數(shù)學分析試題與答案

1、2014-一2015學年度第二學期數(shù)學分析2A試卷學院班級學號（后兩位）姓名題號.四五六七八總分核分人得分一判斷題（每小題3分，共21分）（正確者后面括號內(nèi)打?qū)矗駝t打義）I.若/（X）在連續(xù)，則/（X）在上的不定積分Jf（x）clxJ表為匚/（g+C（）.2.若/為連續(xù)函數(shù)，則Jf（x）g（x/x=fJg（x/x（）.3.若f（xlx絕對收斂，g（x>條件收斂，則°f（x）-g（x）dx必然條件收斂（）.X4. 若J/（a>7a-收斂，則必有級數(shù)£/（，?）收斂（）1/!-15. 若九與我均在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則/；+徐也在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂（）.6.

2、 若數(shù)項級數(shù)£匕條件收斂，則一定可以經(jīng)過適當?shù)闹嘏攀蛊浒l(fā)散于n-l正無窮大（）.7. 任何幕級數(shù)在其收斂區(qū)間上存在任意階導數(shù)，并且逐項求導后得到的新幕級數(shù)收斂半徑與收斂域與原幕級數(shù)相同（）.二. 單項選擇題（每小題3分，共15分）1.若/在"可上可積，則下限函數(shù)/（戲次在“，可上（）A.不連續(xù)B.連續(xù)C.可微D.不能確定2.若g（x）在。,可上可積，而/'（X）在。,可上僅有有限個點處與g（x）不相等，則（）A./(x)在伍，可上一定不可積；B./(x)在",上一定可積，但是£jxlxg(x炊;C. /Cv)在,/上一定可積，并且£f(

3、xix=£g(x)clx；D. /(a)在上的可積性不能確定.3. 級數(shù)立/:=!1+(-1廣、0_A.發(fā)散B.絕對收斂C條件收斂D.不確定4. 設(shè)為任一項級數(shù)，則下列說法正確的是()A.若liniiin=0,則級數(shù)ZX定收斂：0CB.若凹£外=pv1,則級數(shù)一定收斂;C.若mN,當N時有V1,則級數(shù)ZX一定收斂;D.若mN,當NH、有£1,則級數(shù)一定發(fā)散;5.關(guān)于幕級數(shù)的說法正確的是()A. 在收斂區(qū)間上各點是絕對收斂的；B. 在收斂域上各點是絕對收斂的；C. 的和函數(shù)在收斂域上各點存在各階導數(shù);D. 在收斂域上是絕對并且一致收斂的;三. 計算與求值(每小題5分

4、，共10分)1.lim可3+1)(+2)(+)n2.|業(yè)地Jcos"X四. 判斷斂散性(何小題5分，共15分)產(chǎn)3yxI.1.=J。+yx+X2.郭g3.蕓項2”H=1五. 判別在數(shù)集D上的一致收斂性（每小題5分，共10分）1.f（X）=Sin/，A,=1,2，。=（-8,+s）2-E-TD=(-s，-2d2,+oo)六. 已知一圓柱體的的半徑為R,經(jīng)過圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面30”角向斜上方切割，求從圓柱體上切下的這塊立體的體積。（本題滿10分）七. 將一等腰三角形鐵板倒立豎直置于水中（即底邊在上），且上底邊距水表面距離為10米,已知三角形底邊長為20米，高為10米，求該三角

5、形鐵板所受的靜壓力。（本題滿分10分）八.證明:函數(shù)/=£已半在（-S,+S）上連續(xù)，且有連續(xù)的導函數(shù).（本題滿分9分）20142015學年度第二學期數(shù)學分析2B卷答案學院班級學號（后兩位）姓名題號四五六L八總分核分人得分一. 判斷題（每小題3分，共21分,正確者括號內(nèi)打?qū)?，否則打又）1.X2.3.X4.5.6.7.二. 單項選擇題（每小題3分，共15分）1.B;2.C;3.A；4.D;5.B三. 求值與計算題（每小題5分，共10分）1.lim'lxxndx解:由于0<卜_'dx<JZsin'+/悝1:"么=妙土我=°-4分故

