小波變換基本方法PPT課件

1、1.小波變換小波變換 小波變換既有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生小波變換既有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間，有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象，傅立的時(shí)間，有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象，傅立葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)。葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)。小波變換的多分辨率的變換，有利于各分辨度小波變換的多分辨率的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D像壓縮、邊緣抽取、噪聲過(guò)不同特征的提?。▓D像壓縮、邊緣抽取、噪聲過(guò)濾）。濾）。 小波變換一個(gè)信號(hào)為一個(gè)小波級(jí)數(shù)，這樣一個(gè)小波變換一個(gè)信號(hào)為一個(gè)小波級(jí)數(shù)，這樣一個(gè)信號(hào)可由小波系數(shù)來(lái)刻畫。信號(hào)可由小波系數(shù)來(lái)刻畫。小波變換速度比傅立葉快一個(gè)數(shù)量級(jí)，長(zhǎng)度為小波變換速度

2、比傅立葉快一個(gè)數(shù)量級(jí)，長(zhǎng)度為M的信號(hào)，計(jì)算復(fù)雜度：的信號(hào)，計(jì)算復(fù)雜度：MMOf2logMOw傅立葉變換：小波變換：設(shè)有信號(hào)f(t):其傅里葉變換為F(j):1( )()2j tf tF jed即：=+024681012141618-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81024681012141618-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81024681012141618-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81（t）1/2（2t-t0）2/3（4t-t1）像(t)這樣，有限長(zhǎng)且均值為0的函數(shù)稱為小波函數(shù)。常用的小波函數(shù)如下圖：

3、小波函數(shù)必須滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)：(1) 小波必須是振蕩的；(2) 小波的振幅只能在一個(gè)很短的一段區(qū)間上非零，即是局部化的。如：圖1 小波例1圖2 小波例2不是小波的例子圖4圖3平均與細(xì)節(jié)n設(shè)一維信號(hào)x1，x2 平均 細(xì)節(jié) n則一維信號(hào)可以表示成a，d,且原信號(hào)可以恢復(fù)如下： n當(dāng)x1與x2非常接近時(shí)，一維信號(hào)x1，x2可近似的用a表示，可實(shí)現(xiàn)信號(hào)壓縮。 a可以看成信號(hào)的整體信息 d可看成原信號(hào)用a表示時(shí)丟失的細(xì)節(jié)信息 )/2x(x a2 1)/2x- (x d21dax1d-ax2平均與細(xì)節(jié)n對(duì)多元素信號(hào)x1，x2，x3，x4 2/ )(210, 1xxa2/ )(431 , 1xxa2/

4、 )(210, 1xxd2/ )(431 , 1xxd信號(hào)可以表示為：a1,0,a1,1,d1,0,d1,1 丟失細(xì)節(jié)信號(hào)壓縮為： a1,0,a1,12/ )(1 , 10, 10,0aaa2/ )(1 , 10, 10,0aad信號(hào)可進(jìn)一步表示為：a0,0, d0,0丟失細(xì)節(jié)信號(hào)壓縮為： a0,04/ )(43210, 0 xxxxa平均與細(xì)節(jié)nx1，x2，x3，x4最高分辨率信息na1,0,a1,1次高分辨率低頻信息nd1,0,d1,1次高分辨率細(xì)節(jié)信息na0,0最低分辨率低頻信息nd0,0最低分辨率細(xì)節(jié)信息x1，x2，x3，x4的小波變換a0,0,d0,0,d1,0,d1,1由整體平均和

5、兩個(gè)不同分辨率的細(xì)節(jié)信息構(gòu)成金字塔算法一維信號(hào)3,1,-2,4的小波變換為1.5,0.5,1,-31.5：最低分辨率低頻信息0.5：最低分辨率細(xì)節(jié)信息2,1：次高分辨率低頻信息1,-3：次高分辨率細(xì)節(jié)信息3,1,-2,4：最高分辨率信息尺度函數(shù)與小波函數(shù)信號(hào)序列x1，x2，x3，x4看成單位區(qū)間上的一個(gè)函數(shù))()()()()()1 , 4/34)4/3 , 2/13)2/1 , 4/12)4/1 , 01tXxtXxtXxtXxtf)4/1()()4/1 , 0)2/1 , 4/1tXtX)2/1()()4/1 , 0)4/3 , 2/1tXtX)4/3()()4/1 , 0)1 , 4/3t

6、XtX)2()(2)1 , 0)4/1 , 0tXtX平移伸縮引入記號(hào)：)()()1 ,0tXt 定義：)2()(,kttjkj12 , 1 , 0jk可得：)(0, 0t01)2(0, 1t2/10 t其它01) 12(1 , 1t其它12/1t)()()()()(3 , 242, 231 , 220, 21txtxtxtxtf函數(shù)可以由一個(gè)尺度函數(shù)的伸縮與平移的線性組合表示2/10 t同理，對(duì)小波變換011)()()()1 , 2/1 )2/1 , 0tXtXt其它12/1 t伸縮和平移序列的多分辨率表示：)()()()()(1 , 11 , 10, 10, 10, 00, 00, 00,

