名師推薦絕對強(qiáng)的考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

1、高等數(shù)學(xué)部分易混淆概念第一章：函數(shù)與極限一、數(shù)列極限大小的判斷例1:判斷命題是否正確.若Xn<yn(nN)，且序列Xn,yn的極限存在，limXn=A,limyn=B,則A<Bnn:11解答：不正確.在題設(shè)下只能保證A<B，不能保證A<B.例如：xn=,yn=，xn<yn，寸n,n'n1而lima=limyn=0.nn口例2.選擇題設(shè)Xn<Zn<yn，且lim(yn-Xn)=0，則limzn()A.存在且等于零B.存在但不一定等于零C.不一定存在D.一定不存在答：選項(xiàng)C正確分析：若limxn=limyn=a#0，由夾逼定理可得limzn=a#0

2、，故不選a與D.nnJn.n1.n1.n取xn=(1),yn=(1)*,zn=(1)，則a：znyn，且lim(ynXn0，但limzn不nnfnr存在，所以B選項(xiàng)不正確，因此選C.例3設(shè)XnaMyn,且！座ynXn)=0，則Xn與Yn()a.都收斂于ab.都收斂，但不一定收斂于aC.可能收斂，也可能發(fā)散D.都發(fā)散答：選項(xiàng)A正確.分析：由于Xn<a壬yn,得0<a一壬ynXn，又由lim(ynXn)=0及夾逼定理得lim(axn)=0n_因此，limxn=a，再利用lim(yxn0得limyn=a.所以選項(xiàng)a.nj:n:：nj:二、無界與無窮大無界：設(shè)函數(shù)f(X)的定義域?yàn)镈,如果

3、存在正數(shù)M,使得f(x)-M-xXD則稱函數(shù)f(x)在X上有界，如果這樣的M不存在，就成函數(shù)f(x)在X上無界；也就是說如果對于任何正數(shù)M,總存在xX，使f(x1)aM,那么函數(shù)f(x)在X上無界.無窮大：設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義(或x大于某一正數(shù)時有定義).如果對于任意給定的正數(shù)M(不論它多么大)，總存在正數(shù)d(或正數(shù)X)，只要x適合不等式0<|xx0|<6(或x>X)，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)總滿足不等式f(x)M則稱函數(shù)f(x)為當(dāng)XTX0(或XT*)時的無窮大.例4:下列敘述正確的是：如果f(x)在x0某鄰域內(nèi)無界，則limf(x)=ooXXo如果lim

4、f(x)=*，則f(x)在冷某鄰域內(nèi)無界xxo1111解析：舉反例說明.以f(x)=sin，令xn=,yn=，當(dāng)nT±c時，at0,ynt0,xx2nn：2而limf(xj=lim(2-)=-二limf(yn)=0nr：:故f(x)在x=0鄰域無界，但xt0時f(x)不是無窮大量，則不正確.由定義，無窮大必?zé)o界，故正確.結(jié)論：無窮大必?zé)o界，而無界未必?zé)o窮大.三、函數(shù)極限不存在孝極限是無窮大當(dāng)xtx0(或xt8)時的無窮大的函數(shù)f(x),按函數(shù)極限定義來說，極限是不存在的，但是為了便于敘述函數(shù)的性態(tài)，我們也說“函數(shù)的極限是無窮大”.但極限不存在并不代表其極限是無窮大.Jx-1x：0，當(dāng)

5、xt0時f(x)的極限不存在.例5:函數(shù)f(x)T0x=0x1x0四、如果limf(x)x；x0=0不能退出limx兇f(x)例6:f(x)0x：有理數(shù)x*無理數(shù).一1，則limKx0,但由于在x=0的任一鄰域的無理點(diǎn)均沒有定義，故無法討論在x=0的極限.一、-.1f(x)。0,則limx*f(x)結(jié)論：如果limf(x)=0，且f(x)在冷的某一去心鄰域內(nèi)滿足x*、一，一一一1，一之，f(x)為無窮大，則為無窮小。f(x)五、求函數(shù)在某點(diǎn)處極限時要注意其左右極限是否相等，求無窮大處極限要注意自變量取正無窮大和負(fù)無窮大時極限是否相等。1例7.求極限lim_ex,ljmex=危，limex=0，

6、因而xt時ex極限不存在。x_.11=0,limex=*，因而xt0時ex極限不存在。x0=六、使用等價無窮小求極限時要注意：(1) 乘除運(yùn)算中可以使用等價無窮小因子替換，加減運(yùn)算中由于用等價無窮小替換是有條件的，故統(tǒng)一不用。這時，一般可以用泰勒公式來求極限。(2) 注意等價無窮小的條件，即在哪一點(diǎn)可以用等價無窮小因子替換解：limxeX.1limexX：P例8：求極限lim亦兀或-2X0分析一：若將如成+寸1x2寫成(JTEX_1)+(J1x1),再用等價無窮小替換就會導(dǎo)致錯誤。分析二：用泰勒公式111-(-).1xE1_x=(1x-x2-、.(x2)22!11()(1-1xx2:(x2)-