6、由數(shù)列極限的迫斂性得:lim:dx=0V?sin2x+elx-5分2.設(shè)/(sin2x)=，求sinx解:令x=sin2r得''/(乂女二*s'n/(sin，r)r/(sin21)2分xyjsin21rsin/t一.,=2sinfcos0Jcostsin,2jtsintdt-4分=-2tcos/+2sinZ+C=-2jl-xarcsinyfx+2J7+C-5分四. 判別斂散性（每小題5分,共10分）1.雋:擺arctanaarctanxarctanxn解：3分；=lim.=Vl-x2i。4j2且p=_L<i,.由柯西判別法知,2瑕積分R12.(ylnn(Inn)解

7、：.limhin=+s,3n。wN十,當時n->»hin>e211<(lnn)，nn4分由比較判別法xiM收斂-一5分五. 判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共15分）1.tn(X)=,”=1,2,。=(0,+s)解：極限函數(shù)為/(x)=limftt(x)=xxe£)1Z<-3分FJ+五°<sup|Zi(x)-/(x)|-xgdn從而limsup|/zt-/|=0故知該函數(shù)列在D上一致收斂.2<S2sin號，D=1,15分解:因當xeD時,2分而正項級數(shù)V收斂，一-4分由優(yōu)級數(shù)判別法知，該函數(shù)列在D上一致收斂.一一.一.

8、5分,。=（一00,2）解:易知，級數(shù)£（-1）的部分和序列低一致有界,.2分而對VxeD,vCv）=是單調(diào)的,又由于+77Vxe。，隊（對=T-!£上T0（too）,_一_4分%*+nn所以，v/r（A）=-J在D上一致收斂于0,+11）從而由狄利克雷判別法可知，該級數(shù)在D上一致收斂。一.一.5分六. 設(shè)平面區(qū)域D是由圓疽+），2=2,拋物線y=x2及x軸所圍第一象限部分,求由D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體的體積（本題滿分10分）解:解方程組得圓x2+/=2與拋物線y=x2在第一象限J7'仆的交點坐標為：（1,1）,分則所求旋轉(zhuǎn)體得體積為：V=汗£（2-

9、y2iy-j'ydy7=N610分七. 現(xiàn)有一直徑與高均為10米的圓柱形鐵桶（厚度忽略不計），內(nèi)中盛滿水，求從中將水抽出需要做多少功?（本題滿分10分）解:以圓柱上頂面圓圓心為原點，豎直向下方向為x軸正向建立直角坐標系則分析可知做功微元為：dW=vxdx=257rvxdx-5分故所求為：W=215fxdxJo一8分=1250w=12250勿（千焦）10分八. 設(shè)、（力（=1,2）是上的單調(diào)函數(shù)，證明:若與2X（"）都絕對收斂，則£”力在“,上絕對且一致收斂.（本題滿分9分）證明：（=1，2）是M上的單調(diào)函數(shù)，所以有虹（可KSI+例一一4，分又由£“,血）與

10、5>,血）都絕對收斂，所以收斂，7分由優(yōu)級數(shù)判別法知：£（工）在。,上絕對且一致收斂-2013-一2014學年度第二學期數(shù)學分析2A試卷學院班級學號（后兩位）姓名題號四五六L總分核分人得分一判斷題（每小題2分，共16分）（正確者后面括號內(nèi)打?qū)矗駝t打義）1. 若/（乂）在a,b上可導，則/（x）在a,b上可積.（）2. 若函數(shù)/."）在a,b上有無窮多個間斷點，則/在a,b上必不可積。（）3. 若°/（X炒與g（x）公均收斂，則/（x）+g（x）dx一定條件收斂。（）4. 若/“（x）在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則。（入）在區(qū)間I處處收斂（）5. 若“為正項級

11、數(shù)（«>0），且當時有：也共1,則級數(shù)n-1交"必發(fā)散°（）6. 若以2/為周期，且在上可積，則的傅里葉系數(shù)為：aH=jf（x）cosnxdx（）nJ。XX7. 若=s,則+"z）=2s+q（）n-ln-18. 票級數(shù)在其收斂區(qū)間上一定內(nèi)閉一致收斂。（）二單項選擇題（每小題3分，共18分）1. 下列廣義積分中，收斂的積分是（X2.級數(shù)收斂是n-1部分和有界的(sinxdxA必要條件B充分條件C充分必要條件D無關(guān)條件3.正項級數(shù)收斂的充要條件是()A.limitn=0B.數(shù)列、單調(diào)有界C.部分和數(shù)列伉有上界D.lim%L=Qvlltn4.設(shè)四=&qu

