實(shí)驗(yàn)離散傅立葉變換DFT

1、實(shí)驗(yàn)一離散傅立葉變換試驗(yàn)?zāi)康睦斫怆x散傅立葉變換的基本概念掌握離散傅立葉變換的應(yīng)用方法離散傅立葉變換傅立葉變換是信號(hào)分析和處理的重要工具。有限長(zhǎng)序列作為離散信號(hào)的一種，在數(shù)字信號(hào)處理種占有著極其重要的位置。對(duì)于有限長(zhǎng)序列，離散傅立葉變換不僅在理論上有著重要的意義，而且有快速計(jì)算的方法-快速傅立葉變換。所以在各種數(shù)字信號(hào)處理的運(yùn)算方法中，越來(lái)越起到核心的作用。下面，就對(duì)離散傅立葉變換及其MATLAtK數(shù)應(yīng)用，結(jié)合實(shí)際工程實(shí)例做說(shuō)明。1傅立葉變換的幾種形式1、非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的傅立葉變換Xj)可以表示為Q0Xj)=Jx(t)eTSdt逆變換為:jt1x(t)=

2、廠x(j)d2二=在這里，co是模擬角頻率?？梢钥吹剑瑫r(shí)域的連續(xù)函數(shù)造成頻域的非周期譜，時(shí)域的非周期性造成頻域的連續(xù)譜。結(jié)論：非周期連續(xù)時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于一非周期連續(xù)頻域變換函數(shù)。2、周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換周期為T(mén)的周期性連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)傅立葉變換是離散頻域函數(shù)，可表示為T(mén)12imtX(jm，)=x(t)ejm'd-2逆變換為aOx(t)=£X(jm)ejdo這就是經(jīng)常稱(chēng)之為傅立葉級(jí)數(shù)的變換形式。在這里，©也是模擬角頻率?？梢钥吹?時(shí)域的連續(xù)函數(shù)造成頻率域的非周期譜，頻域函數(shù)的離散造成時(shí)域函數(shù)的周期性。結(jié)論：周期連續(xù)時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于一非周期離散頻域變換函數(shù)。3、

3、非周期離散時(shí)間信號(hào)x(n)的傅立葉變換X(ej。)可以表示為X(ej')寸x(n)e*nn二二逆變換為1二iinx(n)=X(e)ed2-二在這里，CD是數(shù)字頻率，它和模擬角頻率的關(guān)系為缶=QT。可以看到，時(shí)域的取樣對(duì)應(yīng)于頻域的周期延拓，而時(shí)域函數(shù)的非周期性造成頻域的離散譜。結(jié)論：非周期離散時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)于一周期連續(xù)頻域變換函數(shù)。4、周期離散時(shí)間信號(hào)的傅立葉變換周期離散時(shí)間信號(hào)x(n)的傅立葉變換一離散傅立葉變換，可以表示為%馬令*n=0逆變換為x(n>1LJX(k)eJ2nkNK=0可以看到，時(shí)域的取樣對(duì)應(yīng)于頻域的周期延拓，而時(shí)域函數(shù)的周期性造成頻域的離散譜。結(jié)論：周期離散時(shí)間函

4、數(shù)對(duì)應(yīng)于一周期離散頻域變換函數(shù)。2離散傅立葉變換列，卻只有N個(gè)獨(dú)立的數(shù)值，所以它的許多特性可以通過(guò)有限長(zhǎng)序列延拓來(lái)得到。對(duì)于個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)，也即x(n)只在n=0(N1)個(gè)點(diǎn)上有非零值，其余皆為零，即離散傅立葉級(jí)數(shù)變換是周期序列,仍不便于計(jì)算機(jī)計(jì)算。但離散傅立葉級(jí)數(shù)雖是周期序x(n),0n<N1x(n)=、0,其他把序列x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓得到周期序列x(n),則有x(n)=x(n),。5邛-10,其他所以，有限長(zhǎng)序列x(n)的離散傅立葉變換(DFT)為NAX(k)=DFTx(n)=Lx(n)WN&,0£n三N-1n=0逆變換為x(n)=IDF

5、TX(k)=1'X(k)WN*n,0_n_N-1Nn若將DFT變換的定義寫(xiě)成矩陣形式，則得到X=Ax,其中DFT變換矩陣A為11.1Aj1wN.w”A=.1Wnn".wNn-1)2Dftmtx函數(shù)：用來(lái)計(jì)算DFT變換矩陣A的函數(shù)調(diào)用方式A=dftmta(n)：返回nxn的DFT變換矩陣A。若x為給定長(zhǎng)度的行向量，則y=x*A,返回x的DFT變換v。(1) Ai=conj(dftmtx(n)/n;返回nxn的IDFT變換矩陣Ai。應(yīng)用說(shuō)明【實(shí)例1】>>A=dftmtx(4)>>Ai=conj(dftmtx(4)/4運(yùn)行結(jié)果1.00001.00001.00

6、001.00001.00000-1.0000i-1.00000+1.0000i1.0000-1.00001.0000-1.00001.00000+1.0000i-1.00000-1.0000iAi=0.25000.25000.25000.25000.25000+0.2500i-0.25000-0.2500i0.2500-0.25000.2500-0.25000.25000-0.2500i-0.25000+0.2500i【實(shí)例1-a】求四點(diǎn)矩形序列的DFT。分別是16點(diǎn)和32點(diǎn)等間隔米樣。%DFT的MATL酊算xn=1111;%輸入時(shí)域序列向量xn=R8(n)Xk16=fft(xn,16);%計(jì)

