第6章磁流體力學不穩(wěn)定性

1、第 6 章 磁流體力學不穩(wěn)定性 6.1 6.1 概論等離子體能夠被磁場約束并處于力學平衡狀態(tài)。一個處于力學平衡狀態(tài)的等離子體位形，當它受到某種擾動，偏離平衡態(tài)時，等離子體將如何反應？是越來越偏離平衡態(tài)，最后導致平衡態(tài)被破壞呢，還是很快將擾動抑制住回到平衡態(tài)前者是不穩(wěn)定平衡，后者是穩(wěn)定平衡但當磁流體處在非熱力學平衡態(tài)，其內(nèi)部存在著可以轉(zhuǎn)換成擾動能量的自由能時，在合適的條件下有些擾動就可能發(fā)展成為在大范圍、長時間、能量超過熱噪聲水平的大幅度集體運動這種集體運動就稱為不穩(wěn)定的模式，相應現(xiàn)象就稱為磁流體的不穩(wěn)定性研究等離子體的各種不穩(wěn)定性，闡明其物理機制，探索抑制不穩(wěn)定性的方法，一直是受控核聚變研究的

2、重要課題磁約束等離子體可以處于力學平衡狀態(tài)，但它不是完全的熱力學平衡態(tài)等離子體處于非熱力學平衡狀態(tài)意味著等離子體具有較高的自由能，因而必然會產(chǎn)生從較高能量狀態(tài)過渡到較低能量狀態(tài)的宏觀或微觀運動等離子體偏離熱力學平衡態(tài)大體有兩類方式一類是等離子體宏觀參數(shù)如密度、溫度、壓強或其它熱力學量的空間局域性和不均勻性；另一類是等離子體的速度空間分布函數(shù)偏離麥克斯韋分布由于前一種原因產(chǎn)生不穩(wěn)定性時，等離子體通常以整體形式在空間改變其形狀，因而稱為宏觀不穩(wěn)定性。由后一種原因產(chǎn)生的不穩(wěn)定性稱為微觀不穩(wěn)定性宏觀不穩(wěn)定性通常用磁流體力學方程進行分析，因而也稱為磁流體力學不穩(wěn)定性，而微觀不穩(wěn)定性則用動力論方程進行分析

3、，因而也叫動力學不穩(wěn)定性由于磁流體力學不穩(wěn)定性在磁約束核聚變等離子體中具有更重要的地位，處理方法也相對地比較容易，因此本節(jié)僅討論磁流體力學不穩(wěn)定性下面我們將首先從分析流體的瑞利一泰勒不穩(wěn)定性(Rayleigh Taylor instability )入手，這樣做物理圖像清晰，易于理解然后討論在分析磁流體力學不穩(wěn)定性中得到廣泛應用的能量原理在這基礎上分析幾種主要的宏觀不穩(wěn)定性，最后討論等離子體電阻對不穩(wěn)定性的影響下面是幾種典型的磁流體不穩(wěn)定模式例1 .瑞利-泰勒（Rayleigh-Taylor ）不穩(wěn)定性（圖4. 1）；例2 .開爾文亥姆霍茲（Kelvin Helmholtz ）不穩(wěn)定性（圖 4

4、. 2）；例3 .臘腸型不穩(wěn)定性（圖4.3）;例4.彎曲型不穩(wěn)定性（圖4.4）;例5.磁島（圖4.5）;例6.磁重聯(lián)（圖4. 6）.圖磁島116第g學 班溫體力學不鶴定性陽4, 6股重聯(lián)每種不穩(wěn)定的擾動在其演化過程中都會依次經(jīng)歷下面三個階段：線性階段、非線性階段 及飽和階段.在線性階段，擾動的幅度較小，不同類型的擾動彼此之間并不相互作用，擾動 對它所處的平衡態(tài)也無影響，這時擾動的幅度是隨時間指數(shù)增長的.在非線性階段，擾動幅 度增大到會反過來使原有的平衡量作一定調(diào)整 （因此改變了自己得以不穩(wěn)定增長的初始條件, 使饋入的自由能量減少），并達到開始和其他擾動模式相互作用（從而彼此間交換能量）的程 度