7、 0tdtdtdtatf1.1 一維小波變換（一維多尺度分析）一維小波變換（一維多尺度分析）設(shè)有L2(R )空間的子空間序列：210VVVVj 的正交基函數(shù)是由一個(gè)稱為尺度函數(shù)的函數(shù)(x)經(jīng)伸縮平移得到的 kxxjjk2設(shè)Wj 是Vj 相對(duì)于Vj+1的正交補(bǔ)空間， Wj 的正交基函數(shù)是由一個(gè)稱為小波函數(shù)的函數(shù)(x)經(jīng)伸縮平移得到的 kxxjjk2) 12()2()(ttt xxjkjk,構(gòu)成Vj+1的正交基。 xx和滿足下列關(guān)系式(二尺度方程)： nlnhnhnlnxnhxnxnlxnZnZn112222且稱為高通濾波器。稱為低通濾波器，其中信號(hào)的多尺度分解： 算法一維計(jì)算：稱為小波系數(shù)，它們

8、的稱為尺度系數(shù)，MALLATknhddknlccdcxdxcnxcxfZnjkjkZnjkjkjkjkJjkJkjkkJkJkZnn2211101.2 二維小波變換（二維多尺度分析）二維小波變換（二維多尺度分析）二維小波變換是由一維小波變換擴(kuò)展而來(lái)的，二維尺度函數(shù)和二維小波函數(shù)可由一維尺度函數(shù)和小波函數(shù)張量積得到，即： yxyxyxyxyxyxyxyxHHHLLHLL,;,;,;,圖像的二維小波變換包括沿行向(水平方向)和列向(垂直方向)濾波和2-下采樣，如圖所示：圖5 圖像濾波采樣說(shuō)明：如圖所示，首先對(duì)原圖像說(shuō)明：如圖所示，首先對(duì)原圖像I(x,y)沿行向沿行向(水平水平方向方向)進(jìn)行濾波和進(jìn)

9、行濾波和2-1下采樣，得到系數(shù)矩陣下采樣，得到系數(shù)矩陣IL(x,y)和和IH(x,y)，然后再對(duì)，然后再對(duì)IL(x,y)和和IH(x,y)分別沿列向分別沿列向(垂垂直方向直方向)濾波和濾波和2-1下采樣，最后得到一層小波分下采樣，最后得到一層小波分解的解的4個(gè)子圖個(gè)子圖：q ILL (x,y)I(x,y)的（粗）逼近子圖的（粗）逼近子圖q IHL(x,y) I(x,y)的水平方向細(xì)節(jié)子圖的水平方向細(xì)節(jié)子圖q ILH (x,y) I(x,y)的垂直方向細(xì)節(jié)子圖的垂直方向細(xì)節(jié)子圖q IHH (x,y) I(x,y)的對(duì)角線方向細(xì)節(jié)子圖的對(duì)角線方向細(xì)節(jié)子圖二維金字塔分解算法二維金字塔分解算法令I(lǐng)(x

10、,y)表示大小為MN的原始圖像，l(i)表示相對(duì)于分析小波的低通濾波器系數(shù)，i=0,1,2,Nl-1， Nl表示濾波器L的支撐長(zhǎng)度； h(i)表示相對(duì)于分析小波的高通濾波器系數(shù)，i=0,1,2,Nh-1， Nh表示濾波器H的支撐長(zhǎng)度，則 1, 1 , 0; 12, 1 , 0,mod21,mod21,1010NyMxyMjxIjhNyxIyMixIilNyxIhlNjhHNilL 12, 1 , 0; 12, 1 , 0mod2,1,mod2,1,mod2,1,mod2,1,10101010NyMxNjxxIjhNyxINixxIilNyxINjxxIjhNyxINixxIilNyxIhlhl

11、NjHhHHNiHlHLNjLhLHNiLlLL對(duì)逼近子圖重復(fù)此過(guò)程，直到確定的分解水平，下圖是二層小波分解的示意圖。圖6 圖像多尺度分解，(a)一層分解，(b)二層分解q 圖像的小波特征提取首先對(duì)輸入圖像做J層二維小波分解；q 因?yàn)樾〔ㄗ儞Q具有很好的時(shí)頻局部化特性，所以可以將圖像的不同底層特征變換為不同的小波系數(shù)；q 輸入圖像經(jīng)過(guò)經(jīng)一層小波分解后，被分成4個(gè)子圖： LL1逼近子圖，它代表輸入圖像水平和垂直兩個(gè)方向的低頻成分； HL1細(xì)節(jié)子圖，它代表輸入圖像水平方向的高頻成分和垂直方向的低頻成分； LH1細(xì)節(jié)子圖，它代表輸入圖像水平方向的低頻成分和垂直方向的高頻成分； HH1細(xì)節(jié)子圖，它代表輸入圖像水平和垂直方向高頻成分。q 在逼近子圖LL1上重復(fù)二維小波分解過(guò)程，進(jìn)行二層小波分解，如此繼續(xù)分解，得到子圖序列LLJ，HLk，LHk，HHk(k=1,2,J)。q 小波基與分解層次的選取是非常重要的，目前還沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。I(x,y) 128128I1(x,y) 6464I1H(x,y) 6464I1V(x,