7、算xn的16點(diǎn)DFTXk32=fft(xn,32);%計(jì)算xn的32點(diǎn)DFT泅下為繪圖部分k=0:15;wk=2*k/16;%產(chǎn)生16點(diǎn)DFT對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)頻率(關(guān)于兀歸一化值)subplot(3,2,1);stem(wk,abs(Xk16),'.');%繪制16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title('(a)16點(diǎn)DFT的幅頻特性圖);xlabel('3/兀');ylabel('幅度')subplot(3,2,5);stem(wk,angle(Xk16),'.');%繪制16點(diǎn)DFT的相頻特性圖line(0,2,0,0);titl

8、e('(b)16點(diǎn)DFT的相頻特性圖')xlabel('3/兀');ylabel('相位');axis(0,2,-3.5,3.5)k=0:31;wk=2*k/32;%產(chǎn)生32點(diǎn)DFT對(duì)應(yīng)的采樣點(diǎn)頻率(關(guān)于兀歸一化值)subplot(3,2,2);stem(wk,abs(Xk32),'.');%繪制32點(diǎn)DFT的幅頻特性圖title('(c)32點(diǎn)DFT的幅頻特性圖');xlabel('3/兀');ylabel('幅度')subplot(3,2,6);stem(wk,angle(Xk3

9、2),'.');%繪制32點(diǎn)DFT的相頻特性圖line(0,2,0,0);title('(d)32點(diǎn)DFT的相頻特性圖');xlabel('3/兀');ylabel('相位');axis(0,2,-3.5,3.5)實(shí)驗(yàn)結(jié)果DFT的結(jié)果，并畫(huà)出其結(jié)果圖，如圖1所示。圖1有限長(zhǎng)序列的DFT結(jié)果圖程序N=16;n=0:1:N-1;%時(shí)域采樣xn=sin(n*pi/8)+sin(n*pi/4);k=0:1:N-1;%頻域采樣WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.Ank;Xk=xn*WNnk;subpl

10、ot(2,1,1)stem(n,xn);subplot(2,1,2)stem(k,abs(Xk);運(yùn)算結(jié)果Xk=Columns1through50.0000-0.0000-8.0000i-0.0000-8.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000iColumns6through10-0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000iColumns11through150.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.0000-0.0000i0.

11、0000+8.0000iColumn160.0000+8.0000iDFT的性質(zhì)兩個(gè)序列x(n)和x2(n)都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，設(shè)X(k)=DFTx1,X2(k)=DFTx21、線(xiàn)性DFTax(n)+bx2=aX(k)+bX2(k),式中a,b為任意常數(shù)。2、圓周移位一個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周移位定義xm=xnmNRN(n)式中，x(n+m)n表示x(n)的周期延拓序列y(n)的移位x(nm)N=x(nm)有限長(zhǎng)序列圓周移位后的DFT為Xm(k)=DFTg(nm)hRN(n)=w"nX(k)【實(shí)例3】求有限長(zhǎng)序列x(n)=8(0.4)n,0<n苴20的圓周移位xm(n)=x(

12、n+1O)2oR2o(n)。并畫(huà)出其結(jié)果圖，如圖52所示。OiriginalSequence5<"-1KX!*-_J?A6B10121d161820nCircularShiftSequenceV2300mmo一LdB6420圖5-2有限長(zhǎng)序列的圓周移位結(jié)果圖程序N=20;m=10;n=0:1:N-1;x=8*(0.4).An;n1=mod(n+m),N);xm=x(n1+1);subplot(2,1,1)stem(n,x);title('OriginalSequence');xlabel('n');ylabel('x(n)');s

13、ubplot(2,1,2)stem(n,xm);title('CircularShiftSequence');xlabel('n');ylabel('x(n+10)mod20');輸出結(jié)果：x=Columns1through88.00003.20001.28000.51200.20480.08190.03280.0131Columns9through160.00520.00210.00080.00030.00010.00010.00000.0000Columns17through200.00000.00000.00000.00003、圓周卷積假設(shè)

14、Y(k)=X1(k)X2(k)則有N4NJY(n)=IDFTY(k)=、xjm)x2(n-m)N】RN(n)=x2(m)x(n-m)N】RN(n)mzSm-0用。表示圓周卷積，則上式可化簡(jiǎn)為y(n)=IDFTX1(k)X2(k)=x(n)：x2(nx2(nx1(n)MATLA的部用于計(jì)算圓周卷積的函數(shù)Circonv程序如下：實(shí)例4求序列x1=12345;x2=123454321的圓周卷積。4. %exa2-6_circle_conv.m,forexample2-6%totestcircle_conv.mclear;x1=12345;x2=123454321;N=length(x1)+lengt

15、h(x2)-1;n=0:N-1;n1=0:N-2;y1=circconv(x1,x2,N);y2=circconv(x1,x2,N-1);y3=circconv(x1,x2,N-2);x1=x1zeros(1,N-length(x1);x2=x2zeros(1,N-length(x2);Xf1=dft(x1,N);Xf2=dft(x2,N);Xf=Xf1.*Xf2;x=idft(Xf,N);x=real(x);subplot(231)stem(n,x1)title('x1(n)')subplot(232)stem(n,x2)title('x2(n)')subpl

16、ot(233)stem(n,x)title('x(n)=IDFT(X(k)')subplot(234)stem(n,y1)title('N點(diǎn)圓周卷積')subplot(235)stem(n1,y2)title('N-1點(diǎn)圓周卷積')subplot(236)stem(n2,y3)title('N-2點(diǎn)圓周卷積')實(shí)驗(yàn)結(jié)果共軸對(duì)稱(chēng)性令x(n)的共軸復(fù)數(shù)序列為x*(n),則DFTx(n)=X(N-K)n用xr(n)和為(n)分別表示序列x(n)的實(shí)部和虛部，即x(n)=x(n)jxjn)x(n)=1x(n)x(n)2xjn)=1x(n)x(n)2用XR(k)和X,(k)分別表示實(shí)部