5、，從而使增長率木斷下降.這時擾動幅度是依次隨時間的不同幕次（一般是從高幕到低幕 次）而增長的.當時間的幕次最后降低到零時，就達到了演化的終點一一擾動的幅度不再隨 時間增加，而一直保持極大值，這就是飽和.本章只討論磁流體的線性不穩(wěn)定性.線性不穩(wěn)定性的基本描述方法（1）簡正模法先將描述所研究對象的狀態(tài)量寫成平衡量（零級量）和擾動量（一級小量）之和，然后 把它們代入所用的磁流體方程組，從中減去平衡方程并略去二級小量就得到了線性化的方程 組.對這些方程作（時間）拉氏變換和（空間）傅氏變換 A（r,t）=%kexp（ik r-it）后可能出 現(xiàn)下列幾種情況：全部空間坐標都能進行傅氏變換.這樣線性微分方程

6、組就變成了線性的齊次代數(shù)方程組，它的有非平凡解的條件（系數(shù)行列式為零）就給出了關于 o=6（k）的色散關系.例如上一章 中平板幾何位形下的阿爾文波的色放關系正是由這種方式得到的.（ii）只有部分空間坐標能進行傅氏變換，剩余的坐標構(gòu)成了約化的微分方程組.這時要設法先得到它的通解，然后利用邊條件或連接條件也可以得到co=Mk）的色散關系.例如上一章中，柱坐標下阿爾文波的色散關系就是這樣求得的.（iii）所得出的約化微分方程如果是奇異的，如上一章中連續(xù)譜阿爾文波所滿足的方程（2）能量原理（僅對理想磁流體適用） 6.2 瑞利泰勒不穩(wěn)定性這是一種經(jīng)典的流體不穩(wěn)定性.因為這種不穩(wěn)定性是由重力驅(qū)動的，故又稱

7、重力不穩(wěn)定 性.讓我們來研究圖3.25所示的一個容器.該容器內(nèi)盛有兩種不同質(zhì)量密度的液體，上面的 液體質(zhì)量密度大，下面的質(zhì)量密度小.兩種流體之間有明顯的分界線.顯然，質(zhì)量密度梯度VP 由下向上，受到的重力由上向下，用 -VG來表示.液體的平衡方程是圖3.25流體的瑞利-泰勒不穩(wěn)定性三（：u） = 0二 t:du W Gdt式中u是流體元的速度.流體達到平衡 u = 0.現(xiàn)在假定在交界面上出現(xiàn)了一個微擾動，其形式為P1 = Pi（x）e,3,ui = ui （x）e,s這樣，密度和流體速度便可寫成:二：01, u = u0ui = ui從這里開始，參數(shù)下標為0表示平衡量，參數(shù)下標為1表示擾動量.

8、將（4）式代入平(5)衡方程（3）,我們得到質(zhì)量守恒方程 5=0.將（3）式代人（5）式便得到已表1 （：詞）=ui 7Q =0.t在整理上式時，已考慮到流體是不可壓縮的， 達式:Ui)；0 :'1 二i ，同樣可以得到擾動后的動量方程和 Ui的表達式:Rdu = 一個 G dtI-q G0將（6）式和（8）相結(jié)合使得到如下的方程:(6)(8)(9)（9）式說明，當流體的密度梯度方向跟受到的重力方向相反時就會產(chǎn)生不穩(wěn)定性，此時。2<0,這就是說重流體在上面輕流體在下面的這種平衡是不穩(wěn)定的.只要有微擾（輕輕晃動），就會破壞原來的平衡狀態(tài)，直到達到另一種新的平衡態(tài)為止.這時重流體在下

