MATLAB中的矩陣與向量運(yùn)算

1、之巴公共開創(chuàng)作創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日4.1 數(shù)組運(yùn)算和矩陣運(yùn)算從外觀形狀和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來看，二維數(shù)組和數(shù)學(xué)中的矩陣沒有區(qū)別.但是，矩陣作為一種變換或映射算符的體現(xiàn)，矩陣運(yùn)算有著明確而嚴(yán)格的數(shù)學(xué)規(guī)則.而數(shù)組運(yùn)算是MATLA歆件所定義的規(guī)則，其目的是為了數(shù)據(jù)管理方面，操縱簡單，指令形式自然和執(zhí)行計(jì)算有效.所以，在使用MATLABt,特別要明確搞清數(shù)組運(yùn)算和矩陣運(yùn)算的區(qū)別表4.1.1列出了兩種運(yùn)算指令形式的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵的異同.4.1.1 數(shù)組運(yùn)算和矩陣運(yùn)算指令形式和實(shí)質(zhì)內(nèi)涵數(shù)組運(yùn)算矩陣運(yùn)算指令含義指令含義A.非共鈍轉(zhuǎn)置A'共鈍轉(zhuǎn)置A=s把標(biāo)量s賦給數(shù)組A的每個(gè)元素s+B把標(biāo)量s分別與數(shù)組B

2、的每個(gè)元素相加sB,Bs標(biāo)量s分別與數(shù)組B的元素之差s.*A標(biāo)量s分別與數(shù)組A的元素之積s*A標(biāo)量s分別與矩陣A的元素之積s./B,B.s標(biāo)量s分別被數(shù)組B的元素除s*inv(B)矩P$B的逆乘標(biāo)量sA.An數(shù)組A的每個(gè)元素的n次方AMA為方陣時(shí),矩陣A的n次方A+B數(shù)組對(duì)應(yīng)元素的相加A+B矩陣相力口AB數(shù)組對(duì)應(yīng)元素的相減AB矩陣相減A.*B數(shù)組對(duì)應(yīng)元素的相乘A*B內(nèi)維相同矩陣的乘積A./BA的元素被B的對(duì)應(yīng)元素除A/BA右除BB.A一定與上相同BAA左除B(一般與右除分歧)exp(A)以e為底，分別以A的元素為指數(shù)，求哥expm(A)A的矩陣指數(shù)函數(shù)10g(A)對(duì)A的各元素求對(duì)數(shù)logm(A

3、)A的矩陣對(duì)數(shù)函數(shù)sqrt(A)對(duì)A的積各元素求平方根sqrtm(A)A的矩陣平方函數(shù)從上面可以看到，數(shù)組運(yùn)算的運(yùn)算如：乘，除，乘方，轉(zhuǎn)置，要加"點(diǎn)”.所以，我們要特別注意在求"乘，除，乘方，三角和指數(shù)函數(shù)"時(shí)，兩種運(yùn)算有著根本的區(qū)別.另外，在執(zhí)行數(shù)組與數(shù)組運(yùn)算時(shí),介入運(yùn)算的數(shù)組必須同維，運(yùn)算所得的結(jié)果數(shù)組也是總與原數(shù)組同維.4.2數(shù)組的基本運(yùn)算在MATLAB,數(shù)組運(yùn)算是針對(duì)多個(gè)數(shù)執(zhí)行同樣的計(jì)算而運(yùn)用的.MATLAB以一種非常直觀的方式來處理數(shù)組.4.2.1 點(diǎn)轉(zhuǎn)置和共鈍轉(zhuǎn)置.點(diǎn)轉(zhuǎn)置.非共鈍轉(zhuǎn)置，相當(dāng)于conj(A').>>a=1:5;>

4、>b=a.'b=1345>>c=b.'c=1 2345這標(biāo)明對(duì)行向量的兩次轉(zhuǎn)置運(yùn)算便得到原來的行向量共鈍轉(zhuǎn)置.對(duì)向量進(jìn)行轉(zhuǎn)置運(yùn)算并對(duì)每個(gè)元素取其共鈍.如:>>d=a+i*ad=Columns1through31.0000+1.0000i2.0000+2.0000i3.0000+3.0000iColumns4through54.0000+4.0000i5.0000+5.0000i>>e=d'e=1.00001.0000i2.00002.0000i3.00003.0000i4.00004.0000i5.00005.0000i4.2.

