難點36函數(shù)方程思想

1、難點36函數(shù)方程思想函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學思想，高考中所占比重較大，綜合知識多、題型多、應用技巧多.函數(shù)思想簡單，即將所研究的問題借助建立函數(shù)關系式亦或構造中間函數(shù)，結合初等函數(shù)的圖象與性質，加以分析、轉化、解決有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；方程思想即將問題中的數(shù)量關系運用數(shù)學語言轉化為方程模型加以解決.難點磁場1. ()關于x的不等式2,32x-3x+a2-a-30,當0WxWl時恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.2. ()對于函數(shù)f(x),若存在xoCR,使f(xo)=xo成立，則稱xo為f(x)的不動點.已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+i)x+(b-

2、1)(aw0)(1)若a=1,b=-2時，求f(x)的不動點；(2)若對任意實數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；(3)在(2)的條件下，若y=f(x)圖象上A、B兩點的橫坐標是函數(shù)f(x)的不動點，且A、1B關于直線y=kx+-2對稱，求b的取小值.2a21案例探究例1已知函數(shù)f(x)=lOgma小x3(1)若f(x)的定義域為e,B,(Ba0),判斷f(x)在定義域上的增減性，并加以說明；(2)當0vmv1時，使f(x)的值域為logmm(B-1),logmm(a-1)的定義域區(qū)間為1a,3：(Ba0)是否存在？請說明理由.命題意圖：本題重在考查函數(shù)的性質，方程思想的應

3、用.屬級題目.知識依托：函數(shù)單調性的定義判斷法；單調性的應用；方程根的分布；解不等式組.錯解分析：第(1)問中考生易忽視“a3”這一關鍵隱性條件；第(2)問中轉化出的方程，不能認清其根的實質特點，為兩大于3的根.技巧與方法：本題巧就巧在采用了等價轉化的方法，借助函數(shù)方程思想，巧妙解題.x3一解：(1)0xv3或x3.x3f(x)定義域為a邛,.a3、幾4x13x236(x1x2)-設,x1x2a,有一-0x13x23(x13)(x23)當0vmv1時，f(x)為減函數(shù)，當m1時，f(x)為增函數(shù).(2)若f(x)在”邛上的值域為10gmm(B-1),logmm(a-1):0vmv1,f(x)為

4、減函數(shù).3,，八f()10gm10gmm1(1)3一、,3,，,、f()10gm-10gmm1(1)32-一m(2m1)3(m1)02,m(2m1)3(m1)0即a,B為方程mx2+(2m-1)x-3(m-1)=0的大于3的兩個根0m1一2一2 .3- 0 m5;(2)對任意實數(shù)a,恒有f(2+COSa)W0,證明m3；(3)在(2)的條件下，若函數(shù)f(sina)的最大值是8,求m.命題意圖：本題考查函數(shù)、方程與三角函數(shù)的相互應用；不等式法求參數(shù)的范圍.屬級題目知識依托：一元二次方程的韋達定理、特定區(qū)間上正負號的充要條件，三角函數(shù)公式.錯解分析：第(1)問中易漏掉0和tan(A+B)0,第(2

5、)問中如何保證f(x)在1,3恒小于等于零為關鍵.技巧與方法：深挖題意，做到題意條件都明確，隱性條件注意列.列式要周到，不遺漏.(1)證明：f(x)+4=0即x2(m+1)x+m+4=0.依題意：(m1)24(m4)0tanAtanBm10又a、B銳角為三角形內(nèi)兩內(nèi)角tanAtanBm40vA+Bv兀2tanAtanBm1M.tan(A+B)v0,即tan(AB)01tanAtanBm32m2m150m10,m40-m5m1-0m3(2)證明：=f(x)=(x-1)(x-m)又-1wcosOC1,1-12+COSa3,恒有f(2+COSa)0即Kx3時，恒有f(x)0即(x1)(x-m)X但x

6、max=3,mxmax=3m 1、(3)解: f(sin a 尸sin2 a (m+1)sin a +m=(sin )2(m 1)24m 1且2,，當 sina = -1 時，f(sin a )有取大值 8.2即 1+(m+1)+m=8,m=3錦囊妙計函數(shù)與方程的思想是最重要的一種數(shù)學思想，要注意函數(shù)系和轉化.考生應做到：(1)深刻理解一般函數(shù) y=f(x)、y=f-i(x)的性質(單調性、方程與不等式之間的相互聯(lián)奇偶性、周期性、最值和圖象變換)，熟練掌握基本初等函數(shù)的性質，這是應用函數(shù)思想解題的基礎(2)密切注意三個“二次”的相關問題，三個“二次”即一元二次函數(shù)、 程、一元二次不等式是中學數(shù)

7、學的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系 基本性質，二次方程實根分布條件，二次不等式的轉化策略殲滅難點訓練一、選擇題7L二次方.掌握二次函數(shù)已知函數(shù) f(x)=loga Jx - (2a)2對任意 xC ：-,2+ OO都有意義，則實數(shù)a的取值范圍是A.(0, 1 42. ()()Bl。，1)4C. J,141 1、D，a)函數(shù)f(x)的定義域為R,且xwl,已知f(x+1)為奇函數(shù)，當 x1時,f(x)=2x2-x+1,那么當x1時,f(x)的遞減區(qū)間是(A. 3 4 5 6 , + )4二、填空題B3C. - ,+71 18. ()已知函數(shù)f(x)=(a0,x0).ax(1)求證：f(x)

