圓錐曲線綜合試題全部大題目附答案解析

1、1. 平面上一點(diǎn)向二次曲線作切線得兩切點(diǎn)，連結(jié)兩切點(diǎn)的線段我們稱切點(diǎn)弦設(shè)過(guò)拋物線2x2py外一點(diǎn)P(Xo,y°)的任一直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為C、D,與拋物線切點(diǎn)弦AB的交點(diǎn)為Q。(1)求證：拋物線切點(diǎn)弦的方程為x0xp(y+y0)；(2)求證：112PC|PD|PQ|已知定點(diǎn)F(1,0),動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PM交x軸于點(diǎn)M并延長(zhǎng)MP到點(diǎn)N,且PMPF0,|PM|PN|.(1)動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；(2)線|與動(dòng)點(diǎn)N的軌跡交于A,B兩點(diǎn)，若OAOB4,且4.6|AB|430，求直線I的斜率k的取值范圍22223.如圖，橢圓C1:1的左右頂點(diǎn)分別為A、B,P為雙曲線C2:1右支4

2、343上(x軸上方)一點(diǎn)，連AP交G于C,連PB并延長(zhǎng)交G于。，且厶PCD的面積相等，求直線PD的斜率及直線CD的傾斜角.4.已知點(diǎn)M(2,0),N(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|PN|2三.記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.(I)求W的方程；(n)若RB是W上的不同兩點(diǎn),225.已知曲線a的方程為:kx+(4-k)y=k+1,(kR)(I)若曲線C是橢圓，求k的取值范圍；(n)若曲線c是雙曲線，且有一條漸近線的傾斜角是60°,求此雙曲線的方程；(川)滿足(n)的雙曲線上是否存在兩點(diǎn)P,C關(guān)于直線I:y=x-1對(duì)稱，若存在，求出過(guò)P,C的直線方程；若不存在，說(shuō)明理由。6

3、.如圖(21)圖，M(-2,0)和N(2,0)是平面上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：PMPN6.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；2若PM-PN=,求點(diǎn)P的坐標(biāo).1cosMPN7.已知F為橢圓2x2ab21(ab0)的右焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)F且與雙曲線x2b21的兩條漸進(jìn)線"J分別交于點(diǎn)M,N，與橢圓交于點(diǎn)A,B.(I)若(II)若MON-0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，雙曲線的焦距為4。求橢圓方程。FA3月求橢圓的離心率X28.設(shè)曲線G：牙y21(a為正常數(shù))與C2:y22(xm)在x軸上方只有一個(gè)公共點(diǎn)P。a(I)求實(shí)數(shù)m的取值范圍(用a表示);1(n)O為原點(diǎn)，若Ci與X軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，當(dāng)0a-時(shí)，試求OAP

4、的面積的最2大值(用a表示)。1.(1)略(2)為簡(jiǎn)化運(yùn)算，設(shè)拋物線方程為2(xXo)2p(yyo)，點(diǎn)Q,C,D的坐標(biāo)分別為(X3,丫3),(捲，),(X2,y2)，點(diǎn)P(0,0),直線y2(XX。)2p(kxy°)x22(xopk)xx22pyo0kx,一方面。要證1PC1|PD|2|PQ|化斜為直后112只須證：X1X2X3由于11X1x22(X02pk)X1X2XX2x02pk另一方面，由于P(0,0)所以切點(diǎn)弦方程為：X)(xx0)p(y2y0)所以X32x02Pk1X0pkX3x：2pkX0Pk112從而X1X2X3即112PC|PD|PQ|2.(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x

5、,y),則M(x,0),P(0,)(x0),PM(x,于),2PF(1,y),由PMPF0得xZ0，因此，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為y4x(x0).424分(2)設(shè)I與拋物線交于點(diǎn)A(xi,yi),B(X2,y2)，當(dāng)I與x軸垂直時(shí)，則由OAOB4,得力2.2必2.2,|AB|4,246，不合題意，故與I與x軸不垂直，可設(shè)直線I的方程為y=kx+b(k豐0),則由OAOB4,得X1X2yy46分由點(diǎn)A,B在拋物線y24x(x0)上，有y；4x1,yf4x2，故y1y28.又y2=4x,y=kx+b得ky24y+4b=0,8分2所以4b8,b2k.16(12k2),|AB|21、(鳥32)10分kkk2因

6、為4、6|AB|4.30,所以96(駕32)480.解得直線l的斜率的取值范圍是kk11,1.12分2. 2由題意得C為AP中點(diǎn)，設(shè)C(x0,y°),A(2,0),P(2«2,2y。)，22把C點(diǎn)代入橢圓方程、P點(diǎn)代入雙曲線方程可得3X04y。1222,3(2xo2)4y。12解之得:x133,故C(1,-),P(4,3),又B(2,0)y022故直線PD的斜率為422，直線PD的方程為y2(x2)223.聯(lián)立y2(x22xy432)解得D(1,13、，故直線CD的傾斜角為90°2)3. 解法(I)由|PM|PN|=2,2知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右