12、ot;則幕級數(shù)ZW也1)的收斂半徑R=()5.下列命題正確的是()A在”/絕對收斂必一致收斂B在"一致收斂必絕對收斂C若limIan(x)1=0,貝疙%(x)在a.b必絕對收斂XD£"(*)在o,。條件收斂必收斂n-l6.若舔級數(shù)的收斂域為(-1,1，則幕級數(shù)在(-1，1上A.一致收斂B.絕對收斂C.連續(xù)D.可導三. 求值或計算(每題4分，共16分)1. jx'(l+lnx)(±v；2. f!dxJsinxcosx4.設(shè)f(x)在0,】上連續(xù)，求忸f四. （16分）判別下列反常積分和級數(shù)的斂散性.dxL1V2x4-3x2+32.f1/z=r-dx

13、JoVl+xhi(l+7x)五、判別函數(shù)序列或函數(shù)項級數(shù)在所給范圍上的一致收斂性（每題5分,共10分）1.fnM=,=1,2,Xe(YO'O0)2.寸2+廠)=；xS=(_s,_O.5)u(O.5,m)護13x六. 應用題型（14分）1.一容器的內(nèi)表面為由y=x2繞y軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)拋物面，其內(nèi)現(xiàn)有水4（以3）,若再加水7兀W），問水位升高了多少米?2.把由y=L,x輒y軸和直線x=£(£>0)所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體的體積V(時，并求滿足條件V(6/)=llimV()的。.2，->柞七. 證明題型(1。分)已知y(x)與g(x)均

14、在a,b±連續(xù)，且在a,b上恒有/(x)<g(x),但/(a)不恒等于g(x),證明：fMdx<£g(x)dx20132014學年度第二學期數(shù)學分析2B試卷學院班級學號（后兩位）姓名題號.四五六L總分核分人得分一、判斷題（每小題2分，共18分，正確者括號內(nèi)打?qū)?，否則打義）1. 對任何可導函數(shù)/而言，J7'（x址=/（x）+C成立。（）2. 若函數(shù)/（x）在a.h上連續(xù)，則F（x）=必為/（a）在a.h上的原函數(shù)。（）X3.若級數(shù)收斂,/I-1必有l(wèi)imnan=0。(A>x4. 若liniPj=2>l,則級數(shù)發(fā)散."30n-!5.

15、若幕級數(shù)Xaltxn在x=2處收斂，則其在-2,2上一致收斂.（）H-i6. 如果/（.r）在以a,b為端點的閉區(qū)間上可積，則必有£/（a>/a-<£|/（x）|6/.v.（）7. 設(shè)/（、）在1,+s）上有定義，則/（心與級數(shù)Xf（n）同斂散.（）H-18. 設(shè)/在R）任子區(qū)間可積,b為/的暇點，則P（aRv與一!同斂散.（）9.設(shè)fn（x）在。=（“,x（）u（xo，。）上一致收斂且limfn（x）=an（ne7V）存在，則liinlimfn（x）=limlimfn（x）.一8.命X-4.K0二. 單項選擇題（每小題3分，共15分）1. 函數(shù)/Xx）在”力上

16、可積的必要條件是（）A連續(xù)B有界C無間斷點D有原函數(shù)2. 下列說法正確的是（）9C88a.和Z如收斂，2也也收斂/I-I/!-1/7-IB.£an和Z如發(fā)散，X+如）發(fā)散】n-JH-1X8XC.收斂和£如發(fā)散，Z（%+如）發(fā)散H-1/!-1】9C88d.收斂和£如發(fā)散0也發(fā)散n-l/!-ln-1在皿國收斂于"3），n-l且（X）可導測（a.w-l8bbC.ZJatl(x)dx=Ja(xdxn-l續(xù)B.a(x)可導XD.£qQ）一致收斂，則"（x）必連H-14.級數(shù)立"I廣'=1A.發(fā)散B.絕對收斂C條件收斂D.不確定

17、5.幕級數(shù)的收斂域為:A.(-0.5,0.5)B.-0.5,0.5C.一0.5,0.5)D.(一0.5,0.5三. 求值與計算題(每小題4分，共16分)rsinxcosxf1. ：axJ2+sin*-xdx2x+3.lim+1)+(一1isn四. 判別斂散性（每小題4分，共16分）,xarctanx_1.7dx;Ji1+x3"插（+1廣,1一(+l)xo2.勇(-1)"T(x2+yn)nxe(-s,+8)五. 判別在所示區(qū)間上的一致收斂性（每小題5分，共10分）n=1,2,xeOJ)六. 應用題型（16分）1.試求由曲線），=尸及曲線）,=2-亍所平面圖形的面積.2. 將&

