人教版八年級上冊整式的乘法與因式分解單元總結(jié)與歸納

1、1/17同底數(shù)藉的乘積am?anamn(m,n為正整數(shù))注意點：(1)必須清楚底數(shù)、指數(shù)、藉這三個基本概念的涵義。(2)前提必須是同底數(shù)，指數(shù)才可以相加(3)底可以是一個具體的數(shù)或字母，也可以是一個單項式或多項式，(4)指數(shù)都是正整數(shù)(5)三個或三個以上的同底數(shù)藉相乘，即am?an?apamnp(m,n,p為正整數(shù))(6)不要與整式加法相混淆。(7)這個公式是可逆的amnam?an(m,n為正整數(shù))類型一：x-x=x23aaa類型四：已知2a=3,2b=6,2c=12，試探究a、b、c之間的關系;1.藉的乘方整式的乘法3x2xn-x4=2_52222522y2n?yn1m-n2n+111m-1

2、4-n52類型二：(1)已知x-x=x,且y-y=y,求mn的值。若2&8=2n,則n=總結(jié)：毒運茸的變形口為偶數(shù)(-砂=TI一#口為奇數(shù)r的 F口為偶數(shù)11炯數(shù)類型三：(1)、(-z)(-)2(-)3(2)、-a*(-a)*(-a)(3)、(x-y)3(y-x)(y-x)6(4)、(-2)2011(-2)20122/17(am)namn(m,n為正整數(shù))注意點：(1)藉的底數(shù)a可以是具體的數(shù)也可以是多項式。(2)不要和同底數(shù)藉的乘法法則相混淆(3)公式的可逆性：amn(amin(mn正整數(shù))ram、nran、mamnrm門為正整數(shù))CaICaI(lll,ll(CaIICaICaIll

3、i,(4)公式的擴展：(am)npamnp(m,n,p為正整數(shù))(ab)mn(ab)mn(m,n,為正整數(shù))35類型一：(a)=;3(xm)3；(a2)3?an;23253(a+b)=；(a)=;類型二：【例1】若5x2,5y3,求52x3y2.積的乘方abnanbn(n為正整數(shù))注意點：(1)注意與前二個法則的區(qū)別：(2)積的乘方推廣到3個以上因式的積的乘方a1?a2?a3amna1na2na3amn(n為正整數(shù))(3)每個因式可以是單項式，多項式，或者其他代數(shù)式(4)每個因式都要乘方，然后將所得的藉相乘(5)公式的可逆性：anbnabn(n為正整數(shù))(6)藉的乘方，積的乘方的可逆性：sr=

4、(av=(ay323322類型一：(ab)；(2ab)；(5ab)L類型二：【例1】當ab=上,m=5,n=3,求(ab)的值?！纠纠?】若】若10n4,10m5,求102n103m，的值;【例【例3】已知a355,b444,c533，試比較a,b,c的大小；3/17【例【例2】若a%2=15,求-5a6b4的值。4/17(100)20100.12515(215)3994.單項式乘法法則:【例】【例】2222.2.3.2.22x3y(2xy)(5xy)(3xy)(2xy)(ab)(ab)5.單項式與多項式相乘的乘法法則：單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加【例

5、】【例】m(abc)2x(2x3y5)3ab(5aab2b2)6.多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加【例【例3】如果3m+2n=6求8m-4n的值?！纠纠?】(1)解方程3x1?2x162x-3解方程x-11116【例【例5】已知ax=5,ax+y=25,求a+aW值.【例【例6】,xy+1yx-1已知：2=4,27=3，求x-y的值類型三：【例】【例】計算:,99、2oii(一)5/17【例【例1】(x2)(x6)(2x3y)(x2y1)(ab)(a2abb2)【例【例2】：】：解方程與不等式a)18(4+3y)(4-3y)9

6、(y-2)(y+3)【例【例3】確定參數(shù)a的值.(x2)(x18)x2ax36(xp)(xq)x2ax36題型一：確定參數(shù)的值【例】【例】若x2mx8x23xn展開式中不含x3項和x2項，求m,n的值，并寫出展開式中的最后結(jié)果練習:x23x3和x23xk的乘積中不含x2項，求k的值，并寫出展開式最題型二：整式乘法的實際應用【例【例1】：】：小明將現(xiàn)金x元存入銀行，年利率為a,到期后他又連本帶利存入該銀行，形式還是1年期，蛋年利率調(diào)整為b,那么一年后，小明能獲得的本息總和是多少(扣除5%勺利息稅)練習：一種商品進價是p元，他的價格提高10k%,再打k折，則售價是元【例【例2】：】：. .觀察下列

