：（1）利用復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的運算求解復(fù)數(shù)問題；（2）掌握復(fù)數(shù)的模、兩復(fù)數(shù)差的模的幾何意義，并解決模的最值問題；（3）掌握實系數(shù)一元二次方程的根的問題4思想方法與能力：（1）將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的“化歸思

2、想”；（2）通過對實系數(shù)一元二次方程的根的問題，把握分類討論的數(shù)學(xué)思想；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)與形的轉(zhuǎn)化7.1 復(fù)數(shù)的概念及運算（一）知識梳理1復(fù)數(shù)概念：（1）（），為虛數(shù)單位，為實部，為虛部（2）共軛復(fù)數(shù)：（3）復(fù)平面：實軸、虛軸，對應(yīng)復(fù)平面上的點的坐標(biāo)為（4）復(fù)數(shù)的模：，其幾何意義為對應(yīng)點到原點的距離2復(fù)數(shù)分類：（1）實數(shù)：（2）虛數(shù)：（3）純虛數(shù)：且3復(fù)數(shù)相等： 設(shè)，則且4復(fù)數(shù)的四則運算設(shè)，（），則（1）（2）（3）（分母實數(shù)化）5共軛復(fù)數(shù)與模的性質(zhì)（1）； ； （2）； （3）； （4）； 為純虛數(shù)且6求解復(fù)數(shù)的方法 設(shè)（），轉(zhuǎn)化為求實數(shù)的方程組典型例題【例1】

3、判斷下列命題的真假：（1）設(shè)，若，則；（2）設(shè)，若，則；（3）設(shè)，則為純虛數(shù)的充要條件是；（4）設(shè)，若，則；（5）設(shè)，則；（6）設(shè)，則解：（1）為真命題，其余都為假命題【例2】實數(shù)m分別取什么數(shù)時，復(fù)數(shù)是（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)；（4）對應(yīng)的點在第三象限；（5）對應(yīng)的點在直線上；（6）共軛復(fù)數(shù)的虛部為12解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【例3】計算下列各式的值：（1） （2） （3）解：（1） （2） （3）說明：的冪運算具有周期性【例4】（1）已知，設(shè)，求（2）若，求（3）若，求的值解：（1） （2）， （3）【備用題1】已知，為純虛數(shù)，且，求 解：，則或鞏固練習(xí)1對于

4、任意虛數(shù)，的共軛一定是 ，一定是 ，一定是 ，一定是 2已知，則 ， 3設(shè)，且的實部與虛部相等，則 4計算 5若，且，則 6若，則 7計算：的值為 8計算： 9復(fù)數(shù)，若，則的取值范圍是 10設(shè)復(fù)數(shù)滿足，且是純虛數(shù)，則 11當(dāng)為何值時，為：（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)；（4）對應(yīng)點在第二象限？12設(shè)，虛數(shù)，且，求的值7.2 復(fù)數(shù)的概念及運算（二）典型例題【例1】已知，若，求實數(shù)的值.解：因為，又所以，所以說明：復(fù)數(shù)相等的充要條件是解復(fù)數(shù)問題的重要依據(jù)【例2】求復(fù)數(shù)，使，且解一：設(shè)（）由故又由知解方程組，可得，解二：由，即，則，即或當(dāng)且時，或；當(dāng)且時，或綜上所述：，【例3】設(shè)是方程的一個根

5、，求：（1）（2） 解：（1）1；（2）【例4】設(shè)是虛數(shù)，是實數(shù)，且（1）求的值及的實部的取值范圍；（2）設(shè)，求證為純虛數(shù)；（3）求的最小值.解：（1）由且是純虛數(shù)得，則設(shè) ，則，由知則，（2）證明：且，所以為純虛數(shù)（3）因為當(dāng)且僅當(dāng)即時，有最小值為1鞏固練習(xí)1復(fù)數(shù)的平方根為 2若一個復(fù)數(shù)的平方等于它的共軛復(fù)數(shù)，則此復(fù)數(shù)為 3虛數(shù)滿足，則 4已知且，則的值為 5設(shè)復(fù)數(shù)，若，則下列關(guān)系式中正確的是（ ）(A) (B) (C) (D) 不能確定大小6如果，則 7設(shè)則復(fù)數(shù)= 8設(shè)為共軛復(fù)數(shù)，且，求9已知，求實數(shù)的值10已知，且，求復(fù)數(shù).7.3 復(fù)數(shù)的幾何意義與向量表示知識梳理1復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點及位置

6、向量的對應(yīng) 復(fù)數(shù)（），對應(yīng)點，對應(yīng)向量2兩復(fù)數(shù)差的模的幾何意義： 設(shè)復(fù)數(shù)，（）對應(yīng)復(fù)平面上的點分別為，則表示兩點之間的距離，即3常見軌跡的復(fù)數(shù)方程：（1）表示以復(fù)數(shù)對應(yīng)點為圓心，為半徑的圓（2）表示以復(fù)數(shù)對應(yīng)點為端點的線段的垂直平分線（3） 表示橢圓（4） 表示雙曲線的一支典型例題【例1】平行四邊形OABC，各頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是 ，求大小.解：由題設(shè)得因0ABC為平行四邊形，故OC中點與AB中點重合故由中點公式，得此時，由余弦定理，得說明：注意到復(fù)數(shù)的幾何意義，即復(fù)數(shù)的實部、虛部對應(yīng)于復(fù)平面內(nèi)點的橫坐標(biāo)、終坐標(biāo)【例2】復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點，點的軌跡是什么曲線？（1）（2）（3）解：（1）是以點為圓

