中學(xué)數(shù)學(xué)三角形中常見(jiàn)的輔助線問(wèn)題經(jīng)典含答案

1、 中學(xué)數(shù)學(xué)三角形中常見(jiàn)的輔助線問(wèn)題1 前言1.1 研究背景1從1952年教育部頒布第一部中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（草案)將三角形的教學(xué)內(nèi)容分散安排在初一、初二和初三年級(jí)，中學(xué)數(shù)學(xué)大綱進(jìn)行了多次修改，而三角形的教學(xué)內(nèi)容也進(jìn)行了多次調(diào)整。2以2000年頒布的過(guò)渡性九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂版）為標(biāo)志，我國(guó)新一輪基礎(chǔ)教育課程改革全面啟動(dòng)。2001年教育部頒布了現(xiàn)行的全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中要求培養(yǎng)和增大合情推理能力，所以對(duì)初中平面幾何圖形尤其是三角形中的輔助線應(yīng)該引起重視。1.2 研究目的在平面幾何三角形的學(xué)習(xí)過(guò)程中，有部分三角形問(wèn)題看上去很容易解決，但在實(shí)際的動(dòng)手的操作

2、的過(guò)程中給人一種“山重水復(fù)疑無(wú)路”的感覺(jué).然而，如何能夠“柳暗花明又一村”，使得解題的思路明確，過(guò)程簡(jiǎn)捷？輔助線對(duì)問(wèn)題的解決起著非常重要的作用，是否能添加正確的輔助線是能否解決問(wèn)題的關(guān)鍵.本文基于前人對(duì)本論題的研究成果，針對(duì)如何正確、快捷地添加輔助線，以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的。結(jié)合歷年中考考試題目總結(jié)歸納出常用的六類常用輔助線的方法，并對(duì)這些方法進(jìn)行進(jìn)一步的分析，體會(huì)蘊(yùn)涵在三角形中的常見(jiàn)輔助線的思想方法，并能舉一反三，創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。1.3 研究意義 （1）理論意義：進(jìn)行初中數(shù)學(xué)三角形的有關(guān)輔助線問(wèn)題的研究，會(huì)在一定程度上豐富三角形的教學(xué)理論。 （2）實(shí)踐意義：本研究在豐富的理論支持下，深入

3、三角形的課堂教學(xué)研究提出具有實(shí)踐意義的教學(xué)建議，可幫助教師選擇正確教學(xué)模式，豐富課堂內(nèi)容，提高課堂教學(xué)效率。2.三角形中的輔助線2.1 倍角化等腰 3當(dāng)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，經(jīng)常通過(guò)轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形。 如圖1中，若ABC2C，如果作BD平分ABC，則DBC是等腰三角形，并且ABD及CAB相似。 如圖2中，若ABC2C，如果延長(zhǎng)線CB到D，使BDBA，連結(jié)AD，則ADC是等腰三角形，并且ABD及CAD相似。BCDABCDABCDA 如圖3中，若B2ACB，如果以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在形外作ACDACB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則DBC是等腰三角。圖3圖2圖1 例1

4、.如圖4，ABC中，ACB2B，BC2AC.求證：A90°. 圖4分析：由于條件中ACB2B，可利用圖1所做輔助線方式，所以作CD平分交AB于D，過(guò)D作于E，則由，知，即是等腰三角形。圖4而，由等腰三角形三線合一可得，又BC2AC,所以ACEC。易證得，所以。評(píng)析：此題屬于較簡(jiǎn)單的題，對(duì)于一般基礎(chǔ)的學(xué)生還是比較容易入手，那么對(duì)于難度系數(shù)稍微高一點(diǎn)的題如例2。 例2.（2009年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)在ABC中，最大角A是最小角C的2倍，且AB=7，AC=8。則BC=_ 解法一：分割法(圖1輔助線方法） 如圖5，作CAB的平分線AD交BC于D。ABCDBA， 圖5   評(píng)析：解法

