透視平行四邊形新題型

1、透視平行四邊形新題型隨著新課程的不斷深入， 中考試題在形式上發(fā)生了較大變化，各式各樣的新題型閃亮登場(chǎng)，有關(guān)平行四邊形的新題型更是令人耳目一新，現(xiàn)選取數(shù)例進(jìn)行分析，供同學(xué)們參考.條件開(kāi)放型例1、如圖1, E、F分別是CABCD的AD、BC邊上的點(diǎn)，若再增加一個(gè)條件 就可推得BE=DF .評(píng)析：本題將傳統(tǒng)的封閉問(wèn)題進(jìn)行改造，從一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形 中提出問(wèn)題，讓學(xué)生探索結(jié)論成立的條件，適當(dāng)開(kāi)放問(wèn)題的條件， 對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的考查極有好處.答案可以從AE=CF ,/ AEB= / CFD，/ ABE= / CDF 等中任選一個(gè).、猜想證明型例2、(大連市)如圖，E、F分別是平行四邊形 ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD所

2、在直線(xiàn)上的兩點(diǎn),DE=BF，請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成 一條新的線(xiàn)段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線(xiàn)段相等(只 需研究一組線(xiàn)段相等即可).(1) 連結(jié)； (2)猜想：;(3)證明：(說(shuō)明：寫(xiě)出證明過(guò)程的重要依據(jù))評(píng)析：此題為猜想并證明的試題， 雖難度不大，但結(jié)構(gòu)較新，改變了傳統(tǒng)的固有模式. 解 答時(shí)應(yīng)先仔細(xì)觀察圖形，然后提出一種可能性的猜想，再?lài)L試去證明它連結(jié)FC,猜想：AE=CF .證明過(guò)程的重要依據(jù)是： 連結(jié)AE、CF,由平行四邊形對(duì)邊平行且相等得AB / CD ,AD / BC , AB=DC , AD=BC ,由此可推出/ ABE= / CDF , / ADE=

3、 / CBF ,再加上 DE=BF , 根據(jù)全等三角形的判定定理SAS，容易證得 ABE CDF或厶ADE CBF，從而可以得到AE=CF .三、拼圖操作型例3 （天津市）如圖3,已知四邊形紙片 ABCD，現(xiàn)需將該 紙片剪拼成一個(gè)與它面積相等的平行四邊形紙片，如果限定裁 剪線(xiàn)最多有兩條，能否做到？ （用 能”或 不能”填空）.若填 能請(qǐng)確定裁剪線(xiàn)的位置，并說(shuō)明拼接方法；若填不能”請(qǐng)簡(jiǎn)要D說(shuō)明理由.評(píng)析：此題以學(xué)生喜愛(ài)的剪紙活動(dòng)為背景,讓學(xué)生在剪與拼的操作過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論，較好地體現(xiàn)了新課標(biāo)下做數(shù)學(xué)”的理念.根據(jù)此題限制只能有兩條輔助線(xiàn)，所以我們?cè)趯ふ壹舨镁€(xiàn)的過(guò)程中要注意兩個(gè)原則：一是要利用

4、題中給定的 四邊形的特殊點(diǎn)，二是要注意到平行四邊形的特征，因此我們 可以考慮取四邊形各邊的中點(diǎn)，利用相等線(xiàn)段使兩個(gè)不同圖形 的邊重合在一起，再利用四邊形內(nèi)部?jī)蓪?duì)相等的對(duì)頂角構(gòu)成平 行四邊形的兩組對(duì)角.具體操作是：如圖 4,取四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)E、F、G、H，連接EF、GH，以EF、GH為裁剪線(xiàn)，將四邊形 ABCD分成四部分，拼接時(shí)，圖中的1不動(dòng)，將2、4分別繞點(diǎn)H、F各旋轉(zhuǎn)180°將3進(jìn)行平移，就拼成滿(mǎn)足條件的平行四 邊形OMNP .四、判斷說(shuō)理型例4、（廣東?。┤鐖D 5,在 6BCD中，/ DAB=60 ，點(diǎn)E、F分別在 CD、AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且 AE=AD , CF=CB

