求極限方法小結(jié)

1、求極限的方法小結(jié)極限思想貫穿整個(gè)高等數(shù)學(xué)的課程之中，而給定函數(shù)的極限的求法則成為極限思想的基礎(chǔ)，因此有必要總結(jié)極限的求法，其求法可總結(jié)為以下幾種：一、利用極限四則運(yùn)算法則對(duì)和、差、積、商形式的函數(shù)求極限，自然會(huì)想到極限四則運(yùn)算法則，法則本身很簡單，但為了能夠使用這些法則，往往需要先對(duì)函數(shù)做某些包等變形或化簡，采用怎樣的變形和化簡，要根據(jù)具體的算式確定，常用的變形或化簡有分式的約分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函數(shù)的包等變形、某些求和或求積公式以及適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q。11lim（）12lim（里2彳n，二nn）例1.x1i_x1-x32.二、利用兩個(gè)重要極限sinx11lim=1,li

2、m(1)=elim(1x)x=e兩個(gè)重要極限為：J0xfX或T*,使用它們求極限時(shí)，最重要的是對(duì)所給的函數(shù)或數(shù)列做適當(dāng)?shù)淖冃危怪哂邢鄳?yīng)的形式，有時(shí)也可通過變量替換使問題簡化。lim(1-1)成例1.x1xlim(N)2x12.°乂+2三、利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在丁選用合適的不等式。例1.2.設(shè)a=maxa,，am,且ak>0（k=1,2，m）求）（眼"'*am）四、利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限首先常用數(shù)學(xué)歸納法討論數(shù)列的單調(diào)性和有界性，再求解方程可求出極限。例1設(shè)a0xl=7&2=*&*、0=%,a+xl,xnH4=qa*xn(n=1,2,)五、

3、利用無窮小的性質(zhì)求極限有限個(gè)無窮小的和是無窮小，有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮小。用等價(jià)無窮小替換求極限常常行之有效。1xsinx-I、例1.e'2-1)2.sinsin(x1)limx)0lnx六、利用函數(shù)連續(xù)性求極限設(shè)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則limf(x)=f(x°)xX0。x2lim(cosx)sinxlimln例1.x0x2.七、利用洛必達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則對(duì)求未定式的極限而言，是一種簡便而乂有效的方法，前面出現(xiàn)的許多極限都可以使用此法則。使用時(shí)，注意適當(dāng)?shù)鼗?、換元，并與前面的其他方法結(jié)合使用，可極大的簡化運(yùn)算。例1.,cosxcos3x、耽(2)2.3.lnsin

4、tlimt)2cott八、利用麥克勞林展式或泰勒展式求極限設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，且f(n)(0)存在，則對(duì)該鄰域內(nèi)任意點(diǎn)x有如下表示式成立(x),f(x)=f(0)f'(0)xxn0(xn)2!n!此式稱為f(x)的具有皮業(yè)諾余項(xiàng)的n階麥克勞林展式，對(duì)某些教復(fù)雜的求極限問題，可利用麥克勞林展式加以解決。必須熟悉一些常用的展式，如：2nx,xxn、e=1x0(x)2!n!32nJ0(x2n)(2n-1)!xndxsinx-x_(-1)3!xnx2n1、cosx=1-(-1)0(x)2!(2n)!ln(1x)=x(-1)nd0(xn)2n1=1,xx"-xn0

5、(xn)1-x計(jì)算過程中，要注意高階無窮小的運(yùn)算及處理。2x_2例既弋九、利用定積分定義及性質(zhì)求極限若遇到某些求和式極限問題，能夠?qū)⑵浔硎緸槟硞€(gè)可積函數(shù)的積分和，就能用定積分來求極限，關(guān)鍵在丁根據(jù)所給和式確定被積函數(shù)以及積分區(qū)間。lim(4W胃)例1.nf0n2n之n2|im(V(n+1)(n+2)(n+n十、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限oO二un一.limUn=0級(jí)數(shù)收斂的必要條件是：若級(jí)數(shù)n4收斂，則牛，故對(duì)某些極限QOn'f(n)，可將函數(shù)f(n)作為級(jí)數(shù)；(n)的一般項(xiàng)，只須證明此技術(shù)收斂，便.limf(n)=0有*。H、利用籍級(jí)數(shù)的和函數(shù)求極限當(dāng)數(shù)列本身就是某個(gè)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列時(shí)，求該數(shù)列的極限就成了求相應(yīng)級(jí)數(shù)的和