7、支，實(shí)半軸長(zhǎng)a.2又半焦距c=2，故虛半軸長(zhǎng)bc2a2、222所以W的方程為一1,x、222(n)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(為，),(x2,y2)當(dāng)AB丄x軸時(shí)，捲x2,從而y1THy2,從而OAOBX1X2yy22X1y1當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB的方程為ykxm,與W的方程聯(lián)立,消去y得(1k2)x22kmxm220.故x1x22kmX-|X2m22k21所以O(shè)AOBxix2yiy2xix2(kxim)(kx2m)(1k2)x1x2km(x1x2)m2222(1k)(m2)2kmk211k22k22k214k212.2又因?yàn)閤1x20,所以k1的坐標(biāo)分別為，則(x1,yi),(X2,y2

8、),則2Xiyi2(Xiy)(xyj2(i1,2).令sXiyi,tiXiyi,則sti2,且s0,ti0(i1,2)所以O(shè)AOBy21尹22,當(dāng)且僅當(dāng)XiX2時(shí)”成立.y2的最小值是2.所以5.(1)2Xink當(dāng)k=0或k=-1或k=4時(shí)，21，為橢圓的充要條件是k14kC表示直線;當(dāng)kz0且k豐-1且k豐4時(shí)方程為k1k10,-k4k0,從而綜上，當(dāng)AB丄x軸時(shí)，OAoB取得最小值2.解法二：(I)同解法即是0<k<2或2<k<4(2)為雙曲線的充要條件是0,即k1或-1k0或k4,當(dāng)k1或k4時(shí)，雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，a2$,b2歸得k6,當(dāng)-1k0時(shí),雙曲線焦點(diǎn)在

9、y軸上,b2-,a2上丄得k6,不符.kk422綜上得雙曲線方程為：L»17762（川）若存在，設(shè)直線PQ的方程為：y=-x+my6x2xm2y2消去y得:4x2724mx2m70m2,M在直線L上,3m3m26.(1)由橢圓的定義，點(diǎn)P的軌跡是以M因此半焦距c=2,長(zhǎng)半軸a=3,從而短半軸b=Ja2c245,22所以橢圓的方程為x1.95由PMIPN,得T1cosMPNN為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6的橢圓.Xo設(shè)P,Q的上點(diǎn)是M（x°,y。）,貝Vyo1方程（2）的厶0,.存在滿足條件的P、Q,直線PQ勺方程為yx12PM(PN|cosMPN|PM|PN|2.因?yàn)閏osMPN1

10、,P不為橢圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，故P、MN構(gòu)成三角形.在厶PMN中,MN4,由余弦定理有2MN2PMPN22PMIpNcosMPN.將代入，得42PM|2|PN22(PM|PN|2).2故點(diǎn)P在以MN為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2.3的雙曲線y21上.322由知，點(diǎn)P的坐標(biāo)又滿足1，所以955x2由方程組o2x9y245,3y23.即P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3(23、3V，3手x遼)23J3.5、'-T)-7.解：(I)MON-，M,N是直線l與雙曲線兩條漸近線的交點(diǎn),3tan6雙曲線的焦距為4,b24解得，a23,b212x橢圓方程為-3y21(II)解：設(shè)橢圓的焦距為2c，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)OMON0，l

11、1直線l1的斜率為直線l的方程為a直線l的斜率為，baza(xc)a/、y(xa)由bbyxa解得a2cab即點(diǎn)N(,ab)c設(shè)A(x,y),由FA】AN3a2c,y13(cabx,一cy)1(a2xc(即3c1aby(一3cX)y)3c24caby4c“Jaab、,)4c10分。點(diǎn)A在橢圓上,(3c2a2216ac2)212分1)2116e2(3c1(n)OAP的面積是S-ayp。因?yàn)?a,所以有兩種情形:2a2)2a416a2c2,(3e29e410e220e2橢圓的離心率是e8.(I)由y2122ax(2m1)a20,設(shè)f(x)x22a2x(2m1)a2,則冋題(I)轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間(a,a)上有唯一解：若0m2a21，此時(shí)Xp2a，當(dāng)且僅當(dāng)aa2a，即0a1適合；若f(a)f(a)0,貝Uama;若f(a)0ma,此時(shí)xPa2a2,當(dāng)且僅當(dāng)a2a2aa,即0a1時(shí)適合;若f(a)0ma，此時(shí)xPa2a2，但a2a2a，從而ma。綜上所述，當(dāng)0a1時(shí)，ma21或ama；當(dāng)a1時(shí)，