9、，輕流體 在上，正好跟原來交換了位置，所以這種不穩(wěn)定性也叫做 交換不穩(wěn)定性.現(xiàn)在我們采用類比的方法來研究約束在磁場中的等離子體.假定磁場與等離子體之間達到了平衡，中間有明顯的分界面.就是說在等離子體中沒有磁場，在磁場中沒有等離子體.這時，等離子體除了受到重力之外，還受到磁場的作用力，包括磁場梯度引起的力NVB和磁場的彎曲引起的力mv2（b Sb.當然這是指單個粒子受到的力，我們把它們當作等效重力（跟 流體情況作類比），記作VGeff , Geff= WB + mv2（bV） b（10）(b)b '-B2mv _ W2B B以及粒子能量w=w,W代入上式并對整個麥克斯韋速度分布函數(shù)積分，

10、我們可以得到作為流體元的等效重力："B %B）PoGeff T P.+L-（11）I B B ）叩' Geff2 P-B=. = 2Rc所以, Geff2PRe(12)Of將（12）式代入（9）式便得到描述瑞利一泰勒不穩(wěn)定性的方程2P：0R2(13)對干各向同性等離子體，VB&VJB,P| &也,因此 因為在低P情況下上式說明，當磁場曲率Re與等離子體密度梯度VP。方向相反，即Re PP。<0,就會產(chǎn)生不穩(wěn)定性.這種不穩(wěn)定性條件也可以表示為磁場梯度與等離子體密度梯度同向，即Bkp0>0.如圖3.26 （a）所示.從圖中可以看出，這圖3.26 ,壞曲

11、率才與“好曲率時的磁力線是凹向等離子體的.這種曲率被稱為“ 壞曲率：圖3. 26 （b）畫出了穩(wěn)定的磁場位形.此時，磁場曲率 Rc與等離子體壓強梯度 "（或密度梯度VP°）同向.磁力線凸向等離子體，這種磁場位形的曲率被稱為“好曲率在實際的磁場位形中，曲率矢量如往往不斷改變方向.也就是說，在某個地方是“好曲率'；在另一個地方則變成“壞曲率”.如在簡單磁鏡場中，在中心部位是“壞曲率”，而在“咽喉”部位則 是“好曲率”因此，有必要引入“平均曲率”的概念.定義： 磁力線管的比容U ,它是磁力線管的幾何體積 每V與管內(nèi)的磁通量。力的比值:6V =16Sdl, 2 =B6s =

12、 const,V =、Sdl = B平均曲率的定義為匚建二-ndl BB因此，平均曲率半徑為前面得到的穩(wěn)定條件（好曲率）是曲率與 VP同向，即VP Rc>0,在聚變等離子體中，一般都是中心密度大，即vpLep/mcO；因此穩(wěn)定條件要求Rc<0.這就相當于要求 其中y表示比熱比。設每一個變量均為平衡量和擾動量的疊加，即 f = fo +3+.。為簡化 起見，不考慮平衡流，即u0=0。（如果u0#0可以討論）則將方程（1） （6）線性化之后 可得關于一階擾動量的微分方程組d prdl 劑LL b劑FU2V:二 0其中VW）為磁面包圍的體積.因此，即 V儀）有極大值，其中必有磁場極小值，

13、這相當于平均磁阱.這說明位于磁阱的等離子體是穩(wěn)定的.與之相反，位于磁山“磁山”的等離子體是不穩(wěn)定的,§6.2等離子體的能量原理不考慮離子和電子的效應，可將等離子體作為單流體來處理。采用理想磁流體力學方程組作為出發(fā)點dP v : u = 0-:t:du = 一 P J B _ gd r P _000dt(D(2)(3)(4)丑E-:t(5)E u B =0(6)2 +口（P°Ul ）=0什p0dul = _Vp1 +J1 XB0 +J0M B1（8）dt= -;/p0, ui -（ui 17 ）p0（9）rB一1 = Du （ux B0 ）（10）ft.1,一一、Ji = F