7、各式：q933233323333232(a3)(a2)(a9)(1后的結(jié)果6/171112312361234107/17觀察等式左邊各項藉的底數(shù)與右邊藉的底數(shù)的關系，猜一猜可以得出什么規(guī)律，并把這規(guī)律用等式寫出來:題型三：整式的乘法能力提升訓練；例1.已知x28x15,求（x2）（X2）4x（x1）（2x1）2的值./IX/IX212/.X22ci12/122.2變式:0，求（x2)(x2)2(x3)x(x5)的值.變式:3x90,求(x1)(x3)(x3)x(x1)的值.例2.2x23的值。變式:已知x23x30,求代數(shù)式x35x23x10的值。變式：已知x23x10,求代數(shù)式2x33x27

8、x2009的值。平方差和完全平方、復習：8/17(a+b)(a-b)=a-b(a+b)=a+2ab+b(a-b)=a-2ab+b22332233(a+b)(a-ab+b)=a+b(a-b)(a+ab+b)=ab歸納小結(jié)公式的變式，準確靈活運用公式:1位置變化，xyyxx2y22符號變化，xyxyx2y2x2y26rf2222443指數(shù)變化，xyxyxy4系數(shù)變化，2ab2ab4a2b25換式變化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmmx2y2z22zmm增項變化,xy2z22xyxyzx2xyxyy2z2x22xyy2z2D連用公式變化，xyxyx2y2x22x22

9、x44逆用公式變化，xyz2xyzxyzxyzxyzxyz2x2y2z4xy4xz例題解析：例1.已知ab2,ab1,求a2b2的值。解：.(ab)2a22abb2-a2b2=(ab)22aba b2 ,ab1 2 ab2=22212例2.已知ab8,ab2,求(ab)2的值。解：.(ab)22.a2abb2(ab)2222a22abb2-(ab)：2(ab)24ab-(a2一-2b)4ab=(ab)9/17ab8,ab2-(ab)2_2-84256例3:計算21999-2000X1998K解析此題中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方差公式。解：19992-2000X

10、1998=19992-(1999+1)X(1999-1)=19992-(19992-12)=1999-19992+1=1例4:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x2-z2的值。K解析此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出x、y、z的值，比較麻煩，考慮到x2-z2是由x+z和x-z的積得來的，所以只要求出x-z的值即可。解：因為x-y=2,y-z=2，將兩式相加得x-z=4，所以x2-z2=(x+z)(x-z)=14X4=56。例5.運用公式簡便計算(1)1032(2)1982解：(1)1032100321002210033210000600910609(2)19822002220022200222

11、40000800439204例6.計算(1)a4b3ca4b3c(2)3xy23xy2解：(1)原式a3c4ba3c4ba3c24b2a26ac9c216b2(2)原式3xy23xy29x2y24y49x2y24y4例7.解下列各式(1)已知a2b213,ab6,求ab2,ab2的值。(2)已知ab27,ab24,求a2b2,ab的值。22(3)已知aa1a2b2,求aab的值。2(4)已知x13,求x44的值。分析：在公式ab2a2b22ab中，如果把ab,a2b2和ab分別看作是一個整體，則公式中有三個未知數(shù)，知道了兩個就可以求出第三個。解：(1).a2b213,ab6ab2a2b22ab

12、132625ab2a2b22ab13261(2).ab27,ab24a22abb27a22abb24得2a2b211,即a2b2112得4ab3,即ab343由aa1a2b2得ab210/17幾個數(shù)的和的平方，等丁它們的平方和加上每兩個數(shù)的積的、乘法公式的用法套用：這是最初的公式運用階段，在這個環(huán)節(jié)中，應弄活乘法公式的來龍去脈，準確地掌為辨認和運用公式打下基礎，同時能提高學生的觀察能力。解：原式2y5z3x12y5z3x1例1.計算:22225x3y5x3y一一，22解：原式5x（二1)、連用: 連續(xù)使用同一公式或連好兩個以上公式解題例2.計算:241aa1a1a1解原式1a21a21a41a

13、41a41a8例3.計算:3x2y5z13x2y5z1o22443y25x9y22ab22ab(4)1-11x1214121x(1)(-1+3x)(-1-3x)(2)(-2m-1)2例8.解：(1)(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=1(2)(-2m-1)2=-(2m+1)2=(2m+1)2=4m2+4m+1.2-(3x)2=1-9x2.例9.四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1,一定是平方數(shù)嗎？為什么?2分析：由丁123412552345112111234561361192得猜想：任意四個連續(xù)自然數(shù)的乘積加上n2,n3是四個連續(xù)自然數(shù)2n31nn3n1