5、一的思路是常規(guī)思路，平分倍角構(gòu)造相似三角形，通過(guò)相似比得到方程組求出線段長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)。但這種方法中，二元二次方程組的計(jì)算較為復(fù)雜。 4解法二：構(gòu)造法（圖2輔助線方法）如圖6，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)D，使AD=AB。則D=ABD=CAB 圖6=C，CBDDAB，BD2=AB·CD=7×（8+7）=105，BD=，又C=D，BC=BD= 評(píng)析：利用二倍角為外角構(gòu)造等腰三角形也是常見(jiàn)的作輔助線的技巧。BD為相似三角形比例中項(xiàng)，及方法一相比，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單。 解法三：綜合法 如圖7，作CAB的平分線AD交BC于D。作BEAD。ADCBAE， ADCEBC， 圖7×，（x+y）

6、2=7×15，。 評(píng)析：由ADCBAE，BEAD，方法三事實(shí)上已將方法一、方法二統(tǒng)一了起來(lái)。所反映的本質(zhì)是相同的。2.2 角平分線問(wèn)題5角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。2.2.1角平分線到兩端的距離相等過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。例3

7、.如圖8，已知ABC中，AC=BC，ACB=90°，BD平分ABC，求證：AB=BC+CD 分析：題目中有角平分線和垂直，故想到過(guò)點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，由角平分線的性質(zhì)可知，CD=DE，由全等三角形的判定定理可得BCDBED，可得出BC=BE，再根據(jù)ABC是等腰直 圖8角三角形可知A=45°，故ADE是等腰直角三角形，所以DE=AE，再通過(guò)等量代換，所以AB=BE+AE=BC+CD 評(píng)析：此題難度系數(shù)不大，也可以才用后面所用的截長(zhǎng)補(bǔ)短法來(lái)證明，證明過(guò)程也比較簡(jiǎn)單一般的學(xué)生都基本上能夠解決。 例4.如圖9，ABC中，ABAC，DF垂直平分BC交BAC的外角平分線AD于點(diǎn)D，F(xiàn)

8、為垂足，DEAB 于E，連接BD，CD求證：DBE=DCA。分析：要證明的結(jié)論是兩個(gè)角的角度相等，而圖形中兩個(gè)角不在同一個(gè)三角形中，所以想到證明兩個(gè)三角形全等。從已知條件中有外角平分線，且DEAB，入手，想到角平分線到兩邊的距離相等，故過(guò)D作DGAC，根據(jù)線段垂直平分線上 圖9的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得BD=CD，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=DG，然后利用“HL”證明RtDBE和RtDCG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得DBE=DCA。 評(píng)析：此題有一定難度系數(shù)，主要是學(xué)生不知道從哪里入手，而此題從外角平分線入手，及常規(guī)的內(nèi)角平分線有所不同，基礎(chǔ)較好學(xué)生能獨(dú)立完成。2

9、.2.2利用角平分線構(gòu)造對(duì)稱圖形 作法是在角平分線的一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊構(gòu)造出對(duì)稱圖形，再利用兩個(gè)三角形全等的性質(zhì)將角或邊轉(zhuǎn)化。 6例5.如圖10，已知ABC中，AB=AC，A=100°，BD平分ABC，求證：BC=BD+AD。分析：結(jié)論要證明邊的和差關(guān)系，首先想到截長(zhǎng)補(bǔ)短法，有一定難度，已知條件中告訴了A=100°，從角平分線入手，算出所有角度大小，在BC上截取BE=BA，延長(zhǎng)BD到F使BF=BC，連接DE、CF，由 圖10BD平分ABC，1=2進(jìn)而得ABDEBD，DEB=A=100°則得DEC=80°又2=20所以F=80因?yàn)?=3=40°

10、，所以DCEDCF（AAS），所以DF=DE=AD，BC=BF=BD+DF=BD+AD。 評(píng)析：此題難度系數(shù)比較大，大多數(shù)學(xué)生會(huì)從結(jié)論出發(fā)，用截長(zhǎng)補(bǔ)短法證明，此種方法不能充分利用BD是角平分線這一關(guān)鍵已知條件。2.2.3角平分線+垂線從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之及角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)及等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段及角的另一邊相交）。 7例6.如圖11，已知ABC，BAC=90°，AB=AC，CD垂直于ABC角平分線BD于D，AC，BD交于

