近世代數(shù)--第三章小結(jié)

1、第三章 環(huán)與域 總結(jié) 第一節(jié) 加群、環(huán)的定義 定義：一個(gè)交換群叫做一個(gè)加群。一個(gè)加群的唯一的單位元叫做零元，記作0。元a的唯一的逆元叫做a的負(fù)元，記作-a，簡(jiǎn)稱負(fù)a。環(huán)的定義： R, ,? R +丨是交換群R對(duì)+封閉；： R RR滿足結(jié)合律，即a,b, c R, ab c a bc+和都滿足分配律：即對(duì)a,b,c R滿足a b c ab acb c a ba ca稱R在+和運(yùn)算下是環(huán)。.R是一個(gè)加群； R對(duì)于另一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)是閉的; .這個(gè)乘法適合結(jié)合律：a bc ab c ，不管 a, b, c 是 R 的哪三個(gè)元； . 兩個(gè)分配律都成立：ab cab ac , b c aba

2、be，不管a, b,c是R的哪三個(gè)元。環(huán)滿足如下運(yùn)算： 0a a0 , 對(duì) a R a b c ab aca b c ac bca c ac, a c ac a1 a2an b1 b2bnmnaibj1j1mnaibji 1 j 1定義： R, ,?，假設(shè)對(duì)a,b R,有ab ba,即滿足交換律的環(huán)是交換環(huán)。般地，R, ,?，假設(shè) e R,對(duì) a R,ea ae a那么稱e為R的一個(gè)單位元。一個(gè)環(huán)不一定有單位元。R, ,?，含有單位元e , , a R假設(shè) b R，使得ab ba e,那么稱b是a的 逆元。 R, ,? ， a b, b 0 ，假設(shè) ab 0, 那么稱 a 為左零因子， b 為

3、右零因子。 既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。在交換群中無(wú)左右零因子， 只有零因子。定理：無(wú)零因子環(huán)里兩個(gè)消去律都成立：a 0,ab ac b c 左消去a 0, ba ca b c 右消去 在一個(gè)環(huán)里如果有一個(gè)消去律成立，那么這個(gè)環(huán)沒有零因子。 推論：在一個(gè)環(huán)里如果有一個(gè)消去律成立，那么另一個(gè)消去律也成立。 整環(huán)的定義：一個(gè)環(huán) R 叫做一個(gè)整環(huán)，假設(shè)滿足： R 是交換環(huán)： ab ba R是單位環(huán)，有單位元 1: 1a al a R 是無(wú)零因子環(huán)滿足消去律 ： ab 0 a 0或 b 0這里a,b可以是R中的任意元。第二節(jié) 除環(huán)、域除環(huán)的定義：一個(gè)環(huán) R叫做一個(gè)除環(huán)，假設(shè)滿足： R中至少

4、包含一個(gè)不等于零的元 R 中有一個(gè)單位元 R的每一個(gè)不等于零的元都有一個(gè)逆元 域的定義：一個(gè)交換除環(huán)叫做一個(gè)域。除環(huán)和域的幾個(gè)重要性質(zhì)：除環(huán)沒有零因子滿足消去律一個(gè)除環(huán)的不等于零的元對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)作成的群 R R 0 ，叫做 R 的乘群。因?yàn)?封閉性 a 0,b 0,那么 ab 0 R 滿足結(jié)合律 有單位元 10 R 有逆元 a 0, a 1 0 R第三節(jié) 環(huán)的特征 定理：在無(wú)零因子環(huán)中，所有非零元在加法運(yùn)算下的階是一致的，稱此階是環(huán)的特征。 定理：無(wú)零因子環(huán)的特征要么是無(wú)窮，要么是素?cái)?shù)。第四節(jié) 子環(huán)子環(huán)的定義：一個(gè)環(huán) R的一個(gè)子集S叫做R的一個(gè)子環(huán)，假設(shè) S本身對(duì)于R的代數(shù)運(yùn)算來(lái) 說(shuō)作成一個(gè)環(huán)

5、。一個(gè)環(huán)R的一個(gè)子集S叫做R的一個(gè)子除環(huán)，假設(shè) S本身對(duì)于R的代數(shù)運(yùn)算 來(lái)說(shuō)作成一個(gè)除環(huán)。第五節(jié)、同態(tài)同態(tài)的定義：R, ,? R廠,？丨環(huán)，f ： R R映射，假設(shè)滿足以下條件: a,b R, fab f a f b a,b R, f abf a ? f b假設(shè)f是同態(tài)滿射，那么稱 R和R同態(tài)。定理：R, ,?， R,?，R與R 同態(tài)，那么 f 00, f a f a , f a 1 f a 1。假設(shè)R是交換環(huán)，那么R是交換環(huán)。定理：如果環(huán) R與R同構(gòu)，那么有：假設(shè) R是整環(huán)，那么 R是整環(huán)；假設(shè) R是除環(huán)，那么 R是 除環(huán)；假設(shè) R是域，那么R是域。定理：假定R和R是兩個(gè)環(huán)，且同態(tài)。那么 R

