抽象形象與數(shù)形思想

1、 應(yīng)用骰子模型 ，探究正態(tài)分布引例： 將1枚投擲骰子1次，若出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)則記0分，出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)則記1分.試寫(xiě)出這枚骰子投擲10次后得分和的分布列.【解析】 記這枚骰子投擲10次后的得分和為，則的可能值為0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.共11種.記投擲骰子1次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)的事件為A，那么出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的事件為.顯然由公式（5）：得：；以下可知的分布列是：012345678910P我們仔細(xì)觀察這張表，不難發(fā)現(xiàn)它除仍然符合（1）；（2）外，還具有對(duì)稱(chēng)性，即與首末等距離的兩概率之值相等.如果再計(jì)算期望與方差，可得：如果在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出它的圖象如圖1，那么我們已經(jīng)可以見(jiàn)到正態(tài)曲線的雛形：它關(guān)于直線

2、x=5對(duì)稱(chēng)，這正好與5相吻合.（而方差或標(biāo)準(zhǔn)差則正態(tài)曲線的“高低”，“胖瘦”，這里略去.）圖1在這個(gè)圖象中，如果過(guò)折線的各個(gè)頂點(diǎn)依次向右畫(huà)x軸的平行線段，得到10個(gè)小矩形.顯然這些矩形面積之和近似等于折線與x軸及其兩端的垂線所包圍平面部分的面積.由于這些小矩形的寬度都是1，所以所有矩形面積的和為：.以上所分析的是n=10的情況.可以設(shè)想：當(dāng)時(shí)，這條折線的極限就是正態(tài)曲線，這與利用頻率分布直方圖所得到的正態(tài)曲線，在實(shí)質(zhì)上是一樣的.正態(tài)曲線的性質(zhì)很多.但在解題中，最重要最實(shí)用的性質(zhì)是如下兩條：（1）它關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).這里表示總體平均數(shù)，即總體中變量的期望；圖2（2）它的主要功能是利用面積來(lái)表示概率.

3、如圖2，當(dāng)時(shí)，直線與之間所包圍的平面部分的面積，就是總體在區(qū)間內(nèi)取值的概率.特別地，整條正態(tài)曲線與x軸所包夾的平面部分面積，一定是1.鏈接1：（08·湖南卷第4題）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若, 則c = ( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】 條件表示圖3如圖3中兩塊陰影部分的面積相等，所以必為正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸.條件說(shuō)明題中總體平均數(shù)=2，也就是正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為x=2.（方差或標(biāo)準(zhǔn)差）.故知c=2，選B.圖4鏈接2：（07·全國(guó)2理14）在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（1，）（s>0），若x在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，則在（0，2）內(nèi)取值的概率為

4、.【解析】 如圖4，條件N（1，）說(shuō)明正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸x=1，故當(dāng)x在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，時(shí)x在（1，2）內(nèi)取值的概率亦為0.4，在（0，2）內(nèi)取值的概率為0.8.鏈接3：（07·浙江卷理5）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則A0.16 B. 0.32 C. 0.68 D. 0.84【解析】 如圖5，正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為x=2.，.圖5而即.選A.【評(píng)注】 以上3道試題，從題型看它們都不是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的條件是期望=0，即相應(yīng)正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸）.若按常規(guī)解題，應(yīng)首先通過(guò)公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其方法是：以下的解析是方法嗎？【解析】 由，.顯然這個(gè)計(jì)算將繁雜得多.

5、圖6鏈接4：（08·安徽卷第10題）設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如圖6所示.則有（ ）ABCD【解析】 正態(tài)分布中，表示對(duì)稱(chēng)軸，由圖6知.表示標(biāo)準(zhǔn)差.由正態(tài)分布公式可知，越大，曲線越“矮胖”；越小，曲線越“瘦高”，.選A.例 已知：從某批材料中任取一件時(shí)，取得的這件材料強(qiáng)度服從（1）計(jì)算取得的這件材料的強(qiáng)度不低于180的概率（2）如果所用的材料要求以99的概率保證強(qiáng)度不低于150，問(wèn)這批材料是否符合這個(gè)要求分析：這是一個(gè)實(shí)問(wèn)題，只要通過(guò)數(shù)學(xué)建模，就可以知道其本質(zhì)就是一個(gè)“正態(tài)分布下求隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率”的問(wèn)題；本題的第二問(wèn)是一個(gè)逆向式問(wèn)法，只要把握實(shí)質(zhì)反向求值即可解：（

6、1）（2）可以先求出：這批材料中任取一件時(shí)強(qiáng)度都不低于150的概率為多少，拿這個(gè)結(jié)果與99進(jìn)行比較大小，從而得出結(jié)論即從這批材料中任取一件時(shí)，強(qiáng)度保證不低于150的概率為99.7399，所以這批材料符合所提要求說(shuō)明：“不低于”的含義即在表達(dá)式中為“大于或等于”轉(zhuǎn)化“小于”后，仍須再轉(zhuǎn)化為非負(fù)值的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表達(dá)式，從而才可查表公共汽車(chē)門(mén)的高度例 若公共汽車(chē)門(mén)的高度是按照保證成年男子與車(chē)門(mén)頂部碰頭的概率在1以下設(shè)計(jì)的，如果某地成年男子的身高（單位：），則該地公共汽車(chē)門(mén)的高度應(yīng)設(shè)計(jì)為多高？分析：實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，分析可知：求的是門(mén)的最低高度，可設(shè)其為，使其總體在不低于的概率值小于1，即：，從中解出的范圍解：設(shè)該地公共汽車(chē)門(mén)的高度應(yīng)設(shè)計(jì)高為cm，則根據(jù)題意可知：，由于，所以，也即：通過(guò)查表可知：解得：即該地公共汽車(chē)門(mén)至少應(yīng)設(shè)計(jì)為189cm高 說(shuō)明：逆向思維和逆向查表，體現(xiàn)解決問(wèn)題的靈活性關(guān)鍵是理解題意和找出正確的數(shù)學(xué)表達(dá)式學(xué)生成績(jī)的正態(tài)分布例 某班有48名同學(xué)，一次考試后數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布平均分為80，標(biāo)準(zhǔn)差為10，問(wèn)從理論上講在80分至90分之間有多少人？分析：要求80分至90分之間的人數(shù)，只要算出分?jǐn)?shù)落在這個(gè)范圍內(nèi)的概率，然后乘以總?cè)藬?shù)即可，而計(jì)算這個(gè)概率，需要查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，所以應(yīng)首先把這個(gè)正態(tài)總體化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體解