5、2純量（標(biāo)量）和數(shù)組的四則運(yùn)算純量和數(shù)組之間可以進(jìn)行簡單數(shù)學(xué)運(yùn)算.如：力口，減，乘，除及其混合運(yùn)行.>>g=123456789101112>>g=g2g=1012345678910>>2*g1ans=311357911131517194.2.3數(shù)組間的四則運(yùn)算在MATLAB,數(shù)組間進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí),介入運(yùn)算的數(shù)組必須具有相同的維數(shù)，加，減，乘，除運(yùn)算是按元素與元素的方式進(jìn)行的.其中，數(shù)組間的加，減運(yùn)算與矩陣的加，減運(yùn)算要同，運(yùn)算符為："+","".但是，數(shù)組間的乘，除運(yùn)算與矩陣間的乘，除運(yùn)算完全分歧，運(yùn)算符號(hào)也有不同，數(shù)

6、組間的乘，除運(yùn)算符為:".*","./"或".".1 .數(shù)組按元素相加，減> >g=123456789101112> >h=1111;2222;3333> >g+h%按元素相加ans=2 3457 891012131415>>ansh%按元素相減ans=123456789101112>>2*gh%混合運(yùn)算ans=1 3578101214151719212 .按元素乘>>g.*hans=123410121416273033363.按元素除數(shù)組間的除法運(yùn)算符有兩個(gè)，即

7、左除:"./"和右除:".",它們之間的關(guān)系是：a./b=b.a>>g./hans=1.00002.00003.00004.00002.50003.00004.10004.00003.00003.33333.66674.0000>>h.gans=1.00002.00003.00004.00002.50003.00004.10004.00003.00003.33333.66674.00004.2.4哥運(yùn)算在MATLAB,數(shù)組的募運(yùn)算的運(yùn)算為："八"，暗示每一個(gè)元素進(jìn)行哥運(yùn)算.> >g.A2%數(shù)組g每個(gè)

8、元素的平方ans=149162536496481100121144> >g.A(1)%數(shù)組g的每個(gè)元素的倒數(shù)ans=1.00000.50000.33330.25000.20000.16670.14290.12500.11110.10000.09090.0833> >2.Ag%以g的每個(gè)元素為指數(shù)對(duì)2進(jìn)行乘方運(yùn)算ans=248163264128256512102420484096> >g.Ah%以h的每個(gè)元素為指數(shù)對(duì)g中相應(yīng)元素進(jìn)行乘方運(yùn)算ans=123425364964729100013311728>>g.A(h1)ans=11118110012

9、11444.2.5數(shù)組的指數(shù)，對(duì)數(shù)和開方運(yùn)算在MATLAB,所謂數(shù)組的運(yùn)算實(shí)質(zhì)是是數(shù)組內(nèi)部每個(gè)元素的運(yùn)算，因此，數(shù)組的指數(shù)，對(duì)數(shù)和開方運(yùn)算與標(biāo)量的運(yùn)算規(guī)則完全是一樣的，運(yùn)算符函數(shù)分別為：exp(),log(),sqrt()等.>>a=134;265;324;>>c=exp(a)c=2.718320.085554.59827.3891403.4288148.413220.08557.389154.5982>>數(shù)組的對(duì)數(shù)，開方運(yùn)算與數(shù)組的指數(shù)運(yùn)算，具方式完全一樣，這里不詳述.4.3 向量運(yùn)算對(duì)于一行或一列的矩陣，為向量，MATLAWt專門的函數(shù)來進(jìn)行向量點(diǎn)積，叉

10、積和混合積的運(yùn)算.4.3.1 向量的點(diǎn)積運(yùn)算在高等數(shù)學(xué)中，我們知道，兩向量的點(diǎn)積指兩個(gè)向量在其中一個(gè)向量方向上的投影的乘積，通經(jīng)常使用來定義向量的長度.在MATLAB中，向量的點(diǎn)積用函數(shù)"dot"來實(shí)現(xiàn)，具調(diào)用格式如下：C=dot(A,B)返回向量A與B的點(diǎn)積，結(jié)果存放于C中.C=dot(A,B,DIM)返回向量A與B在維數(shù)為DIM的點(diǎn)積，結(jié)果存放于C中.> >A=24531;> >B=38101213;>>C=dot(A,B)C=137> >C=dot(A,B,4)C=6325036134.3.2 向量的叉積運(yùn)算在高等數(shù)學(xué)中

11、，我們知道，兩向量的叉積返回的是與兩個(gè)向量組成的平面垂直的向量.在MATLAB，向量的點(diǎn)積用函數(shù)"cross"來實(shí)現(xiàn)，其調(diào)用格式如下：C=cross(A,B)返回向量A與B的叉積，即:，結(jié)果存放于C中.C=cross(A,B,DIM)返回向量A與B在維數(shù)為DIM的叉積，結(jié)果存放于C中.> >A=245;> >B=3810;> >C=cross(A,B)C=0544.3.3 向量的混合運(yùn)算>>D=dot(A,cross(B,C)D=41上例標(biāo)明，首先進(jìn)行的是向量B與C的叉積運(yùn)算，然后再把叉積運(yùn)算的結(jié)果與向量A進(jìn)行點(diǎn)積運(yùn)算.4.4