8、在(0,+8)上是增函數(shù)；(2)若f(x)w2x在(0,+8)上恒成立，求a的取值范圍；(3)若f(x)在m,n上的值域是m,n(mwn),求a的取值范圍參考答案難點磁場1 .解析：設t=3x,貝U正1,3,原不等式可化為a2-a-3-2t2+t,te1,3.等價于a2-a-3大于f(t尸-2t2+t在1,3上的最大值.答案：(-8,-1)u(2,+8)2 .解：(1)當a=1,b=-2時，f(x)=x2-x-3,由題意可知x=x2-x-3,彳導x1=-1,x2=3.故當a=1,b=-2時，f(x)的兩個不動點為-1,3.(2) .f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(aw0)恒有兩個不

9、動點,.x=ax2+(b+1)x+(b-1),即ax2+bx+(b-1)=0恒有兩相異實根.1A=b2-4ab+4a0(bR)恒成立.于是A=(4a)2-16av0解得0vav1故當bCR,f(x)恒有兩個相異的不動點時，0vav1.(3)由題意A、B兩點應在直線y=x上，設A(x1,x1),B(x2,x2)又二A、B關于y=kx+一1一對稱.2a21.k=-1.設AB的中點為M(x,y),x1,x2是方程ax2+bx+(b-1)=0的兩個根.2a21上有xz=v=xx2,又點M在直線yx22abb1a12，即b272a2a2a212a21。12a一aa02a+12d2當且僅當2a=1即aaa

10、=32(0,1)時取等號,故b-，得b的最小值-立2,24殲滅難點訓練、1.解析：考查函數(shù)y1=Jx和y2=(2a)x的圖象，顯然有0v2av1.由題意J1(2a)22得a=1,再結合指數(shù)函數(shù)圖象性質可得答案.4答案：A2.解析:由題意可得f(-x+1)=-f(x+1).令t=-x+1,則x=1-t,故f(t)=-f(2-t),即f(x)=-f(2-x).當 x 1,2 - xv 1,于是有 f(x)= - f(2 - x)= - 2(x- 7 )2 - 7 ,其遞減區(qū)間為48答案：Cax 1 一3.解析：顯然有x3,原方程可化為 10x 3故有(10 - a) x=29，必有 10 - a0

11、 得 a3 可得 a -10 a31答案：va10324.解析：原式化為 y (cosx )2 .24+ oo)出m ,當1,ymin=1 +m= 4 m= - 5.22當1W 一 1 ， ymin = 1 m= 42答案：土 5二、5.解：令 2x=t(t0), 由f(t) = 0在(0,+ 8)有且僅有一 f(t)=0有兩等根時，A =0m=5.設 f(t)=t2 - 4t+a.根或兩相等實根，則有16 - 4a=0a=4驗證：t2 - 4t+4=0t=2C(0,+8),這時 x=1f(t)=0有一正根和一負根時，f(0) v 0av 0若 f(0)=0,則 a=0,此時 4x-4 - 2

12、x=02x=0 (舍去)個元素,或2x=4,，x=2,即A中只有綜上所述，aW0或a=4,(2)要使原不等式對任意 成立.只須即 B= a | a0 恒g(4) 010x5 V17x28 06.解：(1);方程ax2+bx=2x有等根，=(b-2)2=0，得b=2.bc由f(x-1)=f(3-x)知此函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=-=1得a=-1,故f(x)=-x2+2x.2a1(2)f(x)=-(x-1)2+11,4n1,即n-4而拋物線y=-x2+2x的對稱軸為x=1.n1時，f(x)在m,n上為增函數(shù).4若滿足題設條件的m,n存在，則f(n)4n2即m2n2m 4m m2n 4n又 mvnw

13、 4 ,.-. m= -2,n=0,這時定義域為-2,0,值域為-8,0.由以上知滿足條件的m、n 存在，m= - 2,n=0.7.(1)證明：當n=1時，g1(x0)=x0顯然成立;設 n=k 時，有 gk(x0)=x0(kC N)成立, 則 gk+1 (x0)=f gk(x0) =f(x0)=g1(x0)=x0即n=k+1時，命題成立.對一切 n C N,若 g1(x0)=x。，則 gn(x0)=x0.(2)解：由(由 f(xo)=xo,得1)知，穩(wěn)定不動點 x0只需滿足f(x0)=x02f 56x0 6x02=x0, - x0=0 或 x0=一6，穩(wěn)定不動點為0和56(3)解：. f(x

14、)v0,得 6x- 6x2 0gn(x) 0要使一切nC由 g1(x)0f gn 1(x) 2,都有6x-6x206x-6x21故對于區(qū)間xv 0 或 x 1.gn 1(x) 1gn(x)V0,必須有 g1(x)V 0 或 g1(x)1.x 13 .3 33(,)和(1,+ 8)內(nèi)的任意實數(shù)x,只要 n2,nCN,都有 gn(x)x2 0,f(x1)- f(x2)=( 一)(ax1x2Xix2XiX2- x1 x20,x1x20, x1 - x2 0, f(x1) - f(x2)0,即 f(x1)f(x2),故 f(x)在(0,+ 8)上是增函數(shù)1-,-0,xa 1一 在2x 1 x1(0, +8)上恒成立，令 g(x)2x x12 2x 1i x(當且僅當2x= 1即x=2時取等號)，要使a .故a的取值范一1在(0,+8)上恒成立，貝Ua22x14x田口2圍是,+0).4(3)解：由(1)f(x)在定義域上是增函數(shù).，m=f(m),n=f(n),即m2-m+l=0,n2-n+1=0aa故方程x2-x+1=0有兩個不相等的正根m,n,注意到mn=1,故只需要A=()2-aa40,由于a0,貝U0a.23.()關于x的方程lg(ax-1)-lg(x-3)=1有解，則a的取值范圍是.4.()如果y=1-sin2x-mcosx的最小值為-4,則m的值為.三、解