18、#163;上誓公表達為級數(shù)形式,并確定前多少項的和作為其近似河使之誤差不超過十萬分之一.七. （9分）證明：若函數(shù)項級數(shù)滿足：（i）VxeD,|m（a-）|<«（77=1,2-）:（ii）£%收斂.則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂.的142015學年度第二學期數(shù)學分析2A卷.答案三.判斷題（每小題3分，共21分）1.2.X3.4.X5.6.7.X二. 單項選擇題（每小題3分，共15分）B,C,C,D,A三. 計算與求值（每小題5分，共10分）1.2)2分liinexp<£ln1&=k、£n=expslimVhi1+一偵*打kn)n)-3分=

19、expjIn5分解:原式=limJl1+1+fiA一42. 原式=Jln(smx)f/(tanx)=ln(sinx)tanx-Jtanxcot.x出=In(sinx)tanx-x+C5分四.判斷斂散性（每小題5分，共15分）1.limx%.=3-一一-2分5+Jx+«T3旦/?=>!32由柯西判別法知,3"1一1"X收斂。1+Jx+JC2.由比式判別法(+1)/d+1,/lini-=lim"+')=lini!-=e'<1-JIQC/|->X77/T8(1+1/)-4分故該級數(shù)收斂.-一一-一一一-5分3. 解:由萊布尼茲

20、判別法知，交錯級數(shù)yHL收斂-_2分2n1又Ov=1-一<1知其單調(diào)且有界,.一.一.一4分1+21+2故由阿貝爾判別法知I,級數(shù)收斂.一一-5分五.1.解：極限函數(shù)為/*(x)=lim。(工)=0xe£)-一-2分又iaw-/(=|-|<一-4分2.-3分linisup|/H-/|=0故知該函數(shù)列在D上一致收斂.-5分解：因當xe£)時,2而正項級數(shù)£命?收斂，一-4分由優(yōu)級數(shù)判別法知，該函數(shù)列在D上一致收斂一一.一.一.一一5分六.已知一圓柱體的的半徑為R,由圓柱下底圓直徑線并保持與底圓面30°角向斜上方切割，求所切下這塊立體的體積。（本

21、題滿分10分）解:在底圓面上以所截直徑線為X軸，底圓的圓心為原點示坐標系,三角形的面積為:2疽）6'7過X處用垂直X軸的平面取截該立S（x）=!、/F5分V-x2lx-7分=號由-10分七.解：建立圖示坐標系（豎直方向為X軸）故所求立體的體積為：3分壓力微元為：dF=2(10-雙10+x)vdx=2v(100-a2)clx故所求為F=(100x1jc/x-_-7分«1333.33x(噸)«13066.67(千牛)10分八.證明:禎)=竺客(=1,2)每一項在(一8,+8)上連續(xù)，n乂"(M=|壬牛才而£土收斂所以£涔U在(_s,+s)上

22、一致收斂，-一一3分故由定理結(jié)論知f(x)=Z史'土在(-8,+oO)上連續(xù)-5分再者|<(同=岑竺G而Z號收斂所以£"：()在(-8，+co)上一致收斂，結(jié)合“；(X)在(-8,+S)上的連續(xù)性可知/在(-S,+S)上有連續(xù)的導函數(shù).一一一一一-9分20142015學年度第二學期數(shù)學分析2B試卷學院班級學號（后兩位）姓名題號四五六L:總分核分人得分二、判斷題（每小題3分，共21分,正確者括號內(nèi)打?qū)?，否則打義）】.若/（X）為偶函數(shù)，則f/（.x-Hv必為奇函數(shù)（）.2. y=sgn（x）為符號函數(shù)，則上限函數(shù)y=sgn（巾在（-s,+s）上連續(xù)（）3. 若r收斂，必有l(wèi)imf（x）=o（）.JoX>4-x4. 若/J在區(qū)間I上內(nèi)閉一致收斂，則/”在區(qū)間I上處處收斂（）.XX5. 若£uH（x）在a.b上內(nèi)閉一致收斂，則Z若數(shù)項級數(shù)交"”絕對收斂，則經(jīng)過任意重拍后得到的新級數(shù)仍然絕n-1對收斂，并且其和不變（）.7.若函數(shù)項級數(shù)m在可上的某點收斂，且z在M上一致收斂，則ZX也在“»上一致收斂（）.二.單項選擇題（每小題3分，共15分）1.函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，且在上可