配方法的拓展與解析

1、配方法的拓展與解析配方法是對數(shù)學(xué)式子進行一種定向變形（配成完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運用裂項”與 添項”、配”與 湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為湊配法”最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。配方法的配方依據(jù)是二項完全平方公式（a+ b）2 = a2 + 2ab+ b2,將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，女口：2 2 2 2a2 + b2 = (a+ b)2 2ab= (a- b)2 + 2ab;2 2 2 2 a + ab+ b = （a + b） ab= （a b） + 3ab。配方法

2、在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。在初中階段它主要適用于：一元二次方程、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解。經(jīng)過幾年的教學(xué)實踐發(fā)現(xiàn)：很多情況下用配方法解一元二次方程或者求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)要比用公式法簡單實用。在應(yīng)用配方法解一元二次方程（ax2+bx+c=0 ）時有兩種做法：一種是先移走常數(shù)項，然后方程兩邊同時除以二次項的系數(shù)，把二次項系數(shù)化為1,再 兩邊同時加上一次項系數(shù) （除以二次項系數(shù)后的） 一半的平方，把原方程化成（x+ m）2 = n（n> 0）的形式，再兩邊同時開方，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程。典型例題：2x2+6x 3=0解法1:移項得：2x2+6x=323兩邊同時除以2

3、得：x2 3x -2333 9兩邊同時加（）2得:x2 3x（一）2 = 2 22 4所以：（x 3）2 二15243 153,15開方得：x或x2222解得：-3 、15-3 - . 15* 一 2 X 一 2湊”與配”進行配方。另一種方法是先移走常數(shù)項，然后通過解法2:移項得：2x2+6x=3原方程變?yōu)椋? 3 汀23-. 2 23 2 2(、2x)22 、2x()=3()22 2 2即原方程化為：C2x 32)2=3024兩邊同時開方得:解得：-3 + 15-3-(15x1, x22 2與用配方法解一元二次方程不同的是，在用配方法求二次函數(shù) y = ax2 bx c的頂點坐標(biāo)時，要把二次

4、項和一次項看作一個整體，提出（而不是除以）二次項的系數(shù)，再進行配 方，但配方時與解一元二次方程的配方有所不同。典型例題2 :用配方法求y =2x2 6x-3的頂點坐標(biāo)解:y =2x2 6x -3= 2(x2 3x) -33x (-)22= 2(x 弓)2= 2(x I)2152如上例，用配方法求二次函數(shù)頂點坐標(biāo)時,不是等號兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，而是在中括號里加上一次項系數(shù)一半的平方，但為了保持原有的二次函數(shù)不變，必須在中括號里再減去一次項系數(shù)一半的平方。這是學(xué)生在以后學(xué)習(xí)用配方法求二次函數(shù)頂點坐標(biāo) 時經(jīng)常與用配方法解一元二次方程相混淆的地方，也是學(xué)生經(jīng)常出錯的地方。另外配方法在二次

5、代數(shù)式的討論與求解中應(yīng)用也非常廣泛。典型例題3:用配方法證明：無論x為何實數(shù)，代數(shù)式 x2 -4x * 4.5的值恒大于零。與用配方法求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)類似，此題也是把二次項和一次項看作一個整體，并對其進行配方。解法如下：t x24x 4.5= (x-4x 2 -22) 4.5=(x 一2)20.5 _0.5 >0無論x為何實數(shù)，代數(shù)式 x2 -4x - 4.5的值恒大于零。2 2 2 2典型例題4 :若x y -20xy x y 80，求x, y的值。此題可以運用 裂項”與 湊”的技巧，把20xy裂成18xy與2xy的和，來完成配方， 并根據(jù)完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)把二元二次方程化為

6、二元一次方程組。其解法如下：t x2y2 -20xy x2y2 81 = 0.- (x2 y2 -18xy 81) (x2 -2xy y2) = 0即(xy -9)2 (x -y)2 = 0 xy -9 = 0 , x - y = 0 x = y = 3典型例題 5: (2005卡西歐杯 全國初中數(shù)學(xué)競賽)若M=3x2 8xy+9y2 4x+6y+13(x,y是實數(shù))，則M的值一定是()A正數(shù) B負(fù)數(shù) C零 D整數(shù)精析：先將元多項式轉(zhuǎn)化成幾個完全平方式的和的形式，然后就其結(jié)構(gòu)特征進行合理的分析、推理，可達到目的。解：因為 M=3x 8xy+9y 4x+6y+13=2 (x 2y) + ( x

7、2) + (y+3)0并且 2 (x 2y) 2, (x 2) 2, (y+3) 2這三個式子不能同時為 0,所以M0，故選A。典型例題6化簡二次根式，19-8.3:19 8.3精析：復(fù)合二次根式的化簡是競賽中比較常見的問題，化簡的關(guān)鍵是將被開方數(shù)化成完全平方的形式，要用到配方的思想。(1983 =7192J48 = J192J16 漢3 =£16 216漢 3+3同理可得 19 8.3 =4-3所以，原式=8典型例題7已知三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2+c2=ab+ac+bc,請你判斷這個三角形的2 2 2a +b +c =ab+ac+bc形狀。精析：確定三角形的形狀，主要是討論三條邊之間的關(guān)系。代數(shù)式之中蘊含了完全平方式，我們要重新拆項，組合如下：2222a2+