7、心，2為半徑的圓（2）是以點為焦點的橢圓，其方程為（3）設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)點為，則，代入原式并化簡得，其軌跡為：以為圓心，為半徑的圓說明：注意到兩復(fù)數(shù)差的模的幾何意義【例3】（1）已知，求的最值；（2）已知，求的最值；（3）復(fù)數(shù)滿足，求的最大值與最小值（4）若，求的最小值解：（1）利用單位圓上的點到點的距離的最值得最大值為3、最小值為1 （2）以為圓心，1為半徑的圓上的點到的距離的最值得最大值為、最小值為（3）由例2（3）知，（4）設(shè)，則對應(yīng)點的軌跡是：以原點為圓心，為半徑的圓而其中的最小值為所以的最小值為50說明：一般地，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點的軌跡是：以復(fù)數(shù)對應(yīng)點為圓心，為半徑的圓【例4】

8、若復(fù)數(shù)，對任意復(fù)數(shù)都有，。（1）求實數(shù)的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡方程為，求對應(yīng)點的軌跡方程。解：（1）由，得，而，故，得（2）設(shè)，則又得，從而代入，得對應(yīng)點軌跡方程為：說明：關(guān)于復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點的軌跡方程的求法，與解析幾何中求動點軌跡方程的求法類同，即設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點為，則，然后根據(jù)題設(shè)條件建立的方【備用題1】設(shè)（1）求；（2）在（1）的條件下，若，求復(fù)數(shù)的模的取值范圍解：（1）；（2）【備用題2】設(shè)，集合，若，則 解：鞏固練習(xí)1向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若點A的坐標(biāo)為，則B點的坐標(biāo)是 2復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為 3設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為 ，最小值為 4復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點的軌跡是

9、 5復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡方程為 6若，且滿足，則復(fù)數(shù)對應(yīng)點的軌跡是（ ）(A) 圓 (B) 拋物線 (C) 橢圓 (D) 雙曲線7如果復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為 ，最小值為 8已知復(fù)數(shù)滿足，求的最大值9已知，且，求的最大值與最小值.10已知平行四邊形的三個頂點分別對應(yīng)復(fù)數(shù)，求第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù).11已知，若（1）求證：為定值；（2）設(shè)，求的最小值12設(shè)，且（1） 若，求；（2） 設(shè)，試求的最大值與最小值7.4 復(fù)數(shù)方程和實系數(shù)一元二次方程知識梳理1復(fù)數(shù)方程的求法設(shè)（），轉(zhuǎn)化為實數(shù)方程組2實系數(shù)一元二次方程 給定方程，則當(dāng)時，方程有實數(shù)根當(dāng)時，方程有一對共軛虛數(shù)根且虛根，同時滿足韋達(dá)定理，即

10、典型例題【例1】 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：（1） （2）解:（1）（2）【例2】已知復(fù)數(shù)，求一個以為根的實系數(shù)一元二次方程解： 則必有另一根，因為，所以所求的一個一元二次方程為【例3】若方程的兩個虛根為，且，求實數(shù)的值.解：，得而， 則所以解二：設(shè)，（）由知；由所以說明：實系數(shù)一元二次方程有虛根時，主要利用求根公式或韋達(dá)定理【例4】設(shè)是關(guān)于的方程（）的兩個根，求的值.解：當(dāng)，即時，方程有兩個實根， 當(dāng)時， 當(dāng)時，當(dāng)時，即時，方程有兩個共軛虛數(shù)，綜上所述：說明：實系數(shù)一元二次方程的根在不清楚是實根還是虛根的情況下，必需討論【備用題1】設(shè)，解方程：。解：設(shè) 則故有且得，或（舍）所以說明：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)

11、解方程，只需轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題【備用題2】求證：在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程無解.解：原方程可化簡為設(shè) ，代入上方程得所以，得因為，所以方程無實解，即原方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)無解鞏固練習(xí)1方程有一個根為，則 2復(fù)數(shù)滿足，則 3方程有實根，則實數(shù) 4已知，方程的一個虛根的模是，則 5方程有兩個虛數(shù)根為，且，則 6在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：。7關(guān)于的方程（1）若此方程有一實根，求銳角及此實根；（2）證明無論為何實數(shù)，此方程不可能有純虛數(shù)根。8關(guān)于的方程至少有一個模為1的根，求實數(shù)的值。9設(shè)是實系數(shù)一元二次方程的兩個虛根，若，求的值。10已知關(guān)于的二次方程有虛根，且此根的三次方是實數(shù)，求實數(shù)的值。復(fù)數(shù)單元測試一、選擇題：1下列命題中，假命題是（ ）(A) 若為實數(shù)，則 (B) 若，則為實數(shù)(C) 若為實數(shù)，則為實數(shù) (D) 若為實數(shù)，則為實數(shù)2下列命題中，正確的是（ ）(A) 復(fù)數(shù)與它的共軛復(fù)數(shù)的差是純虛數(shù)；(B) 是復(fù)數(shù)的充要條件 ；(C) 復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的必要非充分條件是；(D) 任何兩個復(fù)數(shù)都不可以比較大小3復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點不可能位于（ ）(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限二、填空題：4復(fù)數(shù)為實數(shù)，則 5函數(shù)的值域為 6復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍為 7