7、222!122=-x:(x)4122x:(x)原式=xsinx例9：求極限limx_”：xsinx用x等價代換，導(dǎo)致結(jié)果為1。解：本題切忌將sinxlimx七、函數(shù)連續(xù)性的判斷sin二=0JI(1)設(shè)f(x)在x=Xq間斷，g(x)在x=Xq連續(xù)，則f(x)士g(x)在x=Xq間斷。而f(x)g(x),f(x),f(xx=x0可能連續(xù)。i0x=0例10.設(shè)f(x)=匕0,g(x)=sinx,則f(x)在x=0間斷，g(x)在x=0連續(xù),f(x)g(x)=f(x)sinx=匪x=0連續(xù)。1x'0，一2i右以f(x)=wo，f(x)在x=0間斷，但f(x)=f(x)=1在x=0均連續(xù)。(2

8、)“f(x)在Xo點(diǎn)連續(xù)”是"|f(x)在A點(diǎn)連續(xù)”的充分不必要條件分析：由“若limf(x)=a,則limfXa”可得“如果limf(x)=f(x0),則X/oXT。x_olimfx；)fxo(”，)因此，f(x)在x。點(diǎn)連續(xù)，則f(x)在x。點(diǎn)連續(xù)。再由例io可得，f(x)在x。點(diǎn)連續(xù)并不能推出f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)。(3)cp(x)在x=x0連續(xù)，f(u)在u=uo=tp(x。)連續(xù)，則fW(x)在x=x。連續(xù)。其余結(jié)論均不一定成立。第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)。例11.f(x)=x在x=o連讀，在x=o處不可導(dǎo)。二、f(x)與f(x)可

9、導(dǎo)性的關(guān)系(1) 設(shè)f(xo)#C,f(x)在x=冷連續(xù)，則f(x)在x=xo可導(dǎo)是f(x)在x=冷可導(dǎo)的充要條件。(2) 設(shè)Hxno,則f'(xo)=o是f(x)在x=xo可導(dǎo)的充要條件。三、一元函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)與不可導(dǎo)函數(shù)乘積可導(dǎo)性的討論設(shè)F(x)=g(x)8(x),(x)在x=a連續(xù)，但不可導(dǎo)，又g'(a)存在，則g(a)=o是F(x)在x=a可導(dǎo)的充要條件。分析：若g(a)=o,由定義F(x)-F(a)g(x)(x)-g(a)(a)g(x)-g(a)、，、.，、F(a)=lim=lim方''=lim方'方'(x)=g(a)(a)x-axaxT

10、xaxTxa反之，若F'(a)存在，則必有g(shù)(a)=o。用反證法，假設(shè)g(a)#o，則由商的求導(dǎo)法則知華以)=旦少g(x)在x=a可導(dǎo)，與假設(shè)矛盾。利用上述結(jié)論，我們可以判斷函數(shù)中帶有絕對值函數(shù)的可導(dǎo)性。四、在某點(diǎn)存在左右導(dǎo)數(shù)時原函數(shù)的性質(zhì)(1)設(shè)f(x)在x=xo處存在左、右導(dǎo)數(shù)，若相等則f(x)在x=xo處可導(dǎo)；若不等，則f(x)在x=xo連續(xù)。(2)如果f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，x=(a,b)，且設(shè)limj'(x)=limf'(x)=m,則f(x)在xo'xxox=xo處必可導(dǎo)且f'(xo)=m若沒有如果f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)的條件，即設(shè)li

11、mf'(x)=limf'(x)=a，則得不到任何結(jié)論。xx°x浙_x2x.0例f(x)=xx<0'顯然設(shè)蚓尸二購一頊但財(cái)fx*2limf(x)=0，因此極限limf(x)不存在，從而f(x)在x=0處不連續(xù)不可導(dǎo)。第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、若limf'(x)=A,(A#0,可以取8),則limf(x)=*x：j二A右limf(x)=A"0，不妨設(shè)AA0，則次：>0,x芝X時，f(x)，再由微分中值定理x廣：2f(x)=f(X)f()(x-X)(xX,(X,x)A=f(x)_f(X)拱xX)(xX)=limf(x)=二xj二

12、同理，當(dāng)A<0時，limf(x)=qx若limf'(x)=E,nmXA0,x芝X時，f'(x)>1，再由微分中值定理x-r：:f(x)=f(X)f()(x-X)(xX：=(X,x)=f(x)_f(X)(x-X)(xX)=limf(x)=二x-j二同理可證lim"(x)=q時，必有l(wèi)imf(x)=-°xx_第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用8.1多元函數(shù)的基本概念1-v>0,芙1,&2>0，使得當(dāng)xx0Vq,yy0V%且(x,y廳(冷y°)時，有f(x,y)A<&,那么limf(x,y)=A成立了嗎？0yJy0

