高中數(shù)學阿波羅尼斯圓專題復(fù)習資料：一類動點軌跡問題的探求---“阿波羅尼斯圓”

1、專題：一類動點軌跡問題的探求專題來源：學習了“橢圓的標準方程后,對于PA+PB=2a,我們可以進一步研究：,PAPA-PB=2a,PA|_PB=2a,2a,各自的軌跡方程如何PB1引例：點Mx,y與兩定點O0,0,A3,0的距離之比為,那么點M的坐標應(yīng)滿足什么2關(guān)系必修2P103探究拓展探究動點M與兩定點A、B的距離之比為九九：0,那么點M的軌跡是什么背景展示阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家,與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,主要研究成果集中在他的代表作?圓錐曲線?書,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一類題1：1994,全國卷直角坐標平面上點Q2,0和圓C

2、:x2+y2=1,動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)入入0.求動點M的軌跡方程,說明它表示什么曲線.本小題考查曲線與方程的關(guān)系,軌跡概念等解析幾何的根本思想以及綜合運用知識的水平解：如圖,設(shè)MN切圓于N,那么動點M組成的集合是P=M|MN|二X|MQ|,式中常數(shù)入0.2分由于圓的半徑|ON|=1,所以|MN|2=|MO|2一|ON|2=|MO|21.4分設(shè)點M的坐標為x,y,那么Y,x2+y2-1=川Jx-22+y25分整理得入21x2+y24入2x+1+4入2=0.經(jīng)檢驗,坐標適合這個方程的點都屬于集合P.故這個方程為所求的軌跡方程當入=1時,方程化為x=5,它表示一條直線,該直線與

3、x軸垂直且交x軸于點2,0,44cc13.2當入w1時方程化為x2-1)2+y2=2它表示圓,2-1該圓圓心白坐標為-,0),半徑為-113-2九2112分類題2:2021,江蘇滿足條件AB=2,AC=q2BC的MBC的面積的最大值是類題3:2002,全國點P到兩定點M-1,0>N1,0距離的比為J2,點N到直線PM的距離為1,求直線PN的方程解：設(shè)P的坐標為x,y,由題意有LPM-1=<2,gp|PN|x12y2=.2.x-12y2,整理得x2y2-6x1=0由于點N到PM的距離為1,|MN|=233所以PMN=30,直線PM的斜率為士,直線PM的方程為y=±x+133

4、,3222將y=±一x+1代入x+y6x+1=0整理得x4x+1=03解得x=2,3,x-2-,3那么點P坐標為2+<3,1+J3或233,-1十奔2十亞-1J3或2石,16,直線PN的方程為y=x1或y=x+1.類題4:2006,四川兩定點A-2,0,B1,0,如果動點P滿足條件|pa=2PB,那么點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于一一口人一一一、,一,一一MP、八八一,類題5:2021,浙江P,Q是兩個定點,點M為平面內(nèi)的動點,且=九九0且九#1,MQ點M的軌跡圍成的平面區(qū)域的面積為S,設(shè)S=f(九),試判斷函數(shù)的單調(diào)性.引例：(2021,北京)曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(

5、1,0)和F2(1,0)的距離的積等于常2數(shù)a(a>1)的點的軌跡.給出以下三個結(jié)論：曲線C過坐標原點；曲線C關(guān)于坐標原點對稱；10假設(shè)點P在曲線C上,那么AF1PF2的面積不大于一a22其中正確命題的序號為背景展示：在數(shù)學史上,到兩個頂點(叫做焦點)的距離之積為常數(shù)的點的軌跡成為卡西尼卵形線(CassiniOval),喬凡尼多美尼科卡西尼是一位意大利出生的法國籍天文學家和水利工程師,他是第一個發(fā)現(xiàn)土星的四個衛(wèi)星的人.1675年,他發(fā)現(xiàn)土星光環(huán)中間有條暗縫這就后來以他名字命名的卡西尼環(huán)縫.他猜想,光環(huán)是由無數(shù)小顆粒構(gòu)成,兩個多世紀后的分光觀測證實了他的猜想.為了紀念卡西尼對土星研究的奉獻

6、,當代人類探測土星的探測器“卡西尼號即以他的名字命名.卡西尼卵形線是1675年他在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的.探究：設(shè)兩定點為F1,F2,且F1F2|=2,動點P滿足PF1|PF2|=a2(a之0且為定值),取直線F1F2作為x軸,F1F2的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系,設(shè)P(x,y),那么.,(x1)2y2；(x-1)2y2=a2整理得：(x2y2)2-2(x2-y2)=a2-1解得：y2=(-x2-1)+44x2+a2(1-aWx2W1+a)于是曲線C的方程可化為y2=(x2-1)+,4x2+a2(1aEx2El+a)對于常數(shù)a之0,可討論如下六種情況：(1)當a=0時,圖像