6、的零元的象是 R的零元，R的元a的負(fù)元的象是a的象的負(fù)元。并且，假設(shè) R是交換環(huán)，那么 R也是交換環(huán)；假設(shè) R有 單位元1,那么R也有單位元1，而且1是1的象。定理：假定S是環(huán)R的一個(gè)子環(huán)，S在R里的補(bǔ)足集合這就是所有不屬于S的R的元作成的集合與另一個(gè)環(huán)S沒有公共元，并且S S,那么存在一個(gè)與 R同構(gòu)的 環(huán)R，并且S是R的子環(huán)。第六節(jié)多項(xiàng)式環(huán)多項(xiàng)式定義：一個(gè)可以寫成 a0 a1an n ai R,n是 0的數(shù)形式的&的元叫做R上的 的一個(gè)多項(xiàng)式，ai叫做多項(xiàng)式的系數(shù)。多項(xiàng)式環(huán)的定義：R 叫做R上的 的多項(xiàng)式環(huán)。a。，a, an，使得 a。a1xanxn0未定兀的定義：R。的一個(gè)兀x叫做

7、R上的一個(gè)未定兀，假設(shè)在 R里找不到不都等于零的兀多項(xiàng)式次數(shù)的定義：令a0 a1xanXn,an 0是環(huán)R上一個(gè)一元多項(xiàng)式。那么非負(fù)整數(shù)n叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。多項(xiàng)式 0沒有次數(shù)。對(duì)于給定的R0來(lái)說(shuō)，R0未必含有R上的未定元。定理1:給了一個(gè)有單位元的交換環(huán)R，一定有R上的未定元x存在，因此也就有 R上的 多項(xiàng)式環(huán)R x存在。無(wú)關(guān)未定元的定義：R。的n個(gè)元xX2, ,xn叫做R上的無(wú)關(guān)未定元，假設(shè)任何一個(gè)R上的X1,X2, Xn的多項(xiàng)式都不會(huì)等于零，除非這個(gè)多項(xiàng)式的所有系數(shù)都等于零。定理2 :給了一個(gè)有單位元的交換環(huán)R同一個(gè)正整數(shù) n，定有 R上的無(wú)關(guān)未定元x1, x2, , xn存在，因此也

8、就有 R上的多項(xiàng)式環(huán) R x1, x2, , xn存在。定理3：假設(shè)R Xi , X2 , , Xn和R 1 , 2, , n都是有單位元的交換環(huán) R上的多項(xiàng)式環(huán)，Xi,X2, , Xn是R上的無(wú)關(guān)未定元，1, 2, , n是R上的任意元，那么R捲X , , X.與 R 1, 2, n 同態(tài)。第七節(jié)理想理想的定義：環(huán) R的一個(gè)非空子集叫做一個(gè)理想子環(huán)，簡(jiǎn)稱理想。假設(shè) a,b,那么a b a , r R, ra, ar注：理想是子環(huán)，但子環(huán)不一定是理想。一個(gè)環(huán)至少有兩個(gè)理想：只包含零元的集合，這個(gè)理想叫做R的零理想R本身，稱單位理想。定理1：除環(huán)只有兩個(gè)理想，即零理想和單位理想。主理想的定義：a

9、 R，由a生成的理想即包含 a的所有理想的交或包含 a的最小理想稱為主理想，記為a。第八節(jié)剩余類環(huán)剩余類的定義：對(duì)于給定的環(huán) R及其一個(gè)理想，假設(shè)只就加法來(lái)看， R作成一個(gè)群， 作成R的一個(gè)不變子群。這樣的陪集a , b,c ,作成R的一個(gè)分類。我們把這些類叫做模的剩余類。定理1：假定R是一個(gè)環(huán)， 是它的一個(gè)理想，R是所有模 的剩余類作成的集合， 那么R 本身也是一個(gè)環(huán)，并且 R與R同態(tài)。剩余類環(huán)的定義： R叫做環(huán)R的模 的剩余類環(huán)，用符號(hào) R/來(lái)表示。定理2：假定R和R是兩個(gè)環(huán)，并且 R和R同態(tài)，那么這個(gè)同態(tài)滿射的核是R的一個(gè)理想，并且R/R。定理3：在環(huán)R到環(huán)R的一個(gè)同態(tài)滿射下，有 R的一

10、個(gè)子環(huán)S的象S是R的一個(gè)子環(huán)； R的一個(gè)理想 的象 是R的一個(gè)理想； R的一個(gè)子環(huán)S的逆象S是R的一個(gè)子環(huán)； R的一個(gè)理想的逆象 是R的一個(gè)理想。第九節(jié)最大理想最大理想的定義：一個(gè)環(huán)R的一個(gè)不等于 R的理想 叫作一個(gè)最大理想，假設(shè)除了 R同 自 己以外，沒有包含的理想。注：除環(huán)的最大理想是零理想除環(huán)包括域定理：是R的理想R，R/只有平凡理想是R的最大理想。引理：R是含有單位兀的交換環(huán)，假設(shè)R只有平凡理想，那么R是域。定理：R是有單位元的交換環(huán)，是環(huán)R的理想，那么R/是域疋最大理想。第十節(jié)商域定理1每一個(gè)沒有零因子的交換環(huán)R都是一個(gè)域Q的子環(huán)。定理2Q是所有元-a,b R,b0所作成的，這里aa