14、n2解：設n,n1,則nn1n.n是整數(shù)，n23n1是n2,3n都是整數(shù)個平方數(shù)1,都是平方數(shù)。n23n2n23n12n23n12例10.計算解：（1）x2（2）分析：abc2a2b2c2n23n1一定是整數(shù)四個連續(xù)整數(shù)的積與1(1)x2x12x22x42x33/2x13m2n2p223mn23m的和必是個完全平方數(shù)。2x1x2122x2(2)3mnx2x21x4x212x32x22x23mnp兩數(shù)和的平方的推廣abcab2abcca2ab2ab2bc2ac即abc2J12-29mn2p26mn6mp2np2cabc2ab2bc2acb22一2ac2bc2倍。（一八握其特征,11/17222y

15、5z3x12224y9x25z20yz6x1三、逆用：學習公式不能只會正向運用,向形式，并運用其解決問題。22例4.計算：5a7b8c5a7b8c解：原式5a7b8c5a7b8c5a7b8c5a7b8c10a14b16c140ab160ac四、變用：題目變形后運用公式解題。例5.計算：xy2zxy6z解：原式xy2z4zxy2z4z22xy2z4z222xy12z2xy4xz4yz五、活用：把公式本身適當變形后再用于解題合，可得如下幾個比較有用的派生公式：1. ab22aba2b22. ab22aba2b222223. abab2ab224. abab4ab六、正確認識和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)

16、合的數(shù)學思想認識乘法公式：對于學習的兩種(三個)乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：OOOOOO.(a+b)=a+2ab+b;(a-b)=a-2ab+b，可以E用數(shù)形結(jié)合的數(shù)孚思想方法來區(qū)分匕們。假設a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認識乘法公式。如圖1,兩個矩形的面積之和(即陰影部分的面積)為(a+b)(a-b),通過左右兩圖的對照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；圖2中的兩個圖陰影部分面積分別為(a+b)2與(a-b)2,通過面積一.一.999,999的計算方法，即可得到兩個元全平方公式：(a+b)=a+2ab+b與(a-

17、b)=a-2ab+b。有時還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組12/17七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，是今后學習的基礎，應用極為廣泛。尤其多項式乘多項式，運算過程復雜，在解答中，要仔細觀察，認真分析題目中各多項式的結(jié)構(gòu)特征，將其適當變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運算就顯得簡便易行。一. 先分組，再用公式例1.計算：(abcd)(abcd)簡析： 本題若以多項式乘多項式的方法展開， 則顯得非常繁雜。 通過觀察， 將整式(abcd)運用加法交換律和結(jié)合律變形為(bd)(ac)；將另一個整式(abcd)變形為(bd)(ac)

18、,則從其中找出了特點，從而利用平方差公式即可將其展開。解：原式(bd)(ac)bdac(bd)2(ac)2b22bdd2a22acc2二. 先提公因式，再用公式例2.計算：8x&4xj簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個多項式中的x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關系，若將第一個多項式中各項提公因數(shù)2出來，變?yōu)?4x,則可利用乘法公式。4解：原式24xj4xj224x2宣42y232x8三. 先分項，再用公式例3.計算：2x3y22x3y6簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同,y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進而分析

19、如何將常數(shù)進行變化。若將2分解成4與2的和,將6分解成4與2的和，再分組，則可應用公式展開。13/17解：原式=(2x4)(23y)2x423y22(2x4)45623y2_24x16x1212y9y四.先整體展開，再用公式例4.計算：(a2b)(a2b1)簡析：乍看兩個多項式無聯(lián)系，但把第二個整式分成兩部分，即(a2b)1,再將第一個整式與之相乘，利用平方差公式即可展開。解：原式(a2b)(a2b)1(a2b)(a2b)(a2b)a24b2a2b五. 先補項，再用公式例5.計算：3(381)(341)(321)(31)簡析：由觀察整式(31),不難發(fā)現(xiàn)，若先補上一項(31),則可滿足平方差公