12、 矩陣的基本運(yùn)算如果說MATLAB勺最大特點(diǎn)是強(qiáng)大白矩陣運(yùn)算功能，此話毫不為過.事實(shí)上，MATLAB中所有的計(jì)算都是以矩陣為基本單元進(jìn)行的.MATLAB對(duì)矩陣的運(yùn)算功能最全面，也是最為強(qiáng)大的.矩陣在形式上與構(gòu)造方面是等同于前面所述的數(shù)組的，當(dāng)其數(shù)學(xué)意義卻是完全分歧的.矩陣的基本運(yùn)算包含矩陣的四則運(yùn)算，矩陣與標(biāo)時(shí)的運(yùn)算，矩陣的哥運(yùn)算，指數(shù)運(yùn)算，對(duì)數(shù)運(yùn)算，開方運(yùn)算及以矩陣的逆運(yùn)算，行列式運(yùn)算等.4.4.1 矩陣的四則運(yùn)算矩陣的四則運(yùn)算與前面介紹的數(shù)組的四則運(yùn)算基底細(xì)同.但也有一些不同.1.矩陣的加減矩陣的加，減與數(shù)組的加，減是完全相同的，運(yùn)算時(shí)要求兩矩陣的大小完全相同.> >a=12;

13、35;26;> >b=24;18;90;> >c=a+bc=3 64 131162.矩陣的相乘對(duì)于矩陣的乘法，從線性代數(shù)中，我們知道，要求進(jìn)行相乘的兩矩陣有相同的公共維.如：> >a=12;35;26;> >b=241;890;> >c=a*bc=182214657352622設(shè)A矩陣為一個(gè)階的矩陣，則要求與之相乘的B矩陣必須是一個(gè)階得到矩陣是階的.即，只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣（左矩陣）的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣（右矩陣）的行數(shù)時(shí),兩個(gè)矩陣的乘積才有意義.3.矩陣的除法對(duì)于矩陣的除法有兩個(gè)運(yùn)算符號(hào)，分別為左除符號(hào)""和右除符號(hào)&

14、quot;/".矩陣的右除運(yùn)算速度要慢一點(diǎn)，而左除運(yùn)算可以防止奇異矩陣的影響.對(duì)于方程，若此方程為超定的方程，則使用除法可以自動(dòng)找到使的平方最小化的解.若此方程為不定方程，則使用除法運(yùn)算符至少求得的解至多有rank(A)(矩陣A的秩)個(gè)非零元素，而且求得的解是這種類型的解中范數(shù)最小的一個(gè).> >a=213420;57820;211417;343138;> >b=10203040'> >x=bax=0.76671.18670.8767上面方程是超定方程.要注意的：結(jié)果矩陣x是列向量形式.如果，> >a=2134205;782021

15、14;17343138;> >b=102030'> >x=bax=1.62861.25711.10711.0500上面的方程為不定方程.4 .矩陣與標(biāo)量間的四則運(yùn)算矩陣與標(biāo)量的四則運(yùn)算和數(shù)組與標(biāo)量間的四則運(yùn)算完全相同，即矩陣中的每個(gè)元素與標(biāo)量進(jìn)行加，減，乘，除四則運(yùn)算.需要說明的是，當(dāng)進(jìn)行除法運(yùn)算時(shí)，標(biāo)量只能做除數(shù).5 .矩陣的哥運(yùn)算矩陣的募運(yùn)算與標(biāo)量的募運(yùn)算分歧.用符號(hào)"A",它不是對(duì)矩陣的每個(gè)元素進(jìn)行募運(yùn)算，而是與矩陣的某種分解有關(guān).>>b=213420;782021;173431;>>c=bA2c=3433207

16、41754355537662631353623126.矩陣的指數(shù)，對(duì)數(shù)運(yùn)算與開方運(yùn)算矩陣的指數(shù)運(yùn)算，對(duì)數(shù)運(yùn)算與開方運(yùn)算與數(shù)組相應(yīng)的運(yùn)算是分歧的它其實(shí)不是對(duì)矩陣中的單個(gè)元素的運(yùn)算，而是對(duì)整個(gè)矩陣的運(yùn)算.這些運(yùn)算函數(shù)如下：expm,expm1,expm2,expm3指數(shù)運(yùn)算函數(shù);logm對(duì)數(shù)運(yùn)算函數(shù)；sqrtm開方運(yùn)算函數(shù).>>a=134;265;324;>>c=expmc=1.0e+004*0.46680.76940.92000.79191.30651.56130.48070.79190.9475>>c=logmc=0.5002+2.4406i0.59600.

