勾股數(shù)的有趣特征

1、勾股數(shù)的有趣特征在學習和運用勾股定理時，如果深入了解一下勾股數(shù)的一些特征，不僅能十分方便地熟記勾股弦的相關(guān)數(shù)值并運用到三角和幾何里，而且使我們對勾股數(shù)的認識和掌握更加方便、易記。=5,股=12,弦=13時，我們稱之為一組“勾就是一組勾股數(shù)。我們可以舉出無窮大家常說的“勾三股四弦五”我們知道，在一個直角三角形中，斜邊為弦，兩直角邊中短者為勾，長者為股。它們滿足勾2+股2=弦2,當勾，股，弦都是整數(shù)時，比如當勾股數(shù)”或“畢達哥拉斯數(shù)多組的勾股數(shù)來，如：62+82=10272+242=25282+152=17292+402=412172+1442=1452202+212=292大家是否想到這些勾股數(shù)

2、尚有不少有趣的特征呢。特征1:任意一組勾股數(shù)中，必有一個數(shù)是3的倍數(shù)；必有一個數(shù)是4的倍數(shù)；必有一個數(shù)是5的倍數(shù)。如:6,8,10是一組勾股數(shù)，其中6是3的倍數(shù)，8是4的倍數(shù)，10是5的倍數(shù)。又如9,40,41是一組勾股數(shù)，其中9是3的倍數(shù)，40既是4的倍數(shù)也是5的倍數(shù)。特征2:在所有的勾股數(shù)中，其中沒有一組的三個數(shù)都是奇數(shù)的。卜面我們采用“反證法”來證明。假設(shè)一組勾股數(shù)都是奇數(shù)為：2X1+1,2X2+1,2X3+1（X1,X2,X3皆為整數(shù)）2222它們分別平萬后得到：(2X1+1)2=4X12+4X1+1,(2X2+1)2=4X22+4X2+1,(2X3+1)2=4X32+4X3+1222

3、2把姑二個數(shù)中的任息兩個加起來，如：（2X1+1）+（2X2+1）=2（2X1+2X2+2X1+2X2+1）其和是一個偶數(shù)，而（2X3+1）2卻是一個奇數(shù)，二者顯然不等。由此可見三個都是奇數(shù)的勾股數(shù)是不存在的o特征3：若a,b,c是一組勾股數(shù)，則ka,kb,kc（k是任意自然數(shù)）也是一組勾股數(shù)。、-、CCCCCCCCC姑個特征的證明則更間單：由a+b=c，有(ka)+(kb)=k(a+b)=(kc)。從而得出（ka）2+（kb）2=（kc）這個特征告訴我們，只要知道一組勾股數(shù)，便可得到無數(shù)多組的勾股數(shù)。盡管如此，我們卻只能得到部分勾股數(shù)，其余的勾股數(shù)是否能用簡單的代數(shù)公式給出呢？為此，我們再將一些勾股數(shù)進行歸類考察：3,4,57,24,255,12,139,40,416,8,1010,24,268,15,1712,35,37從中可以發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的組成規(guī)律，即特征4:象第一組，如果第一個數(shù)是奇數(shù)，那么第二個數(shù)是第一個數(shù)的平方減1再除以2,2第三個數(shù)是第二個數(shù)加1。寫成公式：若M為奇數(shù)，則M,M2-1數(shù)。同樣，我們可以寫成第二組的勾股數(shù)公式:N,2fNd|-1,2J（N是偶數(shù)）了解勾股數(shù)的這些有趣特征