7、變?yōu)閮蓚€點Fi(-1,0),F2(1,0)；(2)當0<a<1時,圖像分為兩支封閉曲線,隨著a的減小而分別向點F1,F2收縮;(3)當a=1時,圖像成8字形自相交叉,稱為雙紐線；(4)當1<a<&時,圖像是一條沒有自交點的光滑曲線,曲線中部有凹進的細腰；(5)當a=72時,與前種情況一樣,但曲線中部變平；(6)當a.2時,曲線中部凸起.46里研究的結(jié)論;北京高考題的背景即為本研究的學有余力的同學可作進一步思考：思考1：假設(shè)將“兩定點之一變?yōu)椤岸ㄖ本€思考2：假設(shè)將“兩定點之一變?yōu)椤岸ㄖ本€思考3:到定點的距離與到定直線的距離的,那么距離之比為定值的動點軌跡是什么?,

8、那么距離之和為定值的動點軌跡是什么?k倍之和為定值的定點軌跡是什么思考4:到定點的距離與到定直線的距離之差(的絕對值)為定值的定點軌跡是什么?思考5:到定點的距離與到定直線的距離之積為定值的定點軌跡是什么,如在高測試題中常常以這類軌跡問題的探究為背景來設(shè)計考查綜合水平的試題1.(2021湖南)在平面直角坐標系xOy中,點P到點F(3,0)的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d,當P點運動時©恒等于點P的橫坐標與18之和一(I)求點P的軌跡C;(II)設(shè)過點F的直線I與軌跡C相交于M,N兩點,求線段MN長度的最大值.解(I)設(shè)點P的坐標為(x,y),那么d=4j(x_3)2

9、_y2+3|x-21由題設(shè)當x>2時,由得J(x-3)2+y2=6-1x,22化簡彳導(dǎo)土L=1.3627當xE2時由得J(3+x)2+y2=3+x,化簡得y2=12x故點P的軌跡C是橢圓C1:x-+匕=1在直線x=2的右側(cè)36272.一局部與拋物線C2:y=12x在直線x=2的左側(cè)局部(包括它與直線x=2的交點)所組成的曲線,參見圖1(n)如圖2所示,易知直線x=2與Ci,C2的交點都是A(2,2強),B(2,-2痣),直線AF,BF的斜率分別為kAF=-2'.6*bf=2'6.一_,一1一當點P在C1上時,由知PF=6x.2當點P在C2上時,由知PF=3+x假設(shè)直線l的

10、斜率k存在,那么直線l的方程為y=k(x-3)C的兩個交點M(x1,y1),N當kwkAF,或k>kBF,即kw-2點時,直線I與軌跡(x2,y2)都在C1上,此時由知IMFI=6-1x1INFI=6-x222111從而IMNI=IMFI+INFI=(6-為)+(6-X2)=12-(x1+X2)222y=k(x-3)-108=0那么xy1是這個方程的兩根,所2222由?X2y得(3+4k)x24kx+36k13627以x1+x2=24k2-*1MN1=12-1(x1+x2)=12-12k2234k234k2由于當kW2的或k>2a/6B寸,k2>24,12k12100,一二八

11、、MN=122=12-二=.當且僅當k=±246時,等號成立.3+4k1+411記4(2)當kAE<k<kAN,2點<k<2而時直線L與軌跡C的兩個交點M(x,y)N(x2,y2)分別J在C1,C2上,不妨設(shè)點M在M上,點C2上,那么知,1,MF=6-x1,NF=3+x22設(shè)直線AF與橢圓C1的另一交點為E(Xo,y0),那么Xo<x1,x2<2.11MF=6為<6x0=EF,NF=3+x2M3+2=AF22所以MN=MF十NFcEF十AF=AE.而點A,E都在C1上,且kAE=-2痘有(1)知|AE=留0,所以mN<1110011&q

12、uot;ucom1.100右直線L的斜率不存在,那么x1=x2=3,此時MN=12-(x1+x2)=9<211綜上所述,線段MN長度的最大值為留0112.(2021,湖南文科高測試題)平面內(nèi)一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(I)求動點P的軌跡C的方程;(n)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線li,l2,設(shè)li與軌跡C相交于點A,B,12與軌跡C相交于點D,EAd,EB的最小值.21.解析：(I)設(shè)動點P的坐標為(x,y),由題意為(x-1)2y2-|x|=1.化簡得y2=2x-2|x|,當x20時,y2=4x;當x<0時,y=0.、所以動點P的軌跡C的方程為,y2=4x(x之0)和y=0(x<0).(II)由題意知,直線l1的斜率存在且不為0,設(shè)為k,那么l1的方程為y=k(x1).工y=k(x-1)2222由2,得k2x2-(2k24)xk2=0.y=4x設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),那么?2是上述方程的兩個實根,于是-4,x1x2=2-2,xx2=1k、1由于l1_Ll2,所以l2的斜率為一一.k2.設(shè)D(x3,y3),B