已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求位角

1、已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求位角2作者:日期:控制測(cè)量的主要目的是通過測(cè)量和計(jì)算求出控制點(diǎn)的坐標(biāo)， 控制點(diǎn)的坐標(biāo)是根據(jù)邊長(zhǎng)及 方位角計(jì)算出來的。下面介紹計(jì)算坐標(biāo)與坐標(biāo)方位角的基本公式， 這些公式是礦山測(cè)量工中 最基本最常用的公式。一、坐標(biāo)正算和坐標(biāo)反算公式1.坐標(biāo)正算根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)和已知點(diǎn)到待定點(diǎn)的坐標(biāo)方位角、邊長(zhǎng)計(jì)算待定點(diǎn)的坐標(biāo)， 這種計(jì)算在測(cè)量中稱為坐標(biāo)正算。如圖 5 5 所示，已知 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為xA、A 到 B 的邊長(zhǎng)和坐標(biāo)方位角分別為SAB和AB，則待定點(diǎn) B 的坐標(biāo)為XBXAYBYAXABYAB(5 1)式屮XAB、yAB坐標(biāo)增量。由圖 55 可知XABSABCOSAB(52)yABSABsi

2、nAB式中SAB水平邊長(zhǎng)；AB-坐標(biāo)方位角。將式（5-2 ）代入式（5-1 ）,則有XBXASABCOSAB(5 3)YBYASABsinAB當(dāng) A 點(diǎn)的坐標(biāo)XA、YA和邊長(zhǎng)SAB及其坐標(biāo)方位角AB為已知時(shí)，就可以用上述公式計(jì) 算出待定點(diǎn) B 的坐標(biāo)。式（5 2）是計(jì)算坐標(biāo)增量的基本公式，式（ 5 3）是計(jì)算坐標(biāo)的基 本公式，稱為坐標(biāo)正算公式。從圖 55 可以看出XAB是邊長(zhǎng)SAB在 x 軸上的投影長(zhǎng)度，YAB是邊長(zhǎng)SAB在 Y 軸上的投影長(zhǎng)度，邊長(zhǎng)是有向線段，是在實(shí)地由 A 量到 B 得到的正值。而公式中的坐標(biāo)方位角可 以從 0到 360。變化，根據(jù)三角函數(shù)定義，坐標(biāo)方位角的正弦值和余弦值就

3、有正負(fù)兩種 情況，其正負(fù)符號(hào)取決于坐標(biāo)方位角所在的象限，如圖5 6所示。從式（5 2）知，由于53功4ca三角函數(shù)值的正負(fù)決定了坐標(biāo)增量的正負(fù)，其符號(hào)歸納成表B5圖 5 5 坐標(biāo)計(jì)算圖 5 6 坐標(biāo)增量符號(hào)表 53坐標(biāo)增量符號(hào)表坐標(biāo)方位角（）所在象限坐標(biāo)增量的正負(fù)號(hào)xy090I+90 180n一+180270出一一270360IV+一例 1 已知 A 點(diǎn)坐標(biāo)xA=100.00m,yA=300.10m;邊長(zhǎng)sAB=100m 方位角AB=330。求 B 點(diǎn)的坐標(biāo)xB、yB。解：根據(jù)公式（5 3 ）有xBxAsABcosAB100 100 cos330 186.1myByAsABsinAB300.1

4、 100 sin330249.6m2、坐標(biāo)反算6則有tan-ByYAyABXBx-XAB(5 5)或2yAB公式（55）稱為坐標(biāo)反算公式。應(yīng)當(dāng)指出，使用公式（5 5）中第一式計(jì)算的角是象限角 R,應(yīng)根據(jù)x、y 的正負(fù)號(hào)，確定所在象限，再將象限角換算為方位角。 因此公式（5-5）中的第一式還可表示為：yByAyABRABarcta n丄-arcta nXBX-X-B例 2 已知x-=300m,y-=500m,XB=500m,YB=300m,求-B 二點(diǎn)連線的坐標(biāo)方位角AB和邊長(zhǎng)SAB。解：由公式（5-5 ）有由兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出這兩個(gè)點(diǎn)連線的坐標(biāo)方位角和邊長(zhǎng)，這種計(jì)算稱為坐標(biāo)反坐標(biāo)之差稱縱坐