17、6800i0.78811.2493i0.4148+0.4498i1.46600.1253i1.01080.2302i0.57801.6143i0.4148+0.4498i1.0783+0.8263i>>c=sqrtmc=0.6190+0.8121i0.81280.2263i1.16230.4157i0.3347+0.1497i2.30220.0417i1.14750.0766i1.02710.5372i0.3347+0.1497i1.6461+0.2750i7.矩陣的轉(zhuǎn)置，逆運(yùn)算與行列式運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置的運(yùn)算符為"”'.求逆用運(yùn)算函數(shù)：inv().而用函數(shù):det(

18、)則可求的矩陣行列式的大小.>>a=120;251;4101;>>c=a'c=1 242 510011>>b=inv(a)b=522211021>>d=detd=14.5矩陣的特殊運(yùn)算矩陣的特殊運(yùn)算包含矩陣特征值運(yùn)算，條件數(shù)運(yùn)算，奇異值運(yùn)算，范數(shù)運(yùn)算，秩運(yùn)算，正交化運(yùn)算，跡運(yùn)算，偽逆運(yùn)算等，這些運(yùn)算,MATLABtB可以非常方便地給出.4.5.1 矩陣的特征值運(yùn)算在線性代數(shù)中，計(jì)算矩陣的特征值過程相當(dāng)復(fù)雜.而在MATLAB,矩陣特征值運(yùn)算只需用函數(shù)"eig()"或"eigs()”計(jì)算即可得到.其使用格式如下.

19、E=eig(X)生成由矩陣X的特征值所組成的一個(gè)列向量；V,D=eig(X)生成兩個(gè)矩陣V和D,其中V是以矩陣X的特征向量作為列向量組成的矩陣，D是由矩陣X的特征值作為主對(duì)角線元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣.eigs()函數(shù)使用迭代法求解矩陣的特征值和特征向量.D=eigs(X)生成由矩陣X的特征值所組成的一個(gè)列向量.X必定是方陣，最好是大型稀疏矩陣；V,D=eigs(X)生成兩個(gè)矩陣V和D,其中V是以矩陣X的特征向量作為列向量組成的矩陣，D是由矩陣X的特征值作為主對(duì)角線元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣.>>a=120;251;4101;b,c=eig(a)b=0.24400.91070.44720.333

20、30.33330.00000.91070.24400.8944c=3.73210000.26790001.00004.5.2矩陣(向量)的范數(shù)運(yùn)算為了反映了矩陣(向量)某些特性，線性代數(shù)中引入了范數(shù)的概念它分為2范數(shù),1范數(shù)，無窮范數(shù)和Frobenius范數(shù)等.在MATLAB中，用函數(shù)norm()或normest()計(jì)算矩陣(向量)的范數(shù).其使用格式如下.norm(X)計(jì)算矩陣(向量)X的2范數(shù)；norm(X,2)同上；norm(X,1)計(jì)算矩陣(向量)X的1范數(shù)；norm(X,inf)計(jì)算矩陣(向量)X的無窮范數(shù)；norm(X,'fro')計(jì)算矩陣(向量)X的Frobeniu

21、s范數(shù)；normest(X)只計(jì)算矩陣(向量)X的2范數(shù)；而且是2范數(shù)的估計(jì)值，適用于計(jì)算norm(X)比較費(fèi)時(shí)的情況>>X=hilb(4)X=1.00000.50000.33330.25000.50000.33330.25000.20000.33330.25000.20000.16670.25000.20000.16670.1429> >norm(4)ans=4> >norm(X)ans=1.5002> >norm(X,2)ans=1.5002> >norm(X,1)ans=2.0833> >norm(X,inf)ans

22、=2.0833>>norm(X,'fro')ans=1.5097>>normest(X)ans=1.50024.5.3 矩陣的條件數(shù)運(yùn)算矩陣的條件數(shù)是判斷矩陣"病態(tài)"程度的一個(gè)量值，矩陣A的條件數(shù)越大，標(biāo)明A越"病態(tài)"，反之，標(biāo)明A越"良態(tài)".如Hilbert矩陣就是一個(gè)有名的病態(tài)矩陣.cond(X)返回矢!陣X的2范數(shù)的條件數(shù)；cond(X,P)返回矢!陣X的P范數(shù)的條件數(shù)，其中P為1,2,inf或fro;rcond(X)用于計(jì)算矩陣條件數(shù)的倒數(shù)值，當(dāng)矩陣X為"病態(tài)"時(shí),rcond(X)就接近0,X為"良態(tài)"時(shí),rcond(X)就接近1.condest(X)計(jì)算關(guān)于矩陣X的1范數(shù)的條件數(shù)的估計(jì)值.> >M=magic(3)M=816357492> >H=hilb(4)H=1.00000.50000.33330.25000.50000.33330.25000.20000.33330.25000.20000.16670.25000.20000.16670.1429> >c1=cond(