1.3.2楊輝三角

1、探究與發(fā)現(xiàn) 2015 2015年高考剛剛過(guò)去年高考剛剛過(guò)去, ,出現(xiàn)了一則新聞出現(xiàn)了一則新聞: : 情境導(dǎo)入情境導(dǎo)入楊輝三角楊輝三角在中代數(shù)學(xué)史上有重要的地位在中代數(shù)學(xué)史上有重要的地位. .華羅庚先生曾寫(xiě)道華羅庚先生曾寫(xiě)道: “: “楊輝是我國(guó)宋朝時(shí)候的楊輝是我國(guó)宋朝時(shí)候的數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家, , 他在公元他在公元1 2 6 1 1 2 6 1 年著了一本叫做年著了一本叫做詳詳解九章算法解九章算法 的書(shū)的書(shū), , 里面畫(huà)了這樣一張圖里面畫(huà)了這樣一張圖, , 門(mén)門(mén)中封二中封二) ) 并且說(shuō)這個(gè)方法是出于并且說(shuō)這個(gè)方法是出于釋鎖算書(shū)釋鎖算書(shū), , 賈憲曾經(jīng)用過(guò)它賈憲曾經(jīng)用過(guò)它. . 然而有一點(diǎn)是可以肯定

2、然而有一點(diǎn)是可以肯定的的, , 這一圖形的發(fā)現(xiàn)在我國(guó)當(dāng)時(shí)不遲于這一圖形的發(fā)現(xiàn)在我國(guó)當(dāng)時(shí)不遲于1 2 0 0 1 2 0 0 年左右。年左右。” 在歐洲在歐洲, ,這圖形稱為這圖形稱為“帕斯卡帕斯卡(P as o al ) (P as o al ) 三三角角. ” . ” 因?yàn)橐话愣颊J(rèn)為這是因?yàn)橐话愣颊J(rèn)為這是帕斯卡帕斯卡在在1 6 5 4 1 6 5 4 年年發(fā)明的發(fā)明的. , . , 可是無(wú)論怎樣可是無(wú)論怎樣, , 楊輝三角的發(fā)現(xiàn)楊輝三角的發(fā)現(xiàn), , 在我國(guó)比在在我國(guó)比在歐洲要早五百年左右歐洲要早五百年左右楊輝三角楊輝三角，又稱，又稱賈憲三角賈憲三角形，形，帕斯卡三角形帕斯卡三角形，是，是二項(xiàng)

3、式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種在三角形中的一種幾何排列。在歐洲，這個(gè)表叫做幾何排列。在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角形帕斯卡三角形。帕斯卡（。帕斯卡（1623-16621623-1662）是在）是在16541654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393393年，比賈憲遲年，比賈憲遲600600年年 楊輝三角楊輝三角問(wèn)題一問(wèn)題一:請(qǐng)結(jié)合楊輝三角的數(shù)圖請(qǐng)結(jié)合楊輝三角的數(shù)圖,能回顧總結(jié)下我們能回顧總結(jié)下我們學(xué)習(xí)過(guò)的楊輝三角的一些規(guī)律和性質(zhì)嗎？學(xué)習(xí)過(guò)的楊輝三角的一些規(guī)律和性質(zhì)嗎？0)(ba1)(ba3)(ba2)(ba4)(ba5)(ba6)(ba1111121133114641

4、15510 101166151520上面的表叫做上面的表叫做二項(xiàng)式系數(shù)表二項(xiàng)式系數(shù)表(楊輝三角楊輝三角)111112113311464115510 101166151520 楊輝三角的性質(zhì)楊輝三角的性質(zhì)111112113311464115510 101166151520問(wèn)題二問(wèn)題二:楊輝三角有豐富的內(nèi)涵楊輝三角有豐富的內(nèi)涵,請(qǐng)繼續(xù)從不同角度觀察楊輝三角，你還能得出請(qǐng)繼續(xù)從不同角度觀察楊輝三角，你還能得出什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？請(qǐng)分組討論什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？請(qǐng)分組討論. 楊輝三角楊輝三角遠(yuǎn)近高低各不同橫看成嶺側(cè)成峰 “楊輝三角楊輝三角”也叫也叫“帕斯卡三角帕斯卡三角”，是牛頓首先將，是牛頓首先將“帕斯卡三角

5、帕斯卡三角”改寫(xiě)成了直角三角形的形式，并對(duì)此進(jìn)行了研究，也利用二項(xiàng)式定改寫(xiě)成了直角三角形的形式，并對(duì)此進(jìn)行了研究，也利用二項(xiàng)式定理這一工具，和萊布尼茨一起創(chuàng)立了微積分理這一工具，和萊布尼茨一起創(chuàng)立了微積分.這里的點(diǎn)睛之筆為之后這里的點(diǎn)睛之筆為之后探究斐波那契數(shù)列做了鋪墊探究斐波那契數(shù)列做了鋪墊.一、楊輝三角的應(yīng)用一、楊輝三角的應(yīng)用 某城市街道呈棋盤(pán)形某城市街道呈棋盤(pán)形,南北向大街南北向大街m條條,東西向大街東西向大街n條條,小小明欲從西南角走到東北角明欲從西南角走到東北角,路程最短的走法有多少種路程最短的走法有多少種 ?33思考思考:1.何謂最短走法何謂最短走法? 2.有多少種方法計(jì)算最短走法

6、有多少種方法計(jì)算最短走法?AB例例1:1:如圖，它滿足（）第行首尾兩數(shù)均為，（）表中的推論如圖，它滿足（）第行首尾兩數(shù)均為，（）表中的推論關(guān)系類(lèi)似楊輝三角，則第行（關(guān)系類(lèi)似楊輝三角，則第行（，）第個(gè)數(shù)是）第個(gè)數(shù)是_ 二、二、楊輝三角形的變形楊輝三角形的變形AB111323111AB461041020111323111111323111 楊輝三角有許多精美的性質(zhì)，其中有一條為：以楊輝三角楊輝三角有許多精美的性質(zhì)，其中有一條為：以楊輝三角每個(gè)數(shù)為頂點(diǎn)（下面把每個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)叫做楊輝碼），從每每個(gè)數(shù)為頂點(diǎn)（下面把每個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)叫做楊輝碼），從每個(gè)頂點(diǎn)向他的下層最接近的兩個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)兩條有向邊，構(gòu)成個(gè)頂點(diǎn)向他的

7、下層最接近的兩個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)兩條有向邊，構(gòu)成一個(gè)一個(gè)“楊輝圖楊輝圖”（見(jiàn)圖），則每個(gè)頂點(diǎn)上的楊輝碼恰為（見(jiàn)圖），則每個(gè)頂點(diǎn)上的楊輝碼恰為從根到此頂點(diǎn)圖的有向路經(jīng)的條數(shù)從根到此頂點(diǎn)圖的有向路經(jīng)的條數(shù) 例例2:將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù) ，就得到一個(gè)，就得到一個(gè)如右圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形如右圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形. 從萊布尼茨三從萊布尼茨三角形可以看出角形可以看出 ，其中，其中x=_.令令 ，則則 an與與/的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為_(kāi)rnCn11rnxnrnnCCnCn11111122111160130112131nnnCnnCa 三、三、楊輝