5、.（1） 求證：四邊形 AFCE是平行四邊形.（2）若去掉已知條件中的/ DAB=60，上述的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō) 明理由.評(píng)析：本題（2）把以往的幾何論證轉(zhuǎn)為自主探究，把已知條件中的部分條件去掉，讓學(xué)生通過(guò)自主探索探究原有結(jié)論是否仍然成立，這種新的考查形式成為近年來(lái)中考試題的熱 占八、證明、判斷及說(shuō)理過(guò)程為:（1）t四邊形ABCD是口， AD=BC ,/ DAB=60 ,/ EDA= / CBF=60 .又 AE=AD , CF=CB , AED和厶CBF為全等的等邊三角形， ED+DC=AB+BF，即 EC=AF,又 DC/ AB ,四邊形AFCE是平行四邊

6、形，(3) 仍然成立在 COE和厶AOF中，T ABCD為平行四邊形, OA=OC，DC / AB ,/ ECO= / FAO ,又/ AOF= / COE, COE AOF , EC=AF ,又 EC / AF ,四邊形AFCE是平行四邊形.點(diǎn)擊平行四邊形中的新型問(wèn)題近年來(lái)，中考數(shù)學(xué)試題在立意創(chuàng)新設(shè)計(jì)上思路更成熟、更開(kāi)闊，正在從立意、情景、設(shè)問(wèn)三方面努力，不僅使設(shè)計(jì)有了更多的創(chuàng)新，也通過(guò)試題更好地鼓勵(lì)學(xué)生探索與創(chuàng)新.現(xiàn)以平 行四邊形問(wèn)題為例，來(lái)體會(huì)這類(lèi)問(wèn)題解題思路特點(diǎn).例1 （大連）、如圖9, E、F分別是平行四邊形 ABCD對(duì)角線(xiàn)BD所在直線(xiàn)上兩點(diǎn)，DE = BF.請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖

7、中已標(biāo) 有字母的某一點(diǎn)連成一條新的線(xiàn)段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線(xiàn)段相等（只須研究一組線(xiàn)段相等即可）.連結(jié):猜想：;證明：（說(shuō)明：寫(xiě)出證明過(guò)程中的重要依據(jù)）【解】：（1）CF（2）CF=AE證明：四邊形 ABCD是平行四邊形 AD / BC, AD = BC （平行四邊形對(duì)邊平行且相等）/ ADB = Z CBD （兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等）/ ADE = Z CBF （等角的補(bǔ)角相等）/ DE = BF ADE CBF （ SAS） CF =AE （全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）【評(píng)注】（1）本例首先考查解決與平行四邊形有關(guān)題目的常用方法：利用三角形全等；充分利用平行四邊形的性質(zhì)；（2）其次考察

8、猜想、判斷、推理能力，熟練運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題 的能力（3）本題屬開(kāi)放型題目，只要通過(guò)分析，得出相應(yīng)結(jié)論，進(jìn)一步驗(yàn)證或說(shuō)明理由即可，答 案往往不惟一.例2.（貴陽(yáng)）如圖9,在平行四邊形 ABCD中，對(duì)角線(xiàn)ACBD相交于點(diǎn)O ,AF丄BD ,CE丄BD , 垂足分別為E、F;（1） 連結(jié)AE、CF，得四邊形 AFCE，試判斷四邊形 AFCE是下列圖形中的哪一種？平行四邊形；菱形；矩形；（2）請(qǐng)證明你的結(jié)論；【解1 . （1）畫(huà)圖連結(jié)AE、CF四邊形AFCE為平行四邊形(2)證明：T AF 丄 BD , CE丄 BD，/ AFO = / CEO又/ AOF = / COE , OA = OC又/ OA

9、 = OC ,四邊形AFCE是平行四邊形【評(píng)注】探索性的問(wèn)題在近幾年中考中已越來(lái)越多受到命題者的青睞，要求答題者開(kāi)動(dòng)腦筋，積極探索解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵借助于圖形或是合理的分析、猜測(cè)先得出結(jié)論，再進(jìn)一步依 據(jù)已知推理，說(shuō)明結(jié)論的正確性 .例3 (廣東)如圖，在ABCD中，NDAB =60,，點(diǎn)F , E分別在AB , CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且 CF =BC , AE =AD (1) 求證：四邊形 AFCE是平行四邊形；(2) 若去掉已知條件的 工DAB =60”，上述的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解】(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形,A B/ D C AB D ?