13、成立，與原來的極限差異只是描述動點(diǎn)p(x,y)與定點(diǎn)p0(x0,y0)的接近程度的方法不一樣，這里采用的是點(diǎn)的矩形鄰域,而不是常用的圓鄰域，事實(shí)上這兩種定義是等價的.2.若上題條件中(x,y)#(x0,y0)的條件略去，函數(shù)f(x,y)就在(x?！俊?連續(xù)嗎？為什么？如果(x,y)孝(尚,y°)條件沒有，說明f(x0,y°)有定義，并且(x0,y0)包含在該點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)，由此對寸耳>0,都有f(x,y)YA,從而A=f(x°y)0,因此我們得到limxy(=A=)f(x°y),挪函數(shù)在(x°y0)點(diǎn)連續(xù).XXqyf3.多元函數(shù)的極限計(jì)算

14、可以用洛必塔法則嗎？為什么？不可以，因?yàn)槁灞厮▌t的理論基礎(chǔ)是柯西中值定理8.2偏導(dǎo)數(shù)1-已知f(x+y,ey)=x2y,求f(x,y)人y工y=lnv令x+y=u，e=v那么解出x,y得Sx=u-lnv所以f(u,v)=x2(u,v).y(u,v)=(ulnv)2.lnv或者f(u,v)=(uTnv)2.lny8.3全微分極其應(yīng)用1. 寫出多元函數(shù)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，可微之間的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)fx，fy連續(xù)nZ可微nZ=f(x,y)連續(xù)nf(x,y)極限存在偏導(dǎo)數(shù)fx，f；連續(xù)n偏導(dǎo)數(shù)fx，fy存在xy22.判斷二元函數(shù)f(x,y)=!沒可y0(x,y)=(x°,yo)在原點(diǎn)處是否可微.(x

15、,y)=(x°,yo)對于函數(shù)f(x,y),先計(jì)算兩個偏導(dǎo)數(shù)：f(：x,0)-f(0,0)fx(0，°)=聊00-0=lim=0x0-xf(0,：y)-f(0,0)0-0cfy(0,0)=lxm0=如。"=。勺f(：x,：y)-f(0,0)-fx(0,0)x-fy(0,0)：y又limxx)yj；0(."(."jxy=limx；x.2.2ywoII(已x)cy)令A(yù)y=kAx，則上式為lim.x)0k(x)253k.5(1k2)6x因而f(x,y)在原點(diǎn)處可微.8.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.設(shè)Z=f(),f可微，求dz.xyxyxy(xy)d

16、(xy)-xyd(xy)dz=f()d()=f()-2xyxyxy(xy)22=f(里)4dxf(旦)«dyxy(xy)2xy(xy)28.5隱函數(shù)的求導(dǎo)1.設(shè)x=x(y,z),y=y(x,z),z=z(x,y)都是由方程F(x,y,z)=0所確定的具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，證明竺.fX.名=_i.:y：zjx對于方程F(x,y,z)=0,如果他滿足隱函數(shù)條件.例如，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且Fx#0，則由方程F(x,y,z)=0可以確定函數(shù)x=x(y,z),即x是y,z的函數(shù)，而y,z是自變量，此時具有偏導(dǎo)數(shù)=-:VFx；x,.zrFx'1-F同理，皇_Fz,x；y；z所以一.里.一=-

17、1；zFv.:y:z:x8.6多元函數(shù)的極值及其求法1. 設(shè)f(x,y)在點(diǎn)p0(x0,y0)處具有偏導(dǎo)數(shù)，若fx'(x,y)=0,f(x,y)=0則函數(shù)f(x,y)在該點(diǎn)取得極值，命題是否正確？不正確，見多元函數(shù)極值存在的充分必要條件.2. 如果二元連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域內(nèi)有惟一的極小值點(diǎn)，且無極大值，那么該函數(shù)是否在該點(diǎn)取得最小值？不一定，對于一元函數(shù)來說上述結(jié)論是成立的，但對于多元函數(shù)，情況較為復(fù)雜，一般來說結(jié)論不能簡單的推廣。例如，二元函數(shù)Z=f(x,y)=3x2+3y2x3,(x2+y2<16)由二元函數(shù)極值判別法：z一_2-一-=6x-3x=0,解侍x1=0,x2=2,改=6y=0,解得y=0y故得駐點(diǎn)M1=(0,0),M2=(2,0)-2-2-2.:zz-z一A=66x,B=0,C=6-2-x:xy:yACB2=36(1x)由于ac-b2|(°,°)>0,ac-b2(2,0)YO,以及A(00)>0，所以Mi=(0,0)，是函數(shù)的惟一極小值點(diǎn)，但是f(4,0)=16Yf(0,0),故f(0,0)不是f(x,y)在d上的最小值.第十一章無窮級數(shù)ii.i常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)二12n4nn收斂，這