11、EAF為BC中線，交BE于G，求證：BE=2CD。 分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線及另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形，延長(zhǎng)CD及BA延長(zhǎng)線交于HBD為角平分線構(gòu)建全 圖11等三角形ABEACH（ASA），然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)、等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可證得CH=2CD，所以BE=2CD。 評(píng)析：題中如果有角平分線和垂線，可聯(lián)想到等腰三角形“三線合一”，再利用其基本性質(zhì)解決要證明的問(wèn)題。2.2.4角平分線+平行線有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線及另外一邊的反向延長(zhǎng)線

12、相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。 例7.如圖12，在ABC中，AB=AC，在AC上取一點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作EFBC，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F證明：AE=AP 分析：由已知條件知ABC為等腰三角形，且，所以想到角平分線+平行線，則可以作AD平分，由等腰 圖12三角形三線合一性質(zhì)，此時(shí)，故AD/EF。故可知是等腰三角形，所以AEAP。 8例8.如圖13，BD平分ABC交AC于D，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，且AD=DE，EFBC交BD于F求證：AB=EF分析：已知條件中有角平分線和平行線，而要證明的時(shí)線段相等,想到角平分線+平行線構(gòu)造出等腰三角形。作AMEF 圖13交BD的延長(zhǎng)線于M，所以ABM為等腰三角形A

13、M=AB，再證ADMEDF，推出EF=AM，得到AB=EF。 評(píng)析：此題中的關(guān)鍵是利用BD平分ABC，做平行線構(gòu)造等腰三角形，將AB轉(zhuǎn)化成AM。2.3 中點(diǎn)問(wèn)題 在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線和其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。2.3.1倍長(zhǎng)中線法 9當(dāng)出現(xiàn)線段中點(diǎn)或三角形中線時(shí)，常常延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形。倍長(zhǎng)中線法又可分為直接倍長(zhǎng)法和間接倍長(zhǎng)法。ABC中 方式1：直接倍長(zhǎng) 延長(zhǎng)AD到E， AD是BC邊中線 使DE=AD，連接BE 方式2：間接倍長(zhǎng) 作CFAD于

14、F， 延長(zhǎng)MD到N， 作BEAD的延長(zhǎng)線于E 使DN=MD，連接BE 連接CN 例9.如圖14，ABC中，D為BC的中點(diǎn)求證：AB+AC2AD 分析：從已知條件中D為BC中點(diǎn)入手，想到倍長(zhǎng)中線，延長(zhǎng)圖14AD至E使DE=AD，連接BE，構(gòu)造ADCEDB，得AC=BE，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得AB+ACAE即AB+AC2AD得證。 評(píng)析：此題屬于倍長(zhǎng)中線法的簡(jiǎn)單應(yīng)用，但也曾出現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中。 2.3.2中位線法 中位線既有線段的等量關(guān)系，又有平行性，而平行線又可以產(chǎn)生等角關(guān)系，更重要的是，在涉和中點(diǎn)的題目中，中位線常起過(guò)渡和轉(zhuǎn)化的作用.那么我們可以加以利用中位線的相關(guān)性質(zhì)加以添加輔助線解題

15、。 例10.（2013年數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省初二初賽）如圖15，已知四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別為AD及BC的中點(diǎn)，連結(jié)EF及BA的延長(zhǎng)線相交于N，及CD的延長(zhǎng)線相交于M求證：BNF=CMF。 分析：由已知條件可知，E、F分別為AD及BC的中點(diǎn)，想到中位線定理，連接AC，取AC的中點(diǎn)K，連結(jié)EK，F(xiàn)K，則EK、FK分別是ACD和ABC的中位線，得到CD=2EK，AB=2FK,根據(jù)AB=DC得到FEK=EFK，根據(jù)平行線性質(zhì)可得: 圖15FEK=CMF，EFK=BNF，BNF=CMF。2.3.3直角三角形斜邊的中線 10直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半。 例16.如圖23，ABC中，A