10、Z DAB =60：, AE =AD , . AD E是等邊三角形.同理， BFC是等邊三角形.ED二AD BF BC 又；AB 二 DC, AB / DC ,AB BF 二 CD D E卩 AF 二CE, AF / CE 四邊形EAFC是平行四邊形.(2)成立.證明：；四邊形ABCD是平行四邊形，二/ ADE=/ DAB DCgC B；AE二 AD CB CFAE 二 AD二 CB CF二/ ADEN CBF/ AE=DCF ADEA CB.FDE= BFAB BF 二 CD D E卩 AF 二 CE.I ,(AF/ CE.四邊形EAFC是平行四邊形.本題利用一組對(duì)邊平行【評(píng)注】證明一個(gè)四邊

11、形是平行四邊形選擇適當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ㄊ顷P(guān)鍵，且相等的四邊形是平行四邊形判定進(jìn)行證明.例4.(宿遷) 如圖，在口ABCD中，AE、BF分別平分/ DAB和/ ABC，交CD于點(diǎn)E、F ,AE、BF相交于點(diǎn)M .(1) 試說(shuō)明：AE丄BF;(2) 判斷線(xiàn)段DF與CE的大小關(guān)系，并予以說(shuō)明.【解】：(1)方法一：如圖在口ABCD 中，AD /DAB + Z ABC= 180°/ AE、BF 分別平分/ DAB 和/ ABC,：/ DAB = 2 / BAE,/ ABC = 2 / ABF 2/ BAE + 2/ABF = 180°,即/ BAE + /ABF = 90°/

12、AMB = 90°, AE丄 BF .圖(2):線(xiàn)段DF與CE是相等關(guān)系，即 DF = CE在口ABCD中，CD / AB, / DEA =/ EAB又 AE 平分/ DAB，/ DAE = / EAB / DEA =/ DAE , DE = AD同理可得，CF = BC又在口ABCD 中，AD = BC , DE = CF DE EF = CF EF，即 DF = CE.【評(píng)注】由平行四邊形可得出許多線(xiàn)段相等和平行，角相等，這些都可作為已知條件.作為探索結(jié)論依據(jù).解決此類(lèi)問(wèn)題，一般先通過(guò)關(guān)系，加以猜想，然后給 與驗(yàn)證，要注意對(duì)平行四邊形性質(zhì)的應(yīng)用例5.(廣州)圖8是某區(qū)部分街道示意

13、圖，其中CE垂直平分AF ,AB / DC, BC / DF .從B站乘車(chē)到E站只有兩條路線(xiàn)有直接到達(dá)的公交車(chē)，路線(xiàn) 1是B-D-A-E，路線(xiàn)2是B-C-F-E，請(qǐng)比較兩條路線(xiàn)路程的長(zhǎng)短，并給出證明.【解析】（方法不止一種?。┻@里提供一種：這兩條路線(xiàn)路程的長(zhǎng)度一樣.證明：延長(zhǎng)FD交AB于點(diǎn)G/ BC/DF , BC/FG BCD 二/FDC , . CBD "GDB , DGB 二/DFC CBD "DFC: BCD "FDCCBD "DFCCD是公共邊 BCD FDC , BC =FD四邊形BCFD是平行四邊形 CF =BD/ CE垂直平分AF AE

14、二 FE , FD 二 DA BC = DA路線(xiàn)1的長(zhǎng)度為：BD DA AE，路線(xiàn)2的長(zhǎng)度為：BC CF FE綜合，可知路線(xiàn) 1路程長(zhǎng)度與路線(xiàn)2路程長(zhǎng)度相等.【評(píng)注】將現(xiàn)實(shí)生活中的平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題中，借助于平行四邊形的判定來(lái)解決是解此題的關(guān)鍵例6.（茂名）七巧板是我們祖先的一項(xiàng)創(chuàng)造，被譽(yù)為東方魔板”，如圖是一副七巧板，若 已知Sa bic =1，請(qǐng)你根據(jù)對(duì)七巧板制作過(guò)程的認(rèn)識(shí)，解決下列問(wèn)題:（1）求一只螞蟻從點(diǎn) A沿A > B > C > H > E所走的路線(xiàn)的總長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.01）;（2）求平行四邊形EFGH的面積.解：(1)由七巧板性質(zhì)可知 BI =IC =CH =HE .又:Sa bic =1, / BI