5、標(biāo)增量；yAB表示由 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差稱橫坐標(biāo)增量。坐標(biāo)增量也有正負(fù)兩種情況，它們決定于起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)值的大小。在圖 5 5 中如果 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)的坐標(biāo)已知，需要計(jì)算 AB 邊的坐標(biāo)方位角AB和邊長(zhǎng)時(shí)算。由式（5 1）有XABXBXAyAByByA(5 4)該式說明坐標(biāo)增量就是兩點(diǎn)的坐標(biāo)之差。在圖55中XAB表示由 A 點(diǎn)到達(dá) B 點(diǎn)的縱yABsinABC0SABSAB7300 500arcta narcta n( 1)500 300因?yàn)閄AB為正、yAB為負(fù)，直線 AB 位于第四象限。所以RABNW45根據(jù)第四象限的坐標(biāo)方位角與象限角的關(guān)系得：RAByByAXBXA8AB36

6、045315AB 邊長(zhǎng)為：SAB.(XXA)(yyA)2.(500300)2(300500)2282.8m坐標(biāo)正算公式和坐標(biāo)反算公式都是礦山測(cè)量中最基本的公式，應(yīng)用十分廣泛。在測(cè)量計(jì)算時(shí)，由于公式中各元素的數(shù)字較多，測(cè)量規(guī)范對(duì)數(shù)字取位及計(jì)算成果作了規(guī)定。例如圖根控制點(diǎn)要求邊長(zhǎng)計(jì)算取至毫米；角度計(jì)算取至秒；坐標(biāo)計(jì)算取至厘米。二、坐標(biāo)方位角的推算公式由公式(5-2 )知，計(jì)算坐標(biāo)增量需要邊長(zhǎng)和該邊的坐標(biāo)方位角兩個(gè)要素，其中邊長(zhǎng)是在野外直接測(cè)量或通過三角學(xué)的公式計(jì)算得到的，坐標(biāo)方位角則是根據(jù)已知坐標(biāo)方位角和水 平角推算出來的。下面介紹坐標(biāo)方位角的推算公式。如圖 5-7 所示，箭頭所指的方向?yàn)椤扒斑M(jìn)”

7、方向，位于前進(jìn)方向左側(cè)的觀測(cè)角稱為左觀測(cè)角，簡(jiǎn)稱左角；位于前進(jìn)方向右側(cè)的角稱為右觀測(cè)角，簡(jiǎn)稱右角。1.觀測(cè)左角時(shí)的坐標(biāo)方位角計(jì)算公式在圖 5 7 與 5 8 中，已知 AB 邊的方位角為AB，左為左觀測(cè)角，需要求得 BC 邊的方位角BC。左是外業(yè)觀測(cè)得到的水平角，從圖上可以看出已知方位角AB與左觀測(cè)角左之和有兩種情況：即大于180或小于 180。圖 57 中為大于 180的情況，圖 58中為小于 180的情況。9式（5-6 ）是按照邊的前進(jìn)方向，根據(jù)后一條邊的已知方位角計(jì)算前一條邊方位角的基 本公式。公式說明：導(dǎo)線前一條邊的坐標(biāo)方位角等于后一條邊的坐標(biāo)方位角加上左觀測(cè)角， 其和大于 180時(shí)應(yīng)

8、減去 180，小于 180。時(shí)應(yīng)加上 180 。2.觀測(cè)右角時(shí)的坐標(biāo)方位角計(jì)算公式從圖 5-7 或圖 5-8 可以看出左360右將該式代入式（5- 6）,得刖（后右180 )360當(dāng)方位角大于 360 時(shí)， 應(yīng)減去 360，方向不變。所以上式變?yōu)殡竞笥?80(57)上式說明：導(dǎo)線中，前一條邊的坐標(biāo)方位角等于后一條邊的坐標(biāo)方位角減去右觀測(cè)角,圖 57 坐標(biāo)方位角推算從圖 5 7 可知，BC 邊的坐標(biāo)方位角為BC從圖 5 8 可知，BC 邊的坐標(biāo)方位角為BC綜上所述兩式則有前后左180圖 58 坐標(biāo)方位角推算AB 左180AB 左180(56)10其差大于 180時(shí)應(yīng)減去 180,小于 180。時(shí)應(yīng)加上 180 。使用式（5-6 ）與（5-7）時(shí)，還應(yīng)注意相應(yīng)兩條邊的前進(jìn)方向必須一致，計(jì)算結(jié)果大于亡360時(shí)，則應(yīng)減去 360，方向不變。例 3 圖 5-9 為一條支導(dǎo)線，已知A 點(diǎn)的坐標(biāo)方位角BA=101 28