16、D是高，CE是中線，G是CE的中點(diǎn)，DGCE，G為垂足，證明：DC=BE。分析：要證明DC=BE，而這兩條線段又沒(méi)有在同一個(gè)三角形中，不能直接入手，由已知條件ABD為直角三角形且E為斜邊中點(diǎn)，所以想到連接DE，G是CE的中點(diǎn)，DG 圖23CEDG是CE的垂直平分線，DE=DC，AD是高，CE是中線，DE是RtADB的斜邊AB上的中線，DE=BE=AB，DC=BE。2. 線段和差倍問(wèn)題 2.1截長(zhǎng)法 11截長(zhǎng):在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證明剩下部分等于另一條（此種方法在中學(xué)最常見(jiàn)）。 例11.如圖16，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，B+D=180，求證：AE=

17、AD+BE。分析：采用截長(zhǎng)法：首先在AE上截取AM=AD，連接CM，再證明AMCADC，可得3=D，再根據(jù)B+D=180°，3+4=180°，可以證出4=B，根據(jù)等角對(duì)等邊可證出圖16CM=BC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形底邊上的高線及底邊上的中線重合可得到MEBE，再利用等量代換可證出AE=AD+BE。2.2補(bǔ)短法 12補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng),延長(zhǎng)部分等于另一條短線段,然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。例12.如圖17，在四邊形ABCD中，ABCD，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，BAE=EAF，AF及DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F求證：AB=AF+CF。 分析：延長(zhǎng)AE、DF交于點(diǎn)M，不難

18、證明ABEMCE，那么AB=CF，現(xiàn)在只要將AF也關(guān)聯(lián)到三角形BEC中，我們發(fā)圖17現(xiàn)，BAE=EAF，BAE=M（ABCD），那么三角形AMF就是個(gè)等腰三角形，AF=MF，因此AB=MC=MF+FC=AF+FC。 評(píng)析：在三角形中遇到求證線段間和，差，倍數(shù)關(guān)系時(shí),一般方法是截長(zhǎng)或補(bǔ)短法，在同一道題中一般兩種方法都可以用。 例13：如圖18：在ABC中，ABAC，12，P為AD上任一點(diǎn)。求證：ABACPBPC。證明：（截長(zhǎng)法）在AB上截取ANAC連接PN , 在APN和APC中，ANAC，12，APAP，所以APNAPC （SAS）所以PCPN （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在BPN中，有 PBPN

19、BN （三角形兩邊之差小于第三邊）所以：BPPCABAC。圖18 證明：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至M，使AMAB，連接PM，在ABP和AMP中，ABAM，12，APAP，所以ABPAMP （SAS）有PBPM （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）又在PCM中有：CMPMPC(三角形兩邊之差小于第三邊) ，所以：ABACPBPC。2. 線段比例問(wèn)題 2.平行法 此種類型的題從已知題目中不能直接得出結(jié)論，通過(guò)添加平行線，通過(guò)平行線的性質(zhì)再進(jìn)行轉(zhuǎn)換形成全等或相似三角形，進(jìn)而解決問(wèn)題，如以下兩題。 13例15.如圖19，ABC中，AB=AC，在AB上取一點(diǎn)E，在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，使CF=BE，連接EF，交BC于點(diǎn)

20、D，求證：DE=DF。 分析：因?yàn)镈E、DF所在的兩個(gè)三角形DEB及DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過(guò)添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過(guò)E作EG/CF，構(gòu)造中心對(duì)稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問(wèn)題得以解決。 證明：作EGAC交BC于G，BGE=ACB，GED=F， 圖19EGD=FCDAB=AC，B=ACB，B=BGE，BE=EGCF=BE，CF=GE在GED和CFD中，GED=F，GE=CFEGD=FCD，GEDCFD（ASA），DE=DF。 評(píng)析：當(dāng)對(duì)某些三角形的圖形無(wú)從下手時(shí)，不妨大膽加以猜想，根據(jù)某些交點(diǎn)，過(guò)該交點(diǎn)作等腰三角形的腰或底邊的平行線，再加以利用等腰三角形以和添加的平行線的性質(zhì)來(lái)解題。此題的輔助線還可以有以下幾種作法，學(xué)生的選擇比較多，但他們的本質(zhì)都是相同的。圖20圖21 2