14、 w Bi（11）J 0令相對于流體元平衡位置r0的擾動位移±=一方為一階小量，則有ui = ar0,t）（12）；：t將上式分別代入方程（7）、（9）和（i0）,對時間積分，可將擾動密度、擾動壓強和擾動磁場 均用擾動位移來表示R = -5 （P°D（i3）Pi =-.%&（ 3）P0（i4）Bi=Vx（B 0）（i5）將這些表達式代入方程（8）,并利用方程（ii）,則可得到關于擾動位移 己的二階微分方程.2 P。=F（ 0（同二 ti .i .F（9=Vpi +正（寸x Bi /B0+ （7x B0 y BiJ 0J 0= Wp0V七十（小沁+ /兇父F （yB0

15、小B0J 0+（w B 0）mW （洛 B 0 ）（i7）顯而易見，F(xiàn) （目相當于由擾動位移所引起的作用在單位流體體積上的力。在適當?shù)倪吔鐥l件 下解此方程，可以確定位形的穩(wěn)定性。根據(jù)能量守恒原理，擾動位移引起的系統(tǒng)總能量的變化為零，即動能和勢能的變化之和 為零-P0怛dr + BW = 02將上式對時間微商可得df P0M3 +6W =0dt利用擾動方程（i6）和函數(shù)F（E）的自伴性，即可將方程（i9）中的第一項寫成P0!跳r=由（邛r =（件（酬+汴（好"=；F（E）dr22 dt則由方程（i9）可得擾動勢能的變化i _6W =一3 "F（ Gdr(18)(19)(20)

16、(2D(22)從直觀上來說，線性系統(tǒng)在力F（E）的方向上做位移士時，所做的功為3F（叮/2。根據(jù)能量守恒原理，這個功之可能是以消耗勢能為代價，因此可得方程（22）。1-2;。+2JlflBoO B 己 /(I 取假設等離子體邊界為理想導電壁，一次在邊界上垂直位移& =部七=0。將式（i7）代 入方程（22）可得等離子體內(nèi)部擾動勢能變化的表達式右邊被積函數(shù)中第一項總是正的，代表流體可壓縮性的穩(wěn)定作用；第二項在很多情況下是負 的，可導致壓強梯度驅(qū)動的不穩(wěn)定性；第三項總是正的，代表磁張力的穩(wěn)定作用，因為彎曲 磁感應線會導致磁能增加；第四項有時是負的，可導致電流驅(qū)動的不穩(wěn)定性。如果等離子體邊界

17、為真空區(qū)，在等離子體內(nèi)部，根據(jù)歐姆定律（6）的線性化形式，在固定于流體上的坐標系中必有E*=E i+ui MB0=0。而電場的切向分量e°x E*在等離子體和真空的交界面上連續(xù)，故在等離子體之外的真空區(qū)也有(24)enE1Ui B° =0enEi=UinB 0這里en是垂直于等離子體邊界、法向的單位矢量，Uin是垂直速度。在真空中可將擾動磁場用矢勢表示成B i = Vx A i,利用法拉第電磁感應定律（5）式，則有Ei =-6A1/a，代入方程（25）并利用U1n = £& /笈可得邊界條件為enA 1 - - 1nB0(26)在真空之外的理想導電壁上，則

18、有en A 1=0(27)根據(jù)平衡方程，在跨越等離子體和真空的交界面上的總壓強連續(xù),22B0r0B0Vr0P0 1°=2%2%(28)相應地，在位移的邊界上總壓強也必須連續(xù)Po r p1 r22B0 rB1 r)_ B0Vr - B1v r2。2%(29)將方程（29）的各項用其在平衡位置上的值展開，且只保留一級近似，則有-小口 /BB1 +rnJ 0R2 r0B0V B1v n3B0V0(30)此時，這擾動勢能除了方程（23）所示的6Wp外，還有等離子體表面的部分1 _1 _ _(31)Y”kp0）"F（B七鳳-正舊且諄利用邊界條件（25）和（31）可將6Wa分成邊界上的擾動勢能P0B02B0V2'22 )(32)表示穩(wěn)定性取決于界面內(nèi)外的勢能差，和真空區(qū)中的擾動勢能1WVdr2B0V22(33)代表環(huán)繞等