11、b 1 b1abb商域的定義：一個(gè)域 Q叫做環(huán)R的一個(gè)商域，假設(shè) Q包含R，并且Q剛好是由所有元a a,b R,b 0所作成的。b定理3：假定R是一個(gè)有兩個(gè)以上的元的環(huán)，F(xiàn)是一個(gè)包含 R的域，那么F包含R的一個(gè)商域。定理4:同構(gòu)的環(huán)的商域也同構(gòu)。一個(gè)環(huán)最多只有一個(gè)商域。總結(jié)：本章定理，推理及引理：1在一個(gè)沒有零因子的環(huán)里兩個(gè)消去律都成立：a 0, ab ac b c a 0,ba ca b c反過來(lái)，在一個(gè)環(huán)里如果有一個(gè)消去律成立，那么這個(gè)環(huán)沒有零因子。 推論：在一個(gè)環(huán)里如果有一個(gè)消去律成立，那么另一個(gè)消去律也成立。R里所有不等于零的元對(duì)于加法來(lái)說(shuō)的階都是一樣的。R的特征是有限整數(shù) n，那么n

12、是一個(gè)素?cái)?shù)。推論：整環(huán)，除環(huán)以及域的特征或是無(wú)限大，或是一個(gè)素?cái)?shù)p。R到R的滿射，使得 R與R對(duì)于一對(duì)加法以及一對(duì)乘法來(lái)說(shuō)都同態(tài)，那么R也是一個(gè)環(huán)。R和R是兩個(gè)環(huán)，并且R和R同態(tài)。那么R的零元的象是 R的零元，R的元a的負(fù)元的象是a的象的負(fù)元。并且，假設(shè) R是交換環(huán)，那么 R也是交換環(huán)；假設(shè) R有單位元1,那么R也有單位元1，并且1是1的象。R同R是兩個(gè)環(huán)，并且 R R。那么，假設(shè) R是整環(huán)，R也是整環(huán)；R是除環(huán)，R也是 除環(huán)；R是域，R也是域。S是環(huán)R的一個(gè)子環(huán)，S在R里的補(bǔ)足集合與另一個(gè)環(huán) S沒有共同元，并且 S S。那 么存在一個(gè)與 R同構(gòu)的環(huán)R，并且S是R的子環(huán)。R，一定有R上的未定元

13、x存在，因此也就有 R上的多項(xiàng)式環(huán)Rx存在。R同一個(gè)正整數(shù)n，定有R上的無(wú)關(guān)未定元 X1,X2, ,xn存在，因此也就有R上的多項(xiàng) 式環(huán)R X1, X2, Xn存在。RX1,X2, ,Xn和R 1, 2, , n都是有單位元的交換環(huán) R上的多項(xiàng)式環(huán)，為，X?, , X.是R上的無(wú)關(guān)未定元，1 , 2 , , n是R上的任意元，那么RX!,X2, ,Xn 與 R 1, 2, n 同態(tài)。R只有兩個(gè)理想，就是零理想和單位理想。R是一個(gè)環(huán)，U是它的一個(gè)理想， R是所有模U的剩余類作成的集合， 那么R本身也是 一個(gè)環(huán)，并且R與R同態(tài)。R同R是兩個(gè)環(huán)，并且 R與R同態(tài)，那么這個(gè)同態(tài)滿射的核U是R的一個(gè)理想

14、，并且R U R。R到環(huán)R的一個(gè)同態(tài)滿射之下，i. R的一個(gè)子環(huán)S的象S是R的一個(gè)子環(huán)；ii. R的一個(gè)理想 U的象U是R的一個(gè)理想；iii. R的一個(gè)子環(huán)S的逆象S是R的一個(gè)子環(huán)；iv. R的一個(gè)理想U(xiǎn)的逆象U是R的一個(gè)理想；R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，U是R的一個(gè)理想。R U是一個(gè)域，當(dāng)而且只當(dāng) U是一個(gè)最大理想的時(shí)候。R都是一個(gè)域Q的子環(huán)。17. Q剛好是由所有元 aa,b bR是一個(gè)有兩個(gè)以上的元的環(huán)，19.同構(gòu)的環(huán)的商域也同構(gòu)。R,b 0所作成的，這里-ab 1 b 1a。bF是一個(gè)包含R的域，那么F包含R的一個(gè)商域。常用的計(jì)算規(guī)那么:.0aa 0a.aaaa0.aa.acbcba.ab