20、式。多次利用平方差公式逐步展開，使運算變得簡便易行。.8.4.2-解：原式3(31)(31)(31)(31)(31)2(381)(341)(321)(321)2(381)(341)(37891)七.乘法公式交替用例7.計算：(xz)(x22xzz2)(xz)(x22xzz2)簡析：利用乘法交換律，把第一個整式和第四個整式結(jié)合在一起，把第二個整式與第三個整式結(jié)合,則可利用乘法公式展開。解：原式(xz)(x22xzz2)(x22xzz2)(xz)2(381)(381)5(3161)2322六.先用公式，再展開例6.計算：1-122簡析：第一個整式11可表小為121102212,由簡單的變化，可看出

21、整式符合平方差公式，其它解：原式1111111111111【112233441010314253119112233441010202因式類似變化，進一步變換成分數(shù)的積，化簡即可14/17八、中考與乘法公式1.結(jié)論開放例1.請你觀察圖1中的圖形，依據(jù)圖形面積的關系，不需要添加輔助線，便可得到一個你非常熟悉的公式，這個公式是0分析：利用面積公式即可列出xyxyx2y2或x2y2xyxy或xy2x22xyy2在上述公式中任意選一個即可。例2.如圖2,在長為a的正方形中挖掉一個邊長為b的小正方形（ab）,把余下的部分剪成一個矩形，如圖3,通過計算兩個圖形的面積，驗證了一個等式，則這個等式是o分析：利用

22、面積公式即可歹0出ababa2b2或a2b2abab2.條件開放例3.多項式9x21加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方，則加上的單項式可以是（填上你認為正確的一個即可，不必考慮所有的可能情況）。分析：解答時，可能習慣丁按課本上的完全平方公式，得出92、少29x216x3x1或9x216x3x1只要再動點腦筋，還會得出(xz)(xz)2(xz)3(xz)3(xz)(xz)3(x2z2)36x423xz3xz)2(xz)(x24z15/17將這n個等式的左右兩邊分別相加，可推導出求和公式:（用含n的代數(shù)式表示）分析：觀察已知等式可知，后一個等式的右邊第一項等丁前一個等式的左邊，將已知等

23、式左右兩邊分別相加，例6.閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實際上還有一些等式也可以用這種形式表示，例如：2abab2a23abb2就可以用圖4或圖5等圖表示。281499x1x-x42229x113x9x21c229x1或切x4，或1,或9x2等。43.找規(guī)律例4.觀察下列各式:x1x1x2x1xx13x1xxx11x314x由猜想到的規(guī)律可得分析：由已知等式觀察可知4.推與 ，新公式例5.在公式a121122221222321322n22n2na22a1中，當a分別取1,2,3,，n時，可得下列n個等式122nn移項，整理得:abab7Aah21

24、故所加的單項式可以是112311216/17(1)請寫出圖6中所表示的代數(shù)包等式;(2)試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示：22aba3ba4ab3b(3)請仿照上述方法另寫一個含有a,b的代數(shù)包等式，并畫出與之對應的幾何圖形解：(1)2ab2ba2a22b25ab(2)如圖7(3)略九、怎樣熟練運用公式：(一)、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號左邊是兩個二項式相乘，且在這四項中有兩項完全相同，另兩項是互為相反數(shù)； 等號右邊是乘式中兩項的平方差， 且是相同項的平方減去相反項的平方.明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運用公式.(二)、理解字母的廣泛

25、含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù)，也可以是單項式或多項式.理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運用公式.如計算(x+2y3z)2,若視x+2y為公式中的a,3z為b,則222就可用(a-b)=a2ab+b來解了。(三)、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計算,整變化，使其滿足公式特點.常見的幾種變化是：1、位置變化如(3x+5y)(5y3x)交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計算了.2、符號變化如(2m7n)(2nv7n)變?yōu)橐?2m+7n)(2m7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不變或不這樣變，可以嗎？)3、數(shù)字變化如98X10

26、2,992,912等分別變?yōu)?1002)(100+2,(1001):(90+1)2后就能夠用乘法公式加以解答了.此時要根據(jù)公式特征，合理調(diào)17/174、系數(shù)變化如(4n+-)(2nv旦)變?yōu)?(2n+-)(2m-)后即可用平方差公式進行計算了.24445、項數(shù)變化如(x+3y+2z)(x3y+6z)變?yōu)?x+3y+4z2z)(x3y+4z+2z)后再適當分組就可以用乘法公式來解了.18/17因式分解十字相乘法.(一)二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)進行分解。特點：(1)二次項系數(shù)是1；(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3)一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例1.已知0Va0而且是一個完全平方數(shù)。于是98a為完全平方數(shù)，a1例2、分解因式：x25x6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6),從中可以發(fā)現(xiàn)只有2X3的分解適合，即2+3=5